EMPLOI DES TRAJECTOIRES POLAIRES GOMME PROFILS D'ÉLÉMENTS

égal à 75^. Si le profil des dents doit être limité par un seul arc de cercle, il fait 0C'= oo et OR = 0, et alors les arcs de cercle approximatifs deviennent des arcs de développantes (Yoy. g 33).

Si Ton doit employer deux arcs de cercle juxtaposés, en forme d'un S, on a à appliquer la méthode deux fois (fig. 1 1 8) ; on prend, en outre, OR' et OR' égaux tous les deux à k moitié du pas, en même temps qu'on fait les deux longueurs égales OC" et OC" assez grandes pour qu'une roue de douze dents arrive à avoir des flancs droits à -' l'intérieur du cercle primitif. Ce dernier résultat se trouve atteint , lorsqu'on prend OC' égal au pas, mul-

Upliép.r?si„.75-.Siron

examine de plus près cette construction, on reconnaît qu'elle est identique à celle de la fig. 116, à la condition, bien entendu, de donner les mêmes valeurs aux trois constantes correspondantes. R'C et R"C" sont les diamètres des cercles auxiliaires de h fig. H6, qui, pour faciliter la comparaison, ont été reportés ici en pointillé ; les points C et C correspondent aux points a' et b' de cette même figure ; quant aux points P et Q, ils sont déterminés de la même manière dans les deux cas. Watis a, du reste, reconnu lui-même l'identité des deux méthodes *.

Fig. 118.

Septième procédé. — Emploi des traîectoires polaires ellesmêmes comme profils d'éléments.

Si on laisse les trajectoires polaires auxiliaires, employées dans le second procédé et considérées comme figures fermées, devenir de

« V. mmt, Principlet, ^ édiUon, p. 142.

plus en plus petites, jusqu'à ce qu'elles arrivent à se réduire à de simples points, il est évident que ces points, dans le roulement, décriront les deux trajectoires polaires eUes-mêmes. Ces dernières trajectoires peuvent paiement être utilisées comme profils d'éléments, à la condition que les deux axoîdes cylindriques soient pressés, l'un sur l'autre, assez for-

tement pour que le frottement produit au point de contact ait une valeur capable d'empêcher le glissement et que, par suite, les cylindres soient obligés de rouler l'un sur l'autre. C'est le seul cas où les profils d'éléments se trouvent avoir un mouvement de pur roulement. Des trajectoires polaires circulaires, de grandeur constante, fournissent des roues cylindriques (fig. 119), connues sous le nom de roues de friction. Parmi les applications assez nombreuses de ces roues, les plus importantes sont celles qui se rapportent aux roues des chemins de fer. Nous reviendrons, du reste, dans le chapitre suivant, sur la propriété caractéristique de la force qui, dans les applications de ce genre, maintient les deux axoîdes pressés l'un contre l'autre.

Fig. 119.

Généralisation des procédés précédents.

Dans lexposition des méthodes étudiées jusqu'ici, nous nous sommes constamment bornés à considérer le roulement cylindrique ; toutefois, ces méthodes peuvent également être appliquées au cas d'axoîdes non cylindriques . Cette application est facile avec les axoîdes à roulement conique, mais elle devient beaucoup plus laborieuse, quand il s'agit d'axoîdes qui virent, l'un par rapport à l'autre, ou qui sont doués d'un mouvement de roulement hyperboloîdique (Yoy. § 13). Ici les lois de mouvement même les plus simples entraînent de grandes difficultés, aussi bien pour les considérations théoriques que pour l'exécution pratique. C'est à la cinématique appliquée que revient la tâche d'aborder les cas les plus importants et de les

GENÈnALISATION DES PROCÉDÉS PRËGÈDEKTS. 165

analyser aussi complètement qu'il est nécessaire de le faire. D'une manière générale, on doit reconnaître que, parmi les profils d'éléments pour des axoïdcs supérieurs, les plus simples, comme ceux des engrenages hyperboloïdes, présentent encore de sérieuses diflicultes d'exécution, et c'est là une circonstance de nature à nous faire envisager avec modestie les résultats obtenus jusqu'à présent. Toutefois, nous devons signaler ici les louables progrès qu'ont fait faire à l'application des axoïdes supérieurs l'industrie, relativement récente, des machines à coudre, et la construction des machines agricoles, bien que ces progrès aient été réalisés, pour ainsi dire, d'une manière empirique et sans qu'on se rendit bien exactement compte du caractère général des recherches qui les ont amenés ; c est surtout à la première de ces industries qu'on est redevable du développement donné aux moyens propres à assurer l'exécution rigoureuse de surfaces enveloppes, relativement compliquées.

Les exemples que nous avons cités précédemment étaient, pour la plus grande partie, sinon pour la totalité, empruntés au domaine des roues d'engrenages ordinaires ; ils étaient donc, par cela même, plus ou moins connus, ou, si Ton veut, familiers pour ceux de nos lecteurs qui ont fait de la technique des machines l'objet d'une étude scientifique. Toutefois, les procédés que nous avons indiqués méritaient d'appeler de nouveau l'altention, parce que nous les avons considérés en nous plaçant à un point de vue tout à fait général, et que nous nous sommes proposé beaucoup moins de formuler des règles, pour les tracés de dents, que de montrer comment ces règles dépendaient d'un principe plus élevé. — En déplaçant faiblement le point de vue où l'on se place d'ordinaire, nous sommes arrivés à démontrer que certains résultats, considérés et exposés communément comme le produit de règles étroitement limitées, étaient, en réalité, susceptibles d'une utilisation générale. En choisissant des exemples aussi familiers, nous avons eu précisément pour but de rendre plus intelligibles les résultats obtenus et de faciliter leur application à des cas plus généraux.

Maintenant nous espérons surtout avoir mis nettement en évidence la possibilité de former un couple d'éléments susceptible de réaliser un mouvement quelconque, quelque compliqué qu'il soit, en indiquant les moyens de déterminer les profils à donner aux deux éléments. Nous avons aussi montré que, dans les cas ordinaires, où les lois des mouvements à réaliser sont relativement simples, on a à sa disposition une très-grandcvariétë de solutions. Tandis que, dans le

166 COUPLES D*ËLËVEI)TS.

dernier siècle, les géomètres les plus éminetits s'efforçaient de trouver les solutions spéciales de problèmes isolés et attachaient forcément à ces questions une grande importance, il existe aujourd'hui, dans un cercle beaucoup plus étendu, une abondance de vues, qui, dans son ensemble, est presque plus facile à saisir que ne Tétait jadis le cas isolé; cette généralité de vues laisse pourtant encore au sens pratique de nombreuses occasions de s'exercer, car c'est à lui de découvrir, parmi les solutions variées qui se présentent, quelle est celle qu'il convient de conserver comme la meilleure.

Peut-être dois-je craindre d'avoir fatigué quelques-uns de mes lecteurs par les longs développements que je viens de présenter ; je ne me suis, en effet, avancé jusqu'ici qu'avec une extrême lenteur, point par point, pour ainsi dire, en cherchant plutôt à mettre en évidence les difficultés des problèmes qu'à les éviter. Par là je suis arrivé peu à peu à déterminer complètement les lois particulières qui doivent présider à la formation des couples d'éléments desmodromiques, ce qui était précisément le but à atteindre. Ces lois ne sont pas, à vrai dire, des plus simples, et ne paraissent pas évidentes au premier aspect; mais elles n'en constituent pas moins de véritables lois, parfaitement fixes, qui restent applicables dans les limites que nous nous sommes tracées. Pour ce motif, il ne sera pas inutile de nous arrêter ici un instant et de reporter de nouveau l'attention des lecteurs sur les systèmes qui ont été généralement admis jusqu'ici et qui ont été esquissés dans 17n/rodMC/ion; nous nous attacherons particulièrement aux systèmes fondamentaux de Laboulaye, qui sont assez répandus et au sujet desquels nous avons promis précédemment de fournir des explications plus détaillées. Proposons-nous donc maintenant de déterminer ce que représentent véritablement les trois systèmes levier, tour et plan de Labod- LAYE, qui offrent un caractère si prononcé de généralilé géométrique, en utilisant, pour la solution de cette question, les notions que nous avons cherché à acquérir dans le dernier chapitre.

Dans le premier système, le corps mobile a un point fixe; dans le second, le corps a deux points fixes ou une droite fi:x:e, ctenfin,dans le troisième, Vobstacle consiste en trois points fixes ou en un plan passant par ces trois points. Tout d'abord il convient de i^emarqucr qu^au fond il n'y a là aucune allusion à la chaîne cinématique, la-