FIGURES DE LARGEUR CONSTANTE

couples de tangentes parallèles et formant appui, en sens contraires, aient la même distance ; le cercle en fournit un exemple. Si à une figure jouissant de cette propriété on mène deux couples de tangentes de ce genre, ces lignes toucheront la figure en quatre points et constitueront ainsi des appuis susceptibles d'empêcher toute translation, ainsi qu'il a été démontré au § 18. Mais nous savons également que ces appuis ne s'opposent pas à la rotation de la figure et

Fig. 99.

Fig. 100.

que, de plus, cette rotation ne peut avoir lieu qu'autour d'un seul point; ce qui revient à dire que les normales aux quatre points d'appui se coupent toutes en un même point, ou que les normales d'appui coïncident, comme l'indique la fig, 100, où la normale en a passe par c et celle en d par b. Puisqu'en effet la largeur de la figure est constante, on doit en conclure que, pour tous les changements de position de cette figure, à l'intérieur du quadrilatère des tangentes, le système d'appuis subsiste, et que, par suite, d'après le § 21 , il doit exister un pôle unique. Il résulte également de là que les figures de largeur constante jouissent de cette propriété caractéristique que, sur le rayon de courbure de chaque élément du contour, se trouve situé, non-seulement le centre de courbure correspondant, mais encore celui de l'élément opposé. Les quatre tangentes limitent, dans le plan, un carré, ou, plus généralement, un losange ABCD. On peut conclure de là que toute figure de largeur constante est desmodromique dans un losange qui V entoure^ et que, par suite, elle peut servir à former, avec ce losange, un couple d'éléments.

COUPLES D-ÊLËHENTS.

Le triangle carriligne équilatëral dans le losange.

Avec des arcs de cercle on peut facilement composer des (Igurcs de largeur constante. Si, des difTércnts sommeil d'un tiiangleéquilatéral, comme centres, avec la longueur des cùtés comme rayon, on décrit des arcs de cercle, on détermine une figure qu'on peut désigner sous le nom de triangle curviligne équilalértd. Ce triangle a une lai-geur constante, égale à la longueur PQ {(ig. lOi) des côtés

reclilignos, et il peut, dès lors, être enveloppé dcsmodromiqucment par un carré, ou par un losange ABCD, dont les côtés opposés sont précisément écartés de la distance PQ. La rencontre des normales d'appui, qui a lieu en un même point 0, se fait à angle droit dans le carré et obliquement dans le losange. En prenant cliacun des deux couples de figures en contact, comme bases de cylindres, et en supposant ces derniers disposés de manière qu'il ne puisse pas se produire de déplacement longitudinal, nous nous trouvons avoir formé deux couples supérieurs d'éléments.

Nous allons chercher à déterminer les ti'ajcctoires polaires, en supposant d'abord que la figure extérieure soit un carré. Pour trouver celle de ces trajectoires qui correspond au carré ABCD {fig. 102), imaginons qu'on imprime au triangle curviligne une rotation autour du pôle 0. Dans la position initiale représentée sur la figure, ce pôle est le milieu de PQ et se trouve situé sur l'axe de symétrie RO du carré. Si nous supposons maintenant que la rotation se fasse

LE TRIANGLE CURYIUGNE ÉQUILATÊRAL DAMS LE LOSANGE. 150

à gauche, le sommet P du triangle curviligne glissera, en descendant, le long du côté AD, tandis que le point R marchera vers C, sur le côté DC. Les normales en P et R se coupant toujours à angle droit, il en résulte que le pôle est le lieu géométrique du sommet d'un triangle rectangle, dont rhypolénuse glisse, par ses extrémités, sur les côtés d*un angle droit ; ce pôle 0 est aussi toujours l'un des sommets d'un rectangle PDRO, dont la diagonale est constante et égale à PR. Par conséquent, la trajectoire polaire est un arc de cercle, décrit du point D, comme centre, avec un rayon égal à PR=PQ=AB, c'est-à-dire à la longueur du côté du carré. Cet arc doit être pris comme trajectoire jusqu'au point 2, pour lequel la distance de R au point C se trouve précisément réduite à celle qui sépare P de A. A partir de cette position, le glissement de la corde PQ commence à se produire sur les côtés BA et AD; la trajectoire polaire correspondante est l'arc de cercle 2.3, identique au précédent; on obtient ensuite l'arc 3.4 et, finalement, l'arc 4.1 ou 4.0. La trajectoire polaire du carré est, par conséquent, un carré curviligne, qui se compose de quatre arcs de cercle^ décrits des sommets du carré primitifs comme centres^ avec la longueur du côté de ce carré pour rayon.

Pour trouver la trajectoire polaire correspondant au triangle, nous pouvons recourir à une inversion du couple, c est-à-dire imaginer que le triangle soit maintenu fixe et que le carré ait, autour de lui, un mouvement de rotation à droite. On voit alors immédiatement que la trajectoire polaire est le lieu des sommets 0 de l'angle droit du triangle rectangle dont l'hypoténuse est PR, c'est-àdire une circonférence décrite sur PR comme diamètre. Cette circonférence doit être prise comme trajectoire jusqu'au point 2', milieu du côté QR. On obtient ensuite, exactement de la même manière, les autres arcs de la trajectoire, 2'.3' et 3M, ce dernier aboutissant au point 0. D'après cela, la trajectoire polaire correspondant au triangle curviligne est également un triangle curviligne équilatéral, dont les côtés sont des arcs de cercle, décrits des points

milieux des côtés PQ, QR et RP du triangle recliligne PQR, avec la moitié de la longueur de ces côtés comme rayon.

Dans le mouvement relatif des deux figures, il y a successivement roulement de l'arc 1.2' sur 1.2, de 2'. 5' sur 2.5, de 5M sur 5.4, etc. Pour revenir à sa position initiale, le pôle doit parcourir, sur les deux trajectoires, des chemins égaux, c'est-à-dire parcourir Vrois fois les quatre côtés du carré curviligne 1.2.5.4, et quatre ibis les trois côtés du triangle curviligne 1.2'.5'. Après chaque révolution du triangle curviligne, le disque triangulaire se trouve avoir tourné de 90* par rapport au carré, de telle sorte qu'après le premier tour le sommet 1 du petit triangle curviligne est venu en 4, après le second en 5, après le troisième en 2, et qu'enfin, après le quatrième, il se trouve revenu en 0.1.

Trajectoires des points du triangle curviligne

par rapport au carré.

PL II, fig. 1 à 4.

Les trajectoires des points du couple d'éléments considéré dans le paragraphe précédent présentent, comme il est facile de s'en assurer, une grande analogie avec celles du couple représenté dans la planche I. Toutes les trajectoires des points du triangle curviligne, par rapport au carré, se composent d'arcs d'hypocycloïdes ou d'hypotrochoïdes, qui, dans le cas particulier, se réduisent à des arcs d'ellipses, tandis que toutes les trajectoires des points du carré, par rapport au triangle, sont des péricardioîdes ou des péritrochoîdes. Supposons d'abord que le carré soit maintenu fixe et le triangle mis en mouvement.

Les fig. 1 et 2 représentent une classe de trajectoires dont les points décrivants se trouvent situés sur un rayon vecteur du triangle curviligne, mené par le centre M, normalement à la corde PQ, et prolongé au delà. La figure décrite par le point 1 est un carré elliptique, dont les sommets tronqués sont formés par deux arcs d'ellipse congruents, engendrés, l'un, par le roulement de l'arc m^m^ sur O^Oj, l'autre, par le roulement de l'arc m^m^ sur 0^0,. Lorsque le point m, est an*ivé en Op m^m^ commence à rouler sur