TRAJECTOIRES POLAIRES SECONDAIRES

mène des sécantes, sous un angle constant par rapport aux tangentes à ces courbes ; les courbes enveloppes de ces sécantes, touchées par une droite qui roule sur elles, forment, avec cette droite, des trajectoires polaires secondaires. Si, en effet, C et D sont les centres de courbure des éléments de trajectoires polaires qui sont tangents en 0, les perpendiculaires CE et DF sont entre elles dans le même rapport que les longueurs CO et OD; il en résulte que, dans son mouvement de roulement, la droite FE est celle qui produit, dans les deux figures, les rotations angulaires les plus faibles, et que ces rotations sont précisément celles que produirait le roulement des trajectoires polaires. Supposons maintenant qu'on laisse un point quelconque P de cette droite décrire deux courbes aV et 6P, Tune par rapport à A, l'autre par rapport à B ; ces courbes, d'après les hypothèses, auront constamment une normale commune passant par le pôle et se confondant avec la droite génératrice eUe-môme FE. Elles pourront, par conséquent, être utilÎTiécs, comme profils, pour le couple d'éléments que l'on veut former. Dans le cas particulier où les trajectoires polaires primaires A et B sont circulaires, il en est de même des deux courbes E et F; les courbes de profils aP et 6P deviennent alors des développantes de cercle. Cette méthode de tracé par développantes est fréquemment employée pour les engrenages. Dans cette même méthode, on obtient des roues d'assortiment, lorsqu'on prend l'angle FOD constant pour toutes les roues de même pas.

Les courbes de profils àP et 6P sont, dans le cas actuel, des roulettes, engendrées par le roulement d'une droite sur les deux courbes E et F. D'après ce qui a été dit antérieurement, elle peuvent également être considérées CQmme roulettes pour les figures A et B. Dans le cas où il s'agit de trajectoires polaires circulaires, on

Fig. loe.

trouve une spirale logarithmique (*) pour la trajectoire polaire auxiliaire, dont un seul et même point décrit respectivement les développantes àP etfcP, dans le roulement de la courbe sur le cercle A et à l'intérieur du cercle B. Si, dans la Irinité des trois trajectoires polaires, la ligne intermédiaire n'est pas une droite, les roulettes décrites par les points de cette ligne n'ont pas de normale commune passant par le pôle et ne peuvent pas, par suite, être utilisées comme courbes de profils.

Quatrième procédé. — Trajectoires de points d'éléments

comme profils.

Dans le second des procédés que nous venons d'indiquer, les trajectoires polaires auxiliaires peuvent prendre les formes les plus variées. Comme exemple particulièrement remarquable, nous devons signaler la modification qui a pour résultat de faire coïncider les trajectoires auxiliaires avec les trajectoires polaires, proprement dites. Dans ce cas, chaque trajectoire auxiliaire ne décrit plus de courbe par rapport à l'une des trajectoires polaires, c'est-à-dire que chaque point décrivant n'engendre, en réalité, qu'un point unique ; par rappoit à l'autre trajectoire polaire, au contraire, ce point décrit une trajectoire. Cette dernière courbe, si on la choisit comme profil d'élément, se trouve avoir un point comme profil correspondant dans l'autre élément. Ce mode de tracé des profils trouve une application dans les roues d'engrenage. En me basant précisément sur ce mode de génération des profils des dents, j'ai désigné, sous le nom de denture à points **, l'espèce de denture qu'on obtient dans ce cas.

Ldifig. HO fournit un exemple d'une couple d'engrenages avec denture de cette espèce. Les deux trajectoires auxiliaires sont supposées coïncider avec les deux trajectoires polaires A et B, qui sont des cercles; ab et bc sont des trajectoires (ici des épicycloïdes). décrites par les points a et c du cercle B ; de et ef^ d'autres trajec-

* V., à ce siyet, la démon sudation donnée par Willis, p. 92, ou celle d'IIaton, Mécanismes y p. 101.

** Y. le CotutructeWf édition française, p. 437.

l'ROFILS ËOUIDISTANTS. 1&7

toircs (également des épicycloïdes), dècriles par les points d elgàa cercle A; ghd et aid sont des trochoïdes (épicycloïdes allongées), engendrées respectivement ,

par le point e de la roue B '

et le point b de la roue A.

Ici le contact se trouve avoir lieu, en même temps, en a, bctc; les normales en ces points d'appui passent toutes par le pâle 0 ; après un petit roulement, à di'oite ou à gauche, il se produit également un contact de e avec gk ou de k avec al.

On a assez souvent l'occasion de fondre ce mode de tracé des profils avec un '^'

autre ; on obtient alors ce qu'on appelle des dentures mixtes, dont on trouve des exemples dans les roues d'engrenages.

ClsquiAnie procédé. — Profils formés par des lignes parallèles & des roulettes.

Supposons que, pour deux trajectoires polaires A ctB {fig. Hi), on ait déterminé les prolîls aP et &P, par l'une quelconque des méthodes indiquées jusqu'ici. Si, des centres de courbure des j deux courbes aV et b?, correspondant au point de contact P, on décrit deux cercles, l'un avec le rayon de courbure de aP, en P, augmenté delà longueur PP,, et l'autre avec le rayon de cour- /"^ bure de iP, diminué de la môme p. ^^^

longueur, ces deux cercles seront en contact sur la normale PP,0, et ils auront, par suite, avec lesétémenls d'arcs en P, une normale commune, passant par le pôle

0. En opérant de la même manière, pour tous les autres points des deux arcs de profils aP et 6P, on obtient deux nouveaux arcs, a^?^ et frjP^, qui sont parallèles aux premiers ou équidistants, et qui peuvent également être utilisés comme profils d'éléments. Nous sommes ainsi conduits à une nouvelle variété de formes de profils, très-étendue, qui est uniquement limitée par les conditions pratiques d'emploi indiquées au g 31 . Les courbes équidistantes offrent parfois de grands avantages, comme, par exemple, dans le cas où elles sont appelées à se substituer à des trajectoires se réduisant à un point unique ; ce point se trouve alors remplacé par un arc de cercle ou même par un cercle entier ; c'est ce qui arrive, en particulier, dans les engrenages dits à lanterne, qui autrefois étaient très-répandus, et qui aujourd'hui encore sont employés

dans quelques circonstances exceptionnelles*. Lafig. H2 en fournit un exemple. Le point a et l'épicycloïde ab se trouvent remplacés, l'un par un cercle de rayon aflp l'autre parla courbe équidistante afi^. ^

Comme second exemple, reprenons la question du triangle curviligne dans le carré, dont il a été précédemment question, et proposons-nous de la traiter d'une manière différente. Dans la fig. H 3,

02'3' et 0234 sont respcctive- ® ment les trajectoires polaires d'un Q couple supérieur d'éléments dont nous voulons déterminer les profils. Dans ce but, nous aurons recours d'abord à la méthode de denture à points, en faisant coïncider la trajectoire polaire auxiliaire avec 02'5'. Sur le rayon vecteur 03, qui divise en deux parties égales l'arc 2'3', choisissons, pour ■'^ point générateur, le point R, qui coincïde avec le second point d'intersection des arcs 02' et 03' prolongés. Par rapport à la trajectoire polaire triangulaire, R décrit un point, tandis que, par rapport à l'autre, il décrit, à' droite comme à

Fig. llî.