JO

Fig. VA.

dimensions des quatre membres (^3. 201) étaient telles qu'en supposant à fixé, a pouvait décrire des cercles entiers, tandis que c oscillait simplement suivant un arc de cercle. En admettant que a, 6, c, à représentent encore les longueurs des différents membres, mesurées entre les centres de tourillons, il suffit, pour que le résultat précédent soit maintenu, qu'on ait :

Les deux premières inégalités expriment les conditions relatives i l'existence du quadrilatère 1, 2, 3, 4.

En raison du parallélisme des quatre couples de cylindres, toutes, les trajectoires polaires sont des figures planes et tous les axoïdes sont des cylindres. Comme, dans les applications, le membre tour-

QUADRIUTÈRE A HANnTELLE CYLINDRIQUE. 303

nant a porte le nom de manivelle^ la chaîne précédente peut être dénommée quadrilatère à manivelle cylindrique, ou encore chaîne à manivelle cylindrique de quatre membres. Les divers mécanismes qu'on peut en déduire, en fixant Tun des membres, peuvent, par suite, être désignés sous le nom de mécanismes à manivelle cylindriques (de quatre membres). V^à\&c\xi cylindrique doit figurer dans CCS désignations, car nous verrons plus tard qu'il existe d'autres mécanismes à manivelle. Les mécanismes dérivés de la chaîne précédente sont au nombre de quatre et, d*aprés la méthode de notation concentrée du paragraphe 62, peuvent s'écrire : (C*)**, (C;;)*', {C)] (Q% Examinons-les brièvement, l'un après l'autre.

Mécanisme (C^)*. — Nous avons déjà rencontré plusieurs fois ce mécanisme, avec lequel nous sommes, par suite, suffisamment familiarisés. Ses membres ont des fonctions nettement distinctes et, pour abréger le discours, nous pouvons leur donner, comme définitives, les désignations qui n'ont été employées jusqu'ici que d'une manière incidente ; nous nommerons ainsi :

a la manivelle. c VoscUlateur.

b le lien. d là pont.

Ces dénominations, dont il n'est pas nécessaire, d'après ce qui précède, de motiver plus longuement l'adoption, pourront être utilisées également, avec quelques qualifications convenables, pour d'autres mécanismes à manivelle.

Avec le mécanisme actuel (fig. 201), la manivelle a, dans sa rotation, donne, par l'intermédiaire du lien 6, un mouvement de va-etvient, suivant un arc de cercle, à l'oscillateur c ; nous pouvons, par suite, désigner le mécanisme sous le nom de manivelle rotative d'impulsion curviligne.

Mécanisme (C[)^. — Si nous fixons maintenant la chaîne sur le

''jiijin^^aia^,

"mj^'iâim^:

membre 6, en rendant libre le pont d de la figure précédente, nous obtenons un mécanisme {fig. 202), dans lequel a tourne encore,

304 ANALYSE QINÉMATIQUE.

mais autour de Taxe 2, au lieu de 1, tandis que c oscille autour de l'axe 3 ; le pont d s'est transformé en lien et le lien primitif en pont. Le mécanisme est encore une manivelle rotative d'impulsion curviligne^ qui ne diffère de la précédente que par le rapport des dimensions du lien et du pont. Quant à la nature du mécanisme, elle est la même dans les deux cas, de telle sorte qu'on a : (Ci)''=(Ci[)^.

Mégamishe (CI)' . — Si l'on prend le membre a comme pont (fig. 203), on obtient un mécanisme dont nous nous sommes déjà

Fig.S03.

occupés au paragraphe 9 et qui est complètement différent des deux précédents. Les membres h ci d tournent autour des axes 2 et 1 et deviennent, par suite, des manivelles, tandis que c sert de lien. La pratique connaît ce mécanisme sous le nom de joint à genou ; nous le désignerons sous celui de manivelle double rotative. Les rotations des deux manivelles s'exécutent avec des rapports de vitesses variables, ce que nous avons précédemment démontré, sous une forme facile à saisir, au moyen des trajectoires polaires réduites (fig. 25). Mécanisme (Ciy. — Dans ce quatrième mode de fixation (fig. 204), les membres 6 et d oscillent autour des axes 3 et 4 ; c devient le pont, a le lien. Dans la position 4r2'3 (en pointillé), b se trouve dans sa position limite, à droite ; lorsque b revient en arrière, d s*a-

QUADRIL4TËRE A HANlVfcLLE CYLINDRIQUE. 305

vance encore un peu vers la droite, puis revient également en arrière, pour arriver finalement dans sa position extrême, à gauche, en 1". De môme, lorsque, à partir de cette position, d se porte vers la droite, b se déplace encore d'une petite quantité vers la gauche, pour revenir ensuite à droite. Dans la position intermédiaire 4 l'"2'"3, les membres 6 et d se montrent croisés. Dans la pratique, ce mécanisme est employé, sous des formes variées, comme appareil de guidage en ligne droite, en n'utilisant, toutefois, qu'une portion de l'oscillation totale ; nous proposons de le désigner sous le nom de manivelle double oscillante. Nous pouvons le considérer comme la

contre-partie exacte du mécanisme (C'î)*, dans lequel les mêmes bras 6 et d tournent, au lieu d'osciller.

Nous avons ainsi épuisé les divers modes de fixation de la chaîne considérée et nous avons constaté que les quatre mécanismes, auxquels donnent lieu ces fixations, se réduisent à trois, de nature différente. Les trois modes distincts de mouvement de ces mêmes mécanismes ne sont pas autre chose, comme nous le savons, que les mouvements relatifs des membres de la chaîne dont, suivant le mode de fixation, nous avons rendu le mouvement absolu, ou, plus exactement, absolu pour nous, par rapport au quatrième membre (d), au second (6), au premier (a) ou au troisième (c) (voy. § 5).

Des quatre mécanismes trouvés celui dont les applications sont les plus nombreuses est le mécanisme (C;y = (C;)^ ou (C;)*'=^, en réunissant les deux formules en une seule.

RBDLEADZ, CIHÉMATIQUE. 2J

906 ANALYSE CINÉMATIQUE

Manivelles parallèles.

Il est évident qu'en changeant les rapports de dimensions des membres dans la chaîne (CI), on doit pouvoir modifier les mécanismes qui en dérivent, ainsi que la nature de leure mouvements, puisqu'en augmentant suffisamment L'angle d'oscillation, les mouvements relatifs oscillatoires peuvent être transformés en mouvements rotatifs, el inversement. Des modifications de ce genre donnent lieu à une série de cas particuliers, dont nous allons examiner les plus importants. Commençons par pousser à son extrême limite le rapport des longueurs de a et de c, pour lesquelles nous avons supposé jusquUci a < c ; si nous faisons a ^ c et si nous prenons, en outre, 6 = d, le quadrilatèi*e à manivelle se transforme en paraUélogramme (fig. 205). L'oscillateur c devient une manivelle identique à

Fig a06.

la manivelle a et qui décritUes mêmes[angles qu'elle, quand d est fixé. Comme les membres sont parallèles, deux à deux, la chaîne peut être représentée par la fonnule concentrée : {C[\\ C[). Le signe Il est suffisant et il n'est pas nécessaire de recourir au signe plus complet #, puisque le premier exclut l'antiparallélisme, qui, d'après le paragraphe 47, pourrait également se produire. Le signe = ne serait pas suffisant, car l'égalité des membres, deux à deux, qu'il indiquerait, pourrait avoir lieu de telle sorte qu'on eût a=:fc, c=d, mais a<cou>c, ce qui serait contraire à l'hypothèse faite. Le signe # peut être réservé pour le cas où le parallélogramme devient un losange.

Si l'on fixe le mécanisme sur le membre d, qui devient alors le pont, comme l'indique précisément la figure, la formule doit s'émre : (C^ \\ C.)*'. La nature du mécanisme ne change pas, quand la

XANIVELLES PARALLÈLES. 307

fixation se fait sur l'un quelconque des membres b, a ci c, au lieu ^ de d. Par conséquent, les quatre mécanismes que la chaîne est susceptible de former sont de la même espèce, et nous les comprendrons tous sous la dénomination commune iIc manivelles parallèles.

Aux points morts 2'1 5'4 et 1 2" 4 5", la chaîne n'est pas fermée desmodromiquement, ainsi que nous l'avons vu déjà (g 46). Par conséquent, pour assurer le passage des points morts, ïl est nécessaire de recourir à une clôture spéciale, dont nous avons précédemment, a différentes reprises, trouvé l'application, et précisément sous les deux formes que représentent les figures 206 et 207. IL s'agit maintenant de voir comment nous pouvons écrire cincmatiquement ces deux modes de liaison.

Nous nous trouvons ici en présence d'une clôture par chaîne et, d'après le paragraphe 57, cette clôture devrait s'indiquer en introduisant, dans la formule, la letLi-e k au dénominateur, de telle sorte que les deux chaînes devraient s'écrire :

<t^:iit::)

k Mais, comme ici la chaîne de clôture se trouve être pi'écisément identique à la chaîne qu'il s'agit de fermer, on obtiendra une formule encore plus intelligible, en ajoutant le signe d'égalité au dénominateur k, et en enfermant le tout entre parenthèses. La formule devient alors :

ik=) '■■ *"■

ce qui signilîe : un couple de manivelles parallèles fermé par ua autre

308 ANALYSE CINÉMATIQUE.

couple de manivelles parallèles. On peut, toulerois, adopter ici une notation encore plus commode, en introduisant le facteur 2, pour exprimer la réunion des deux chaînes delà même espèce, qui agissent, en outre, d'une manière réciproque ; on obtient ainsi la formule :

Il reste maintenant un dernier point à préciser, celui de la distinction entre les dispositions des figures 206 et 207. Dans le premier cas, les deux « manivelles » de la chaîne de clôture sont reliées invariablement avec celles de la chaîne à fermer, de telle sorte qu'elles forment, deux à deux, un seul membre. Dans le second cas, l'une des manivelles de la chaîne de clôture semble coïncider avec une de celles de la chaîne principale , tandis que l'autre reste isolée et doit, par suite, être réunie, au moyen d'un lien, avec la seconde manivelle de cette même chaîne. Toutefois, en comparant avec soin et avec toute l'abstraction possible les deux chaînes, on arrive à reconnaître qu'il existe entre elles une relation plus simple ; on trouve, en effet, que les deux chaînes (non les mécanismes) sont identiques. En fait, les membres ternaires aa' et a/ de la chaîne de la figure 206 correspondent aux membres ternaires aa' et ccf de la figure 207, de même que les membres binaires d, b et b' de la première disposition correspondent aux memb>es qui portent les mêmes désignations dans la seconde. Par conséquent, si, comme l'indiquent les figures, on convertit les chaînes en mécanismes, en les fixant respectivement sur les ponts d et aa\ le second mécanisme apparaît comme une inversion du premier, de telle sorte que nous pouvons maintenant représenter, d'une manière très-claire, le mécanisme de la figure 206 par la formule 2 (C^ || C^y et celui de la figure 207 par 2(Câ II Cî)'. Ces mécanismes sont formés tous les deux parla même chaîne de cinq membres et sont des exemples des deux seules espèces de mécanismes qu'on puisse tirer de cette même chaîne.

Manivelles antiparallèles.

Ainsi que nous l'avons vu au^paragraphe 47, nous pouvons, au moyen d'une clôture par couple, convertir le parallélogramme à

MANIVELLES ANTIPARALLÈLES. 309

manivelles en un antiparallélogramme, lequel reste constamment dcsmodromiquc, dans toutes les positions où il peut être amené. Les figures 208 et 209 représentent les deux formes de la chaîne à

FiK. 208.

clôture par couples qu'on obtient ainsi et qui ont été déjà précédemment considérées. Nous désignerons, sous le nom de manivelles antiparallèles, les mécanismes qu'on peut tirer de cette chaîne. Deux dispositions conduisant à des résultats difTérents sont possibles : la fixation a lieu, pour la première, sur d ou 6 et, pour la seconde, sur c ou a.

Si la fixation a lieu suFd, comme l'indiquent les deux figures 208 et 209, les deux manivelles a et c tournent en sens opposés ou sont,

comme on dit, de sens contraires; c'est pour ce motif que j'ai proposé autrefois de désigner ce mécanisme sous le nom de manivelles antirotatives (voy. § 47, fig. 155).

Si, au contraire, la fixation a lieu sur a (fig. 210), c devient le lien \ b ti d sont alors des manivelles, qui accomplissent encore des rotations entières, mais de même sens.

L'ahtiparallélogramme fournit, par suite, dans le premier mode de fixation, des manivelles antiparallèles, à rotations contraires, et, dans le second, des manivelles antiparallèles, à rotations de même

310 ANALYSE C1^ÉMATIQUE.

sens. Il convient de remarquer que la loi de la rotation est la même dans les deux cas ; cela résulte de ce que, en raison de Tantiparallélisme, les angles 1, 2, 3 et 1, 4, 3 sont égaux enti'e eux. Si donc on voulait réduire à des trajoctoires polaires, à mouvements

Fig. ^0.

contraii*es (voy. § 9), les trajectoires polaires hyperboliques, décrites par les membres b et d (g 47) et qui sont assez difficiles à saisir, on obtiendrait deux ellipses congruentes.

La notation concentrée des deux mécanismes précédents doit avant tout indiquer l'anliparallélisme et il convient, par suite, d'intercaler le signe correspondant entre les symboles des cylindres. La chaîne, avant toute fixation, devra donc s'écrire : (C^'^C^). Nous aurons alors, pour les manivelles antiparallèles, à rotations contraires : (CJ ^ C\) , ou (Ci ^ C'if* ; de ces deux formules on peut n'en conserver qu'une, la première, à moins qu'on ne préfère les réunir en une formule unique : (C[:^Ci) "'*'.— De même, les manivelles antiparallèles à rotations de même sens pourront être représentées par

ces