TRAJECTOIRES DES POINTS DU TRIANGLE. ISS

portion de courbe est un arc de cercle, décrit du centre T de l'arc UQ, Si l'on prend les points décrivants sur les rayons vecteurs qui tombent entre AM^ et TMp on obtient des trajectoires qui ne sont plus, comme les précédentes, symétriques par rapporta deux axes« Nous n'avons pas cru devoir donner ici d'exemples de ce genre de courbes, car les trajectoires 1', 2^... des fig. 3 et 4 permettent, par analogie, de s'en faire une idée suffisante.

Nous venons de trouver, par le procédé précédent, une richesse de formes extraordinaire dans les mouvements des points du couple d'éléments choisi comme exemple ; mais nous pouvons arriver à nous en faire une idée encore plus claire, en ayant recours au mode de considérations adopté pour l'étude des cycloîdes. Les deux cas qu'on obtient, en fixant successivement l'une des figures, fournissent chacun une classe de trajectoires, et chaque classe peut elle-même se décomposer en gix)upes, d'après la position du rayon vecteur qui porte le point décrivant. Parmi ces courbes, il convient de signaler, comme particulièrement caractéristiques, celles des points situés sur les périphéries des trajectoires polaires, comme, par exemple, le triangle UTQ de la fig. 1, la courbe à trois pointes du point m,, dans la fig. 4, etc. Ces trajectoires de points constituent ce qu'on peut appeler les /ormes ordinaires des roulettes dont il s'agit ici, par analogie avec ce qui se fait pour les cycloîdes. Pour la même raison d'analogie, les courbes décrites par les points situés à l'extérieur et à rintérieur des trajectoires pokires roulantes seront désignées respectivement sous les noms de trajectoires allongées et raccourcies. Parmi ces dernières, il en est une qui est tout à fait caractéristique, et qui, de plus, est commune à tous les groupes de trajectoires de points ; c'est celle qui correspond au centre de gravité de la figure polaire mobile, M dans les fig. 1 à 4, M^ dans les fig. 5 à 8. Cette roulette est, en même temps, la plus petite de toutes celles qui appartiennent à la même classe ; sur le contour de cette courbe tendent à se concentrer les différentes trajectoires, de même que le cercle tend vers son centre, lorsque le rayon diminue successivement jusqu'au point de devenir nuL Pour ce motif, nous proposons de désigner cette courbe sous le nom de forme concentrée du système de trajectoires correspondant.

Nous devons encore signaler, comme remarquables, les roulettes qui passent par le centre de toute la série, comme, par exemple, la courbe n*" 6 dans la fig. 2, et qui, pour cette raison, peuvent recevoir la dénomination d'homocentriques. Dans notre exemple, les

roulettes de cette espèce prennent une série de formes, dont une se trouve indiquée dans chacune des fig. 2, 4, 6, 8. Il importe, toutefois, d'observer que les trajectoires homocentriques ne peuvent être décrites que par les points qui, dans le mouvement de révolution de la trajectoire mobile, viennent passer par le centre de la trajectoire polaire fixe, ou, inversement, par les points où viendrait passer le centre de cette dernière trajectoire, si Ton faisait subir une inversion au couple d'éléments. Les seuls points satisfaisant à cette condition sont ceux des trajectoires concentrées ; on peut donc dire, en d'autres termes : Les points des trajectoires concentrées décrivent j par Vinversion du couple, des courbes homocentriques. Ainsi, les courbes homocentriques 6 (fig. 2) et 5 (fig, 4) sontdécrites par les points des trajectoires concentrées H (ou 7), représentées dans les fig. 6 et 8, etc. Les points des courbes concentrées qu'on doit utiliser, pour le tracé des courbes homocentriques, sont faciles à déterminer dans les figures.

Ces dernières considérations sont également applicables aux cycloîdes, et nous pouvons, dès lors, les étendre immédiatement au cas où les trajectoires polaires de couples d'éléments supérieurs sont des cercles. Dans ce cas, les courbes concentrées sont des circonférences décrites par les centres des cercles roulants, tandis que les courbes homocentriques sont ces figures étoilées qui sont décrites par des points de ces circonférences, et qui, à différentes reprises, en raison de leurs propriétés spéciales, ont attiré l'attention des géomètres (18).

Figures de largeur constante.

En partant du principe établi au g 21, nous sommes conduits, par voie de synthèse, à une série d'autres couples d'éléments, dont quelques-uns doivent faire ici l'objet d'un examen spécial. Si à une figure plane on mène deux tangentes parallèles A6 et CD (fig. 99), la distance c de ces tangentes est la mesure de la dimension de la figure, dans la direction des normales d'appui. Cette dimension, qui constitue cequ'on peut appeler la largeur de la figure, est, en général, une grandeur variable. Mais on peut imaginer des figures dans lesquelles la largeur soit constante, c'est-à-dire dans lesquelles tous les