TRAJECTOIRES POLAIRES AUXILIAIRES

procéder par tâtonnements. L'arbitraire dans le choix du premier profil se trouve donc soumis à une restriction. Une autre circonstance qui limite encore cet arbitraire tient à ce qu'on ne peut utiliser les parties des profils dans lesquelles les normales viennent couper la trajectoire polaire, au p61e, sous un angle trop grand, comme, par exemple, la normale 0 . 1 dans la fig. 105 ; dans ce cas, on serait, en effet, exposé à des frottements très-prononcés et même à des arc-boutemcnts complets. Enfin, on doit encore écarter les portions de profils dans lesquelles les normales ne rencontrent pas la trajectoire polaire, et ne peuvent, par suite, jamais devenir normales d'appui. Il résulte de là que, pour faire usage, dans la cinématique appliquée, du procédé exposé, il est indispensable d'éliminer des profils choisis arbitrairement tous ceux qui sont inapplicables ou qui ne répondent pas au but qu'on se propose.

Deuxième procédé. — Trajectoires polaires auxiliaires.

Dans le premier procédé, que nous venons d'examiner, on n'obtient les deux profils d'éléments que l'un après l'autre, tandis que, dans le second, on peut, comme nous allons le voir, déterminer, en même temps, les deux profils satisfaisant aux conditions de l'appui continu.

Soient encore A et B (fig. 107) deux trajectoires polaires correspondantes, en contact au point 0. Imaginons une troisième courbe C, tangente en ce point aux deux premières et d'une forme telle qu'elle puisse rouler sur elles ; faisons maintenant mouvoir cette courbe avec les deux trajectoires, de telle manière qu'elle les touche constamment au pôle 0, c'est-à-dire que ce pôle se déplace sur elle comme sur les deux autres. Dans ce mouvement, un point D, relié invariablement à la courbe C, décrit une roulette, par rapport à cha- pjg k^. cune des deux trajectoires A et B. Les

deux roulettes, ainsi engendrées, aD..., et 6D..., ont toujours un point commun, le point générateur D, et une normale commune OD.

152 COUPLES D'ÉLËHENTS.

Elles peuvent, d'après cela, être utilisées comme profils d'éléments, puisque leur normale commune passe constamment par le point de contact des trajectoires polaires ; elles doivent, d'ailleurs, pour être applicables, satisfaire aux conditions exposées dans le paragraphe précédent.

Cette courbe C, en raison de sa fonction, peut être convenablement désignée sous le nom de trajectoire polaire auxiliaire. Si le

point décrivant se trouve sur la trajectoire auxiliaire elle-même ou à l'intérieur, les roulettes a et b qu'il engendre restent constamment d'un même côté des trajectoires polaires correspondantes A et B, et le côté opposé est disponible, dans tous les cas, pour recevoir des roulettes analogues Pig 108. comme courbes de profils. On

peut, par suite, par le même procédé, obtenir deux nouvelles roulettes c et ^ (fig. 108), correspon-^ dant à une seconde trajectoire, égale ou non à la précédente. \ Si les points décrivants sont situés sur les contours des trajectoires auxiliaires, les roulettes engendrées viennent toutes toucher les trajectoires polaires; on peut, dès lors, réunir a avec c, de manière à former un seul proGl, 6t de même b avec d. Si l'on répète le procédé indiqué, pour différentes positions de chacune des trajectoires polaires, on obtient une série de profils qui peuvent être utilisés comme profils de saillies, en forme de dents, sur l'élément correspondant. Une succession régulière de saillies de ce genre, entremêlées de vides convenables, trouve, comme on le sait, une application générale dans les roues d'engrenages. Dans ces roues, la portion de la trajectoire polaire comprise entre les points homologues de deux dents consécutives constitue le pas; la trajectoire polaire elle-même, le contour primitif ou, si elle est de forme circulaire, le cercle primitif. Comme trajectoires polaires auxiliaires, on utilise des cercles (désignés sous le nom de cercles de roues). Les portions de roulettes qui constituent les profils des dents doivent avoir une grandeur suffisante pour que Vappui ne subisse aucune interruption ; elles doivent avoir, pour le moins, une grandeur telle que, pour chaque dent, Tappui ait lieu pendant que la trajectoire polaire, dans son roulement, décrit la longueur d'un

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pas, ce que, dans le langage ordinaire, on exprime en disant que la durée de Tengrènement doit correspondre à un pas au moins. )(

Dans les roues dentées correspondant à des axoïdes cylindriques, ou les roues droites, on est allé plus loin, et Ton s^est imposé la condition de donner aux profils des dents une forme telle que toutes les roues de même pas puissent engrener rigoureusement les unes avec les autres, c'est-à-dire que ces profils se transmettent mutuellement des mouvements tels que les trajectoires polaires correspondantes (contours primitifs) soient des cercles. Les roues satisfaisant à cette condition peuvent être désignées sous le nom de roues, d'assortiment *, puisque, dans ce cas, toutes les roues de même pas se trouvent constituer, en quelque sorte, une collection dans laquelle on peut prendre deux termes quelconques pour former un couple. Willis paraît être le premier** qui ait appelé l'attention sur ce problème, d'un si grand intérêt au point de vue pratique, et qui en ait indiqué une solution ***. Si maintenant nous abandonnons le cas particulier des roues dentées pour nous replacer au point de vue général, où nous nous trouvions d'abord, il nous est facile de voir que le problème peut être résolu par l'emploi de trajectoires polaires auxiliaires congimentes, disposées en face l'une de l'autre, comme dans la fig. 108.

C'est par l'étude des roues dentées que les géomètres ont été conduits, depuis longtemps déjà, à l'emploi des roulettes comme profils d'éléments. En 1735, Camus, dans un mémoire peu connu, a exposé clairement le principe de cet emploi ; c'est ce qui résulte des recherches de Willis (20).

Avant lui, Lahiue avait fait des applications du même principe et, à ce sujet, il renvoie même aux travaux antérieurs de Desargues (1573 à 1662), qui avait déjà construit des roues dentées à profils épiçycloïdaux **•*, longtemps avant Rômer (1664 à 1710), qui est souvent cité comme l'inventeur des dentures à arcs de cycloïdes.

Sous le rapport de l'évidence des résultats, la méthode qui consiste à tracer les profils des éléments au moyen de roulettes est de

Cette dernière expression, employée pour rendre le mol composé Satzràder^ nous parait préférable, comme étant plus précise, à celle de roues harmoniques, que nous avions adoptée dans l'édition française du Constructeur. •* 1857. Transactions of Civil- Engineers, V. Il, p. 89.

*** La denture avec deux cycloïdes, engendrées par des cercles de rayons égaux; Tolr dans le Constructeur, p. 431, le tracé des profils de dents des roues d'assortiment V. Cba&les. Histoire de la géométrie.

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beaucoup supérieure à la précédente, et on peut môme dire, jusqu'à un certain point, qu'elle la renferme comme cas particulier, puisque, en définitive, le profil choisi arbitrairement peu/ toujours être considéré comme engendré par une trajectoire polaire auxiliaire. Par cela môme le second profil, celui que Ton cherche, est une roulette de cette môme trajectoire auxiliaire, qu'on peut imaginer comme génératrice du profil, dans la première méthode, bien qu'en réalité on ne se préoccupe pas de la déterminer.

Le principe de la génération des courbes comme roulettes, qui a une très-grande importance pour la cinématique, a été jadis indiqué par le géomètre Lahire (21), auquel on doit également l'expression de roulette. Jusqu'ici, les méthodes fondées sur ce mode de génération et les théorèmes qui s'y rapportent n'ont pas été développés comme ils méritaient de l'ôtre. Dans le procédé décrit au paragraphe précédent, la recherche de la trajectoire polaire auxiliaire est sans doute intéressante, mais nullement nécessaire pour le but qu'on se propose ; en général, le premier procédé est toujours applicable et pratique, toutes les fois qu'il s'agit d'obtenir un résultat isolé, qu'on ne doit pas faire dépendre de plusieurs autres.

Troisiôme procédé. — Trajectoires polaires secondaires considérées comme génératrices de profils.

Dans le second article du § 9, nous avons indiqué l'emploi de trajectoires polaires secondaires, en remplacement des trajectoires polaires proprement dites, ou primaires, et nous avons vu qu'elles permettaient parfois de rendre beaucoup plus facile la solution de certains problèmes; nous avons trouvé également que, suivant les cas, elles devaient être employées simultanément ou alternativement avec les trajectoires primaires. Parmi ces trajectoires secondaires, il en est qui présentent une très-grande utilité pour la génération des profils d'éléments. Cette classe particulière de trajectoires correspond aux cas où le mouvement peut ôtre représenté par deux courbes et une droite tangente à ces courbes. On obtient, par exemple, des trajectoires secondaires de ce genre, quand, par les points des deux trajectoires polaires primaires Aet B {fig. i09), on