PROFILS ÉQUIDISTANTS

gauche, une ligne droite, en sa qualité de point de la périphérie du plus petit des cercles de Cardan roulant dans le plus grand ; RC et RD "sont les deux parties de cette droite. En continuant à faire rouler la trajectoire polaire intérieure sur l'autre, nous finissons par obtenir les quatre côtés du carré comme profils pour l'élément extérieur. Il ne nous reste plus alors qu'à trouver l'appui pour l'élément intérieur. A cet effet, commençons par prendre un point générateur complètement homologue à R, pour chacun des deux autres côtés de la figure intérieure ; nous obtenons alors les points P et Q, qui, dans le roulement des deux trajectoires polaires, Tune sur l'autre, parcourent également les côtés du carré. Si maintenant, au point de vue de l'appui sur les côtés opposés, nous remplaçons les trois points R, P et Q par les arcs équidistants PQ, RQ et RP, nous retombons ici encore sur le triangle curviligne équilatéral PQR.

Fig. 114.

Rien n'empêche, d'ailleurs, pour tracer les arcs équidistants, de choisir un* rayon supérieur au côté du carré et de le prendre, par exemple, égal à ce côté PQ, augmenté de V«i comme on l'a fait dans la fig. 114. La forme du triangle curviligne diffère alors de la précédente, parce que les sommets des angles P, Q, R se trouvent remplacés par trois petits arcs équidistants. Pratiquement, cette suppression des angles P, Q, R*est avantageuse. Nous avons, du reste, déjà fait usage de ce procédé dans les fig. 5 et 8 de la planche RI. Si, au lieu d'augmenter le rayon d'équidistance, on le diminue, on arrive

IM COCPIIS D-ÉLÈIEM'S.

à des formes qui oc sont [>lus susceptibles d'élre ulilisées, comme celte qu'indique, dans la figure, le tracé C3 poialillé.

Un troisicme exemple de l'application des profils équidislMts nous est fourni par le couple supérieur d'élémenls que représente la fig. H 3 et que nous avons déjà examiné précédemment. Ici la loi du mouvement est déterminée par les Irajecloires de deux poinb, e'est-à-dirc les lignes droites déciilcs par les points fc el c. Les équidislantes à ces trajectoires reclilignes conslilucnt les profils

des rainures prismatiques pratiquées dans la piéccoatffl, tandis que les cercles équîdistants des deux poinlsi et c fournissent les profils des tourillons correspondants. Dans ce cas, pour la formation du couple, il n'est nullement nécessaire, comme on le voit, de connaître les trajectoires polaires. Quant à la forme de ces trajectoires, elle est facile à déterminer, d'après ce que nous avons dit précédemmcnl ; il résulte, en effet, des considérations du g '22, que ces trajectoires sont des cercles de Cardan, ou, du moins, des arcs appartenant à des cercles de cette espèce.

Sixiftme procédé. —Tracés approximatifs des profils au moyen d'arcs de cercle. — Héthode de Willis.

Lorsque les profils d'élémenls sont des lignes à courbure variable, leur exécution présente parfois certaines difOcultés, et il est alors désirable qu'on puisse remplacer ces courbes par des arcs de cercle. Ce remplacement est possible, toutes les fois qu'on peut se

TRACES APPROXIMATIFS. — M&THODE DE WlUIS.

conleoter d'une certaine approximation ou qu'on ne doit utiliser qu'une faible longueur de ces courbes, ce qui, en particulier, est le plus souvent le cas dans les roues d'engrenages. Aux parties courbes des profils on substitue alors des arcs, convenablement choisis, de leurs cercles de courbure. Plusieurs procédés sont en usage pour la détermination de ces arcs. Pour les roues dentées à profils cycloîdaux, qui doivent être, en même temps, roues d'as sortiment, on peut, par exemple, employer le procédé suivant, que j'ai proposé dans un autre ouvrage*.

Dans la fig. 116, A est un arc de la trajectoire polaire circulaire, c'est-à-dire du cercle primitif, de la roue qu'il s'agit de garnir de dents, B le centre de ce cercle, C et D les centres des deux cercles auxiliaires de même rayon (trajectoires polaires auxiliaires), générateurs des arcs de cycloîdes, en a et 6, qui doivent être remplacés par des arcs de cercle ; le rayon de ces cercles auxiliaires est égal aux 7» du pas de la roue ; 0 est le pôle des cercles A, C et D.

Les angles OCa et Q\ib étant pris égaux à 30*, on prolonge les rayons aC et D6 jusqu'à leurs points de rencontre a! et V avec les cercles auxiliaires, puis on mène, par a et 6, une droite qui, d'après la manière dont ces points ont été déterminés, doit passer par le pôle 0 et être, par suite, normale aux éléments de cycloîdes en a et 6 ; on joint ensuite les points a! et b' au centre B, et les points P et Q, où les lignes de jonction Ba' et W coupent la normale ba, sont les centres de courbure cherchés. Les deux arcs de cercle décrits du cercle primitif au sommet et à la racine de la dent sont répétés symétriquement de l'autre côté, pour constituer le profil ' cO/ûplet de cette dent, comme l'indique le dessin.

Dans la méthode rem arquable qu'il a proposée, Willis procède

Fig. 116.

* V. le Conitrueteur, édition française, p. 436.

Fi^'. H7.

It2 COUPLES D'ÉLÉHEKTS.

directement à la recherche des arcs de cercle propres au tracé du profil des dents, c'est-à-dire sans introduire de trajectoires polaires auxiliaires ni de roulettes. Cetle méthode, qui, à certains égai-ds,

se rattache aux indications d'Euler, est basée sur des considérations qu'on peut résumer comme il suit :

Soient A et B(fig. 117) les centres de rotation de deux corps qui doivent se commander mutuellement, par l'intermédiaire de profils circulaires ayant leurs centres en P et Q et leur point de contact en R ; le point de rencontre 0 des deux lignes des centimes PQ et ÂB est alors un point des deux trajectoires polaires correspondant àAetàB(Yoy.§8),etlesvi.

tesses angulaires de ces trajectoires sont entre elles dans le rapport de OB à OA. Pour que ce rapport puisse rester sensiblement constant, pendant un temps très-court, il faut que, pendant ce même temps, la ligne PQ, dans son mouvement, s'écarte le moins possible du point 0. Mais le centre instantané de rotation de PQ, par rapport à AB, étant le pôle C, placé à l'intersection des rayons PA et BQ prolongés, il en résulte que le point 0 ne peut rester, pour un instant, sur PQ qu'autant que le point C se trouve sur une perpendiculaire à PQ, menée par le point 0, comme, par exemple, le point C\ dans notre figure. Par conséquent, lorsqu'on a choisi l'un des deux centres, P par exemple, on peut immédiatement déterminer le second, puisqu'il doit se trouver à l'intcTsection de PQ avec la ligne de jonction BC. La longueur PQ, ou plutôt PQ', ainsi obtenue, est la somme des rayons de courbure cherchés ; on peut, d'ailleurs, toujours placer à volonté le point de contact R, le transporter, par exemple, en K\ en s'appuyant sur les propriétés connues des courbes équidistantes (§ 35).

Dans cet élégant procédé, pour satisfaire à la condition spéciale aux roues d'assortiment, Willis fait choix de trois grandeurs consolantes : la longueur OC, la longueur OR et l'angle POA, qu'il prend