TRAJECTOIRES DES POINTS DE LA FIGURE BICONVEXE

res sont, d'ailleurs, maintenant complètement déterminées ; elles sont : (a) pour le triangle équilatéral, un triangle curviligne (à arcs de cercle), également équilatéral^ qui est inscrit dans le premier; (fr) pour la figure biconvexe, une figure géométriquement semblable^ qui a pour grand axe le petit axe de la figure donnée et qui roule sur la trajectoire polaire du triangle.

Trajectoires des points de la figure biconvexe par rapport

an triangle équilatéral.

PI. I, ûg. 1 à 4.

Les trajectoires polaires des deux figures étant connues, il nous est maintenant possible de déterminer complètement les courbes que décrivent les différents points de la figure biconvexe précé dente, par rapport au triangle, en maintenant ce triangle fixe et en faisant mouvoir l'autre figure. Comme les deux trajectoires polaires roulent l'une sur l'autre, toutes les trajectoires des points de nos éléments sont naturellement des courbes de roulement, ou des roulettes^ suivant l'expression admise. Nous avons déjà obtenu les trajectoires de deux points importants P et Q de la figure biconvexe. Comme ils appartiennent toujours à un petit cercle de Cardan, ces deux points décrivent des fragments d'hypocycloïdes, qui se confondent avec des portions de diamètres du grand cercle de Cardan correspondant. Ces difTérentes lignes, comme nous l'avons déjà fait remarquer, se trouvent disposées, les unes à la suite des autres, et constituent les côtés de deux triangles équilatéraux, qui se trouvent superposés l'un à l'autre {fig. 1). Tous les autres points de la figure biconvexe décrivent nécessairement des arcs d'hypocycloïdes raccourcies ou allongées, qui ici se réduisent, comme nous l'avons vu, à des ellipses. On comprend généralement, sous la désignation commune de trochoïdes^ les cycloïdes allongées et raccourcies de toute espèce. Nous pourrons, dès lors, dire encore que les trajectoires de tous les autres points de la figure biconvexe sont des hypotrochoîdesj qui ont pour figure fondamentale le triangle équilatéral UTQ. De même que ce triangle se compose, comme nous

132 COUPLES D*ÊLÈHENTS.

l'avons vu, de six bouts d'hypocycloïdes, de même chacune de ces trajectoires se trouve constituée par six arcs d'hypotrochoîdes.

La figure déterminée par ces arcs affecte des formes très-différentes, suivant la position du point décrivant. La figure 1 , en dehors du triangle UTQ, en représente encore trois autres dont les points décrivants, situés sur le prolongement du petit axe PQ de la figure biconvexe ou du grand axe de la trajectoire polaire Pm^Qm,, sont indiqués, en partant du plus éloigné, par les chiffres 1, 2, 5; le point i coïncide avec le point P lui-même. Ces figures, qui, d'une manière générale, sont composées de trois côtés curvilignes, se rapprochent de plus en plus du triangle équilatéral, à mesure que le point décrivant se rapproche du point 4.

Dans la fig. 2 sont représentées, à une plus grande échelle, les trajectoires de tix)is autres points 5, 6 et 7, dont le dernier est le centre M du disque. La trajectoire de 5 présente trois nœuds; pour le point 6, qui est choisi de telle manière que, dans la position indiquée sur la figure 1 , il coïncide avec le centre de gravité M^ du triangle ABC, les trois nœuds viennent se croiser en un seul point, qui est précisément ce point 6.

Si le point décrivant est situé entre 6 et 7, les nœuds ne sont plus complets et les portions de courbes décrites forment un petit triangle. Enfin, le point 7 décrit encore les trois nœuds, mais ces nœuds sont également incomplets et se réduisent à une courbe unique, qui est la plus petite des courbes décrites par les points de la figure biconvexe. Cette dernière courbe est double ou à deux feuilles ; pour une période entière, elle se tfouve, en effet, parcourue deux fois par le point 7, comme il est facile de s'en assurer en remarquant que, dans les nœuds 6, la tangente, pour cette période, tourne deux fois de quatre angtes droits.

Si Ton transporte le point décrivant au delà du point 7, mais toujours sur Taxe PQ, les courbes que nous venons de trouver se reproduisent en ordre inverse.

Une seconde série de courbes à signaler est celle que fournissent les points du grand axe RS de la figure biconvexe. Quelquesunes de ces courbes sont représentées dans les figures 3 et 4. L point i décrit encore un triangle elliptique; le point 2, qui coïncide avec Textrémilé S de Taxe, fournit une figure triangulaire, en partie rectiligne, en partie elliptique ; le point 3 donne un triangle elliptique, à côtés concaves, qni se trouve reproduit, à plus grande échelle, dans la figure 4. Le point 4 coïncide avec Textrémilé ?/i, de