TRAJECTOIRES DES POINTS DU TRIANGLE CURVILIGNE

0^0,. Comme le point décrivant 1 est choisi de telle manière que m^ 1 soit égal au rayon m^m^, il en résulte que ce point est situé sur la circonférence du petit cercle de Cardan m^m^ (prolongé en pointillé) et que, par suite, il décrit une droite. Les portions de trajectoires passant par les points B et A, centres des grands cercles de Cardan 0^0, et 0,03, sont donc des lignes droites, ou, si Ton veut, des arcs d*ellipse, transformés en ligne droite. La partie complémentaire de la trajectoire se comprend facilement, sans autres explications. Cette trajectoire se trouve entièrement décrite, comme précédemment, lorsque, dans le mouvement déroulement des deux ti'ajectoires polaires mjn^fn^ et O^O^ÛjO^, l'une sur Tauti^, le pôle a parcouru quatre fois les trois côtés de la première et trois fois les quatre côtés de la seconde.

Le point 2 décrit un carré elliptique, dont les côtés sont légèrement courbés en dedans. Pour la courbe du même genre décrite par le point 5, situé sur le cadre, cette courbure est plus prononcée. Le sommet m^ le quatrième dans la série des points décrivants, décrit d'abord, à droite et à gauche de 0^, de petites parties droites, dirigées vers les centres C et D des arcs de cercle O^O^ et O^O,, et d'une longueur précisément égale à celle des parties également droites O^m^ et O^m^, parcourues par les points homologues m, et m,. A la suite de chaque partie droite, la trajectoire est formée d'un arc de cercle, qui se trouve décrit par le centre du petit cercle de Cardan m^m,, dans son roulement sur 0^0, ou sur O5O,. La trajectoire, ainsi obtenue, constitue la forme ordinaire de la classe de courbes que nous considérons ici.

Le cinquième point décrit un carré elliptique qui présente déjà de petits nœuds à ses sommets et qui est représenté, à échelle double, dans la fig, 2. Dans la trajectoire du point 6, l'entrecroisement des nœuds est fortement prononcé ; dans celle du point 7 , qui coïncide avec le centre de gravité M, les nœuds se recouvrent complètement et fournissent un carré elliptique très-émoussé, qui, pour une période complète, se trouve parcouru trois fois par le point M (Voy. §25). Le centre M^ du carré est également le centre de cette trajectoire, qui est la plus petite de celles décrites par les points du triangle curviligne et qui, suivant la dénomination générale précédemment adoptée, est la forme concentrée des trajectoires des points de ce triangle.

Les courbes tracées dans les fig. 3 et 4 sont les trajectoires dont les points décrivants sont situés sur le prolongement, au delà du

14*2 COUPLES D'ÉLËMEKTS.

centre M^ du rayon vecteur précédent. Le point 1 fournit un carré elliptique, dont les côtés sont légèrement gonflés ; le point 2 donne un carré à côtés rectilignes, dont les sommets sont tronqués elliptiquement et qui recouvre, jusqu'à une faible distance des sommets, le carré primitif ABCD. Les courbes des points 3 et 4 sont des carrés elliptiques à côtés rentrants. La dernière courbe est reproduite, à échelle double, dans la fig. 4 ; sur cette même figure se trouve également indiquée la trajectoire du point périphérique 5, qui est une des formes ordinaires de la classe de courbes considérée ; elle se compose de quatre arcs d'ellipse, concaves extérieurement, avec quatre pointes rectilignes. La trajectoire 6 est décrite par le point Mj, qui, dans la fig. 3, coïncide avec le centre du carré ; elle est, par conséquent, la forme homocentrique des courbes de la classe actuelle. La fig. 4 reproduit encore la trajectoire concentrée décrite par le point M et déjà indiquée dans la fig, 2.

Les fig. 3 et 4 indiquent, en outre, en pointillé, les trajectoires 1', 2', 3', décrites par des points d'un rayon vecteur qui ne coïncide pas avec l'un des axes principaux de la trajectoire polaire.

Trajectoires des points du carré par rapport au triangle

curviligne.

PI. II, fig. 5 à 8.

Supposons maintenant que, le triangle curviligne PQR restant fixe, le carré ABCD soit mobile. Dans les fig. 5 et 6 de la pi. II, sont tracées six trajectoires de points appartenant au rayon vecteur MO^....

Les n"*' 1 et 2 sont des roulettes allongées, composées d'arcs de péritrochoïdes, le n° 3 est la forme ordinaire de la classe de courbes que nous considérons ici, et le n^4 est une courbe raccourcie ; cette même courbe se trouve reproduite, à échelle double, dans la fig. 6. Le n* 5 représente la courbe homocentrique de la série, et le n<» 6 la courbe concentrée. Cette dernière courbe, qui ressemble beaucoup à un cercle, se compose, en réalité, d'arcs de péritrochoïdes, se recouvrant les uns les autres, de telle sorte que, dans chaque période complète, elle se trouve parcourue quatre fois (courbe à quatre feuilles).