DISQUES CURVILIGNES DE. LARGEUR CONSTANTE

QR sont décrits du point d'intersection M des cordes PR et QT, avec un rayon égal à la moitié du précédent. La figure, ainsi obtenue, a une longueur constante, égale à AB. Les trajectoires polaires sont dans ce cas : pour le disque, un autre disque 1.2, limité par deux arcs de cercles inégaux; pour le carré, une étoile à huit sommets, formée d'arcs de cercle de rayon variable. Les arcs de ces trajectoires, qui roulent les uns sur les autres, appartiennent à des cercles de Cardan. Deux trajectoires de points I et V sont indiquées sur la figure. Comme trajectoires de points particulièrement caractéristiques, on peut citer les roulettes ordinaires décrites par les deux points extrêmes 1 et 2 de la trajectoire polaire du disque en cœur. Ces trajectoires sont des carrés à côtés rcctilignes, l'3'5'7' et 2'4'6'8 (19).

Fig. 4. Triangle curviligne isocèle dans le losange. — Des extrémités 1 et 2 de la base d'un triangle isocèle 1S2, dont l'angle au sommet est inférieur à 60"*, sont tracés, avec les rayons ISet 2S, les arcs de cercle ST et SR, jusqu'à leur rencontre, en T et R, avec la ligne 1.2 prolongée; des mêmes centres, avec IT et 2R pour rayons, sont décrits les arcsTP et RQ, jusqu'à leur intersection, en P et Q, avec les côtés Si etS2 prolongés; enfin, les deux points P et Q sont réunis par un arc de cercle, décrit du point S. La figure comprise entre ces cinq arcs de cercle a une largeur constante QS ; elle est entourée par un losange, dont les angles sont de 60"* et de 120**. Les trajectoires polaires sont ici assez compliquées; elles se composent, comme précédemment, d'arcs de cercles de Cardan, au nombre de quatre, pour le disque cui'viligne, et de huit, pour le losange. Des deux trajectoires de points 1 et P, indiquées sur la figure, la première correspond au mouvement du triangle, la seconde à celui du losange.

La fig. 5 indique un autre disque à contour curviligne, enfermé dans un losange. Ce disque est équilatéral, comme celui de la fig. 1 ; il est formé de trois grands arcs de cercle, qui sont décrits, des sommets P, Q, R du triangle rectiligne équilatéral, avec un rayon légè- . rement supérieur à la longueur des côtés de ce triangle, et qui sont raccordés par de petits arcs de cercle, tracés des mêmes centres, avec un rayon précisément égal à la différence entre le rayon des grands arcs et le côté du triangle rectiligne. Le mouvement a lieu exactement comme si le triangle curviligne normal PQR, indiqué en pointillé dans la figure, se mouvait dans le losange 0^0,0,0^, également tracé en pointillé, pendant que le véritable disque curviligne se

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tenant au losange, décrit une figure symétrique par rapport à deux axes et dont la forme présente une certaine analogie avec le profil d'un rail.

Le centre II, appartenant au triangle, décrit la trajectoire concentrée de ce triangle, laquelle n'est pas autre chose que le petit axe EF de la figure biconvexe, dans la direction de la diagonale DB ; pendant la période entière du mouvement, elle est parcourue trois fois. Cette figure concentrée coïncide, en outre, ici, avec la figure homocentrique et, comme elle est décrite par un point du contour de la trajectoire polaire, elle doit, en même temps, être considérée comme forme ordinaire de la série. La trajectoire V est une roulette allongée du losange, IV une roulette raccourcie de la même figure. Tous les points du petit axe EF décrivent, dans le triangle curviligne, des courbes homocentriques. L'une d'elles est représentée, celle des points extrêmes E et F. La variété de formes qu'affectent ici les roulettes montre combien il importe de se tenir en garde contre des conclusions d'analogie trop précipitées, au sujet du caractère général delà forme des trajectoires considérées.

Fig. 2. Pentagone curviligne équilaléral dans un carré. — Le pentagone curviligne est formé d'arcs de cercle décrits des sommets d'un pentagone rectiligne régulier, avec la longueur d'une diagonale pour rayon; on obtient ainsi une figure de largeur constante. Les trajectoires polaires sont : pour le carré ABGD, un carré curviligne l'2'3'4', dont les côtés sont décrits des quatre sommets, avec un rayon égal au côté PQ du pentagone rectiligne; pour le pentagone curviligne, également un pentagone curviligne équilatéral, dont les côtés sont décrits des milieux m^, 7?i,, m,... des côtés du pentagone rectiligne, comme centres, avec la moitié de la longueur de ces côtés comme rayon. La trajectoire polaire du pentagone roule ici sur celle du carré, qui, pour chaque période complète, est parcourue cinq fois par le pôle, tandis que la première l'est quatre fois. La trajectoire désignée par I est décrite par le pentagone curviligne roulant dans le carré ; c'est une courbe allongée, puisque le point I est en dehors de la trajectoire polaire ; la courbe V est également une roulette allongée, mais elle est décrite par un point du carré, supposé mobile par rapport au polygone fixe.

Fig. 5. Disque en forme de cœur, limité par cinq arcs de cercle, dans le carré. — PSQ est un triangle isocèle, dont l'angle au sommet PSQ = 53^ Les arcs PQ, ST et SR sont décrits des points S, Q et P, avec le côté AB du carré comme rayon, tandis que les arcs TP et