Deux surfaces d'ordre 2n — 3 circonscrites à J

du dv dw dXi dXi dXi

du dv dw

se coupent encore suivant une courbe K définie par

du dv dw dXf dXi dXi

Celle-ci est le lieu des points dont les plans polaires relatifs aux trois surfaces se coupent sur la droite a^ intersection des plans oLj^ = 0, (3^ = 0. Celte courbe est d'ordre

Elle coupe la courbe J en des poinis dont le nombre s'évalue par la méthode du n® 5. On trouve

(n-^n' '\' n" — 5)fnn' -^ nV -f- n''n — 2 (w ^ n' -^ «") -«- 5]

Quelle est Tinterprélation géométrique de ce résultat?

Pour tout point de la Jacobienne, les plans polaires relatifs aux surfaces u, v, w se coupent suivant une même droite d. Toutes ces droites décrivent une surface que Ton pourrait appeler Steinérimne des trois surfaces ti, v, u;, ou, si elles sont de même ordre, du réseau hi -^ \kv •¥- yw.

Les premières surfaces polaires des points d'une droite relatives aux trois surfaces ti» v, w forment trois faisceaux; quand la droite en question est génératrice de la Steinérienne, les courbes de base de ces trois faisceaux ont un point commun x sur la Jacobienne et, en général, un seul. Si la droite en question rencontre a^, le point x est en même temps sur la courbe K, lien des points dont les plans polaires relatifs à ii, v^ w se coupent sur ap et réciproquement. Donc le nombre des intersections des courbes K et J est généralement égal au nombre des intersections d'une droite arbitraire a^ avec les génératrices de la Steinérienne, ou encore égal à Tordre de cette surface Steinérienne. Cet ordro est donc

(Sn — 3)(Smi' — 2Sn + 3) — (n — l)(n'— 1)(n" - 1).

Pour n^=^n' = n'^ = 2, ce nombre est 8; c'est l'ordre de la surface des trisécantes de la courbe Cq définie au n® 1 1 . Pour n = n^ ^= w", ce nombre est 8(n — l)^.

30. Considérons un réseau de surfaces d'ordre n. Faisons suivre la matrice Jacobienne d'une colonne de constantes >, ji, v. La nouvelle matrice s*annule pour 4(n — l)^ points, dont chacun n*a qu'un seul plan polaire par rapport aux surfaces d'un certain faisceau F pris dans le réseau donné. Le faisceau F dépend des constantes X, {jl, v. Les 4(n — 1)^ points sont aussi les points singuliers de surfaces de ce faisceau F.

Si Ton fait varier \ [x, y, on a, sur la Jacobienne, oo^ groupes de points pareils. Chaque groupe est déterminé par deux de ses éléments et peut être réuni à chaque courbe K (voir numéro précédent) au moyen d^une-surface d'ordre 2(n — 1). Une telle surface est le lieu des points dont les plans polaires relatifs aux surfaces du faisceau F correspondant se coupent sur une certaine droite a^.

31. L. Cremona (Preliminari) a aussi défini la courbe Jacobienne de cinq surfaces, d ordres n|, n^, 113, 114, n^^, par exemple. Cette courbe est le lieu des points dont les plans polaires relatifs aux cinq surfaces passent par un même point; elle est représentée par Tévanouissement d'une matrice à cinq colonnes de quatre éléments chacune; les éléments de chaque colonne sont les dérivées partielles de la forme représentant une des surfaces.

D'après ce qui précède, il est permis d'énoncer simplement les principales propriétés de cette courbe. Elle passe par les points communs aux surfaces données, quand il y a des points pareils, mais non par les points singuliers des surfaces. Quand les nombres n^ sont égaux, elle est aussi la Jacobienne de cinq surfaces quelconques du système linéaire quadruplement infini déterminé par les surfaces données. En général, la Jacobienne des cinq surfaces est de Tordre (voir nos préliminaires)

Elle rencontre la Jacobienne des trois premières surfaces, par exemple, en un nombre de points égal h

(«4+Wa+W5— 3) [n|»irt-«iii5+ Wjfit— 2(ni+ w,+/i5)+5]— (n,— 1 )(n,— 4 )(ws-l ) -t-(w4-4-W5— 2)[n;-HWÎ-hwî-Hnint+ntn,-f-n5n,— 4(n|-Hn,+n5)-*-6].

Dans le cas spécial où tous les nombres n,* sont égaux, la Jacobienne est d'ordre 10(n — 1)^; elle est alors sur 00^ surfaces d'ordre 4(n — 1); deux quelconques de ces surfaces se coupent encore suivant une courbe d*ordre G(n — 1)^ coupant la Jacobienne en 20 (n — 1)' points.

Dans le cas plus spécial où les cinq surfaces sont des quadriqueSy la Jacobienne est une courbe du dixième ordre, appartenant au type c^q étudié au n*' 17. Si les quadriques ont deux points communs, la droite qui les joint fait évidemment partie de la Jacobienne. Cinq quadriques définissant un système quadruplement infini ont, au plus, cinq points communs. Lorsqu'il en est ainsi, la courbe qo se réduit aux droites joignant ces points deux à deux. Si les quadriques passent par une même conique,, il n'y a plus de courbe Jacobienne : tous les points du plan de la conique répondent à la définition géométrique de la Jacobienne.

Dans le cas général, le genre de la Jacobienne de cinq surfaces se trouve en appliquant soit la méthode, soit la formule du n^ 4 ; c'est

5 = 1+ (Sn,if, — 4Sn ^ 10)(Sii — 7) — i[S(n, — 1)'(n, — i)

+ 2SK-.1)(w,-.l)(ii3— 1)].

Après quelques calculs, ce résultat peut s'écrire

g = i[S«Snin, — 4(Sw)* -h 52Sn — iâSw.n» -*- ^n^n^Ui — 98].

Si les cinq surfaces sont d'ordre n, le genre est

30n» — non* + 130n — 49.

Dans ce dernier cas, si l'on fait précéder la matrice d'une colonne de constantes arbitraires, on obtient, sur la courbe, oo^ groupes remarquables de 10(n — 1)^ points. Chacun de ces groupes peut être réuni, par une surface d'ordre 3(n — 1) à chacune des courbes d'ordre 6(n — 1)2 qui coupent la Jacobienne en 20 (n — 1)3 points. Chacun de ces groupes est composé des points dont les plans polaires relatifs aux surfaces du système donné se coupent dans un certain plan déterminé.

Élimination dans le sens restreint.

32. La représentation d'une ligne par une matrice ne donne pas seulement Tordre et le genre de la figure, mais implique

une connaissance plus profonde de Tobjet et donne notamment ses propriétés fondamentales, modes de génération, surfaces circonscrites d'ordre le moins élevé, courbes raultisécantes, groupes de points remarquables, etc. La solution d'un problème obtenue sous forme d'une matrice peut donc être considérée comme une réponse passablement complète à la question posée.

Il serait intéressant de savoir quelles courbes gauches peuvent être représentées par des matrices. Ce problème se présente sous un double aspect, soit que Ion n'admette comme éléments de la matrice que des formes les plus générales de leur ordre et sans relations identiques entre elles, soil que Ton fasse abstraction de ces condin'ons. Dans le premier cas, il suffit de satisfaire par des nombres entiers aux formules donnant Tordre et le genre de la courbe gauche, et Ton voit immédiatement que toute courbe algébrique ne peut pas annuler une matrice; notamment la biquadratique unicursale ne se prête pas à ce mode de représentation.

Bref, le problème paraît fort difficile; nous espérons pouvoir, dans Tavenir, y consacrer nos recherches. Ici nous nous bornons à exposer quelques manières très générales d'obtenir, sous forme d'une matrice, la représentation d'une courbe gauche.

D'abord toute courbe représentée par l-¥-i équations contenant /paramètres homogènes au premier degré rentre dans la catégorie des figures dont nous nous occupons. Gela est si évident que tout commentaire serait superflu. Traitons seulement, à titre d'exemple, une question que nous avons i*ésolue dans les Rendiconti del circolo matematico di Palermo (1904) à la suite d'un article de M. G. Mineo, paru dans le même recueil et sur le même sujet (*).

Soit à chercher le lieu des points de contact des surfaces d'un fajsceau d'ordre n avec les surfaces d'un autre faisceau d'ordre n'. Ges faisceaux seront représentés par les équations

(*) Question généralisée depuis par M. Giambelli, Rend. Palermo, 1907.

Pour tout point du lieu on a les relations

F ^- A;Fi = 0,

d¥ , rfF, [df dfA

qui expriment que le point est sur une surface du premier faisceau et qu'il a le même plan polaire par rapport à cette surface et à une surface de Tautre faisceau. L'élimination de ky p, / donne la courbe

dF

dF

dF

dF

dxi

dxt

dxi

dx^

dFi

dF,

rfF,

dF,

dxi

dxt

dxz

dx^

df

df

df

df

c/Xi

dxi

dxi

dxi

dfi

df,

df.

dfi

dx^

dxt

dx^

dXt

Les éléments de la première colonne peuvent être remplacés par 0, 0, /; fi.

La courbe est de Tordre

fi = 3(n* 4- «'• — 2) 4- 4(ww' — 2n — 2n').

Le genre se trouve en appliquant la méthode ou la formule du n® i; pour le développement du calcul, on peut consulter notre article des Rendiconti di Palef^mo; on obtient

^ = (n -f- n' — 2) [5'(n* -fr- n'* -fr- «w') — 4(4n + 4n' — 3)] + 2wn' — i .

Les points où la courbe A, base du faisceau F + kF^^ coupe te lieu considéré sont les mêmes que ceux où la courbe A coupe la surface

dF dF, df df.

dxi dx^ dxi dXi

leur nombre est donc

De même, la courbe de base du faisceau f -t- If^ coupe le lieu en 2n'2(n + n' — 2) points.

Dans la matrice qui représente le lieu, on peut remplacer les éléments de la dernière ligne par

df df, df^.df, df df, df dU ' dx, dx, dx^ dx, c/x3 dx, dx^ dx.

Si la surface f ^ lf^z=zO n un point double, celui-ci annule alors les éléments de la dernière ligne de la matrice ; il est donc, en général, un point simple du lieu.

33. On peut encore représenter par une matrice toute courbe gauche définie de la manière suivante : les équations de trois surfaces contiennent, à un degré quelconque, un même paramètre variable i; le lieu des points communs à ces trois surfaces est Tensemble des points pour lesquels ces trois équations sont vérifiées par une même valeur de I. C'est-à-dire que le lieu est une courbe dont la représentation s*obtient en éliminant t entre les trois équations. G*est là, en effet, le sens habituel, géométrique, du mot élimination, et nous insistons sur ce fait parce que nous aurons bientôt à envisager ce terme dans un sens plus étendu.

Considérons, pour fixer les idées, les trois équations

a(« -♦. 6( -f- c = 0, a't* -¥• b't -h c' = 0, m*' -f- ni* -*- pi -*- qf =» 0.

Cherchons les conditions pour qu'elles soient vérifiées par une même valeur de t; soit 6 cette valeur; nous aurons

a^ -^ bû* -^eû « 0,

ad' -«- 6d -♦- c sa 0,

mfi -^ nô* -¥- pê -4- ç = 0.

Regardons 6^, 6* et comme trois inconnues différentes è éliminer; il vient

Ms

Réciproquement, si cette matrice s*évanouity d'abord le déter-, minant À formé par les quatre premières colonnes de M est nul et les équations ai* -♦- 6t ■*■ c = 0, a'f* + 67 -♦- c' = ont une racine commune. De plus, il y a un faisceau de relations linéaires entre les éléments des quatre lignes de M, c'est-à-dire que Ton a, pour 00^ systèmes de valeurs de )i, X^, X3, ^4» ^5 et, pour toute valeur de ^

A4«(a(* -4- 6e -♦- c) -4- x,(a(* -1- 6« -♦- c) 4- Asf (a'I* -¥• b't •¥- c') -♦- x^(a'l* -¥- Vt •¥■ c') -f- >5(mt' H- »(■-♦- pt -♦- <y)

Supposons d*abord que les premiers mineurs du déterminant A ne soient pas tous nuls. On peut donc trouver au moins un

système de valeurs de X^, >2« '3* ^4' \i ^^1 4"^ ^s "^ ^^î^ P^^ ""1* Dès lors, en vertu de la relation précédente, la racine commune aux deux équations a/^ -4- 6( -♦- c = 0, a't* ^ 6'/ 4- c' =■ annule \(mi^ -♦- nfi-¥'pt'\-q) et, par suite, mi^ -^ nfi-^pt-^-q.

Si tous les premiers mineurs du déterminant A sont nuls, on voit aisément que Ton doit avoir

et réciproquement. Or, dans ce cas, les deux premières équations ont deux racines communes, et la matrice M s'annule sans que les trois équations proposées aient une racine commune. Donc les conditions pour que les équations proposées soient vérifiées par une même valeur de t peuvent s'écrire

En apparence, il n y a aucune difficulté à étendre ce raisonnement au cas où t figure dans les équations proposées avec des exposants quelconques X, {x, y. L'un au rooinside ces trois nombres est plus petit que la :6omme des deux autres^ et nous pouvons supposer, par exemple;, V:^^*i-[x — I.On multiplie la première égalité par 1, t, t^, •.. t^'\ \a seconde par 1, t, fiy ... &*, et, en y joignant la dernière égalité, on a p. h- X + 1 équations à |ji + X — 1 inconnues; Télimination des puissances de i donne une matrice à |ji 4- X lignes et p, h- X +. 1 colonnes.

Malheureusement, quand on av<X + pi — 1, il ya encore une restriction. Pour Texpliquer, reprenons l'exemple de tantôt, mais en supposant que les trois équations soient du secood degré, donc que m soit nul. Si Ton divise par fi les termes de Tégalité en X|, X^, ... X^, on trouve

Or, pour a SB a' sa 0, le tableau M s'annule ; la racine commune aux deux premières équations est infinie et ne vérifie pas Téquation n(^ -1- p< -t- ç = 0. Dans le cas où le degré y est inférieur è X h- [x — 1, il faut donc encore ajouter la condition

Le problème des lieux géométriques.

34. Donnons au mot élimination un sens plus étendu. En algèbre, on comprend, sous ce litre, la recherche des conditions nécessaires et suSSsantes pour que deux équations aient une ou plusieurs racines communes.

Soient, pour fixer les idées, les deux équations

Fsat* H- 6«' + d' -«- dt 4- c«=0, f=mi^ -*- nt* + pt -4- <y =- 0.

Si elles ont deux racines communes, les égalités F »» 0,

/F a» 0, /*«" Oy l/"*» O9 lY«» sont satisfaites pour deux, et par suite pour 00* systèmes de valeurs des quantités I, fl, fi^ i^, t\ assimilées à des inconnues distinctes, et Ton a

Ms

Réciproquement, si cette matrice est nulle, il existe une même relation linéaire entre les termes des six colonnes et Ton a, pour un système de valeurs de ^^, ^, A3, A4, A5 et pour toute valeur

del,

(A| -^ A,«)(a<* -+• 61' -♦- c*' -^dt -h e)

-♦- (V* + ^4« -♦- >5)(»w«' -*- «*■ -♦- pt -♦- 7) ■« 0.

Chacune des quatre racines de P «a annule le produit des deux dernières parenthèses. Or, comme F ^» ne peut avoir plus de deux racines communes avec \t'^ + A^f h- A5 c=> 0, elle a au moins deux racines communes avec ml^ -*• n/^*t-p^-H9=>0.

Nous avons reproduit ici cette démonstration connue pour ne pas laisser de lacune dans notre exposé.

Si F«=aO, /*9»0 sont les équations de deux surfaces dépendant d*un même paramètre variable t, c'est-à-dire si leurs coefficients sont des formes quaternaires, M ^=5 représente une courbe gauche.

Il va sans dire que Ton peut opérer en coordonnées tangentielles et parler de surfaces développables. On peut aussi, de la même manière que ci-dessus, trouver les conditions de Texistenee de trois, quatre, ... racines communes à deux équations d*ordre suffisamment grand.

36. Ceci nous amène à étudier en général le problème des lieux géométriques. Soient, en coordonnées cartésiennes non homogènes, x, y, 2,

deux équations dont les coefficients sont des fonctions entières d*nn nr)éme paramètre L En éliminant /, c'est-à-dire en écrivant la condition pour que ces relations soient vérifiées par une même valeur de f, on obtient Téquation d*un lieu géométrique; Feif s^appellent quelquefois les génératrices du lien.

Soient Xq, y^, Zq les coordonnées d*un point A du lieu, répondant à la valeur /q dti paramètre. Une droite quelconque d, passant par A, a pour équations

a: — gp ^ y — yo z — zo

Les points où cette droite d rencontre encore le lieu s'obtiennent de la manière suivante : on pose t^^fQ-^-B, puis on résoud, par rapport à p et 9 ,les deux équations

F(aro -♦- Ap, yo ■*- f*p, Zo •*• yp; h -*- $) = 0, f{Xo •*• Ap, yo -^ f^p* «0 ■*- ï'p; ^0 -*- «) = 0.

A chaque système de valeurs de 6 et p qui vérifient ces deux égalités répond un point du lieu situé sur la droite d. Or, ces deux relations représentent deux courbes dans un plan, si Ton regarde 6 et p comme des coordonnées cartésiennes. Elles sont satisfaites, par hypothèse, pour le système 6=3ps=0, qui répond au point A; en d'autres termes, les deux courbes planes passent par l'origine des coordonnées.

Pour qu'un second point du lieu coïncide avec A, il faut que les deux courbes en p et 9, ou bien se coupent encore en un point de l'axe des 9, ou bien se touchent à l'origine; ou enfin, il faut que l'une d'elles ait un point double à l'origine. Or, les équations de ces courbes peuvent s'écrire comme il suit :

r dF rfF dF"| d¥

L dx, dyo dzoj dto ' ' *

r df df dn df

| axo ayo »^<J dt^

puisque les termes hidépendants de p et 9 sont nuls par hypothèse.

La première des trois alternatives, celle où les deux courbes se coupent encore sur Taxe des 6, exige que Tensemble des termes indépendants de p dans chaque équation s*annule pour une même valeur de 6, autre que O^aO. Cette condition est indépendante de A, [x, v; quand elle est réalisée, les équations primitives F(x, y, z; () = et /"(x, y, z; = sont satisfaites par les coordonnées du point A et par deux valeurs au moins, généralement distinctes, de L Alors aussi, toute droite passant par A rencontre le lieu en deux points coïncidents et A est un point singulier du lieu, en général un point double.

Dans la seccnde alternative, celle où les deux courbes planes se touchent à Torigine, on a

/ d¥ dV dF\ df I df df df\ iH? ^

\ axo dyo dzol dto \ ax© dy^ dzj dt^

Si Ton regarde \ y., v comme les coordonnées d*un rayon de la gerbe de sommet A, cette dernière relation représente le plan tangent au lieu géométrique en A.

La troisième alternative, où Tune des courbes, F par exemple, a un point double à Torigine, s'exprime par les relations

dF dF dF ^ dF ^

A-— -♦-yt*— -i-y— -=0, -r-«=0.

axo dyo dZg dto

Réciproquement, si A est un point singulier du lieu, il faut que l*une des trois circonstances examinées ci-dessus se réalise, quels que soient \ ^^,, v.

Donc : ou bien les équations primitives sont vérifiées pour deux valeurs de t;

Ou bien Texpression E s*annule, quels que soient X, ^l^ y, et Ton a

dF df dF df dF df dF df dxo dxo dyo dy^ dz^ dzo dto dto^

en même temps que F(aro, 2/0» «0 ; ^0) = el /"(xq, î/o> «0; ^o)^0,

ce qui fail un total de cinq relations entre quatre inconnues Xq, y^ Zq, t^; ces conditions sont ordinairement incompatibles (*). Ou enfin on doit avoir

d¥ dF dF dV

axo"^ dyo^ dzo'^ dtf^'^ ' ™ ' '"" '

et ce cas rentre évidemment dans le précédent.

En général, on aura la courbe singulière d'un lieu en écrivant les conditions pour que les équations génératrices soient vérifiées simultanément par deux valeurs au moins du paramètre. Exceptionnellement, il peut y avoir d'autres points singuliers en nombre fini ou infini quand cinq équations en x, y, z, t sont compatibles.

36. Si les équations Fb»0, /'>»0 sont satisfaites simultanément par les coordonnées d*un point A et par trois, quatre, etc. valeurs de / (distinctes ou non), le point A est un point triple, quadruple, ... du lieu. Les conditions qui doivent être réalisées dans ces divers cas sont respectivement au nombre de trois, quatre, etc. Par suite, si Ton s*en tient à Tespace à trois dimensions, le lieu possède en général un nombre fini de points triples situés sur la courbe singulière, mais aucun point multiple d'ordre plus élevé.

Sauf dans des cas particuliers, la courbe singulière est une courbe double dont Fordre et le genre sont fonctions des degrés des surfaces F et /'et des exposants qui affectent t dans les deux équations. Supposons que F soit de degré m en x, y, z et contienne I à la puissance [a; que f soit de degré n et contienne t à

{*) [L*expression E s*annule encore quels que soient X, {x, v, si Ton a — :r=: -L = ; cc CES Fcntre dans le précédent : les équations primitives

sont vérifiées pour deux valeurs coïncidentes de t, L*espece de point singulier que l*on obtient ainsi est analysée quelques pages plus loin. La présente correction nous est suggérée par une communication de M. 6ob, professeur à TAthénée de Liège, qui a découvert un très intéressant théorème sur les enveloppes de surfaces; sa démonstration nécessite des calculs analogues à eeus dont nous faisons usage.]

la puissance y. Le lieu est en général de l'ordre mv + n|ji. Sa courbe double annule une matrice à |x -«- y — 1 colonnes, dont y — t lignes contiennent des formes dWdre m, et |x — 1 lignes des formes d*ordre n. L*ordre p de cette courbe est, d*après le n* 3,

/> — 2 ^m«(v— I)(ac — 1)^ ^

-4- m"(v — I) + ii*(ic« — I);

ce résultat peut s'écrire sous les formes suivantes

p mm^[(mv -♦- n/if — {mv -•- nfi)(m -♦- n) — mn{fi -♦- v — 2)],

P = h mn(v — l)(/u — 4) -♦- — ^ -•

Le genre de la courbe se trouve par la formule du n* 4 : ç = 4 + plm(y — \) -+- nffi — i) — 2]

ir«,»y — 1)(y — 2) -f- m*n{y— 1)(a«— I) -^ fnn\v - 1)(a< — 1)

+ nV-l)(A*-2)4-2— ^ ^^^^3 -*-2 ^^

,mnV— l)(f*-«)(f*-2) ^ nV~1)(At-2)(A£— 5)

^ -*- mn{v —i){,i—i)* I

, ifmMv— l){v — 2) , , ..„

rm(v- 4)+n(f.— D] — ■ — -^ ■ +m»rt(.' — 1)V—

Si| o

iwnV — i){/A — If H =

p — I 2p -i- -mM' - *)(««'— 1) -H -m»fi(v — <)(2» — 1)(a« — 1)

^. imnV — i )(At - 1 p A« - 1 ) -^ g «*Mm - i )(2a« — 1 ).

ou enfin •

g :=s\ — îwV(v — i) — ^mn{y — i)(fA — i) — n*fi{fjL^ {) i \

^ lnin\v - \){fjL - i)(2At — i) + lnV(f* - i)(2At - i).

Les points triples du lieu annulent une matrice de {x + v — 2 colonnes, v — 2 lignes de formes d'ordre tti, et [jl — 2 lignes de formes d*ordre n. Le nombre T de ces points triples se trouve par la méthode ou la formule du n® 5,

T = [m(y — 2) -*- n[fJL — 2)] [m»(v - 2) + «'(/t — 2)] -4- imV - 2)(v - 3)(v - 4) ^ im«n(. — 2)(v - 3)(a. « 2)

+ lmn'(y — 2) (a - 2)(a* - 5) + inV - 2)(ft - 3)(/k - 4),

OU, après quelques calculs,

T = -mM»' — 1)(v — 2) 4- 'tn^niv — i)(i/ — 2)(ac — 2) 6 2

+ l„,„«(v - 2)(a. -!)((.- 2) -H lnV(f* - 1)(/* - 2). 2 o

Par exeniple, si Ton a m=^n=s \, le lieu est une surface réglée d'ordre |jl -h v dont la courbe double est du degré

« [(f* -^ ^T — Hh- -♦- v) + 2] ou - (fx H- V — 1)(a* -I- V — 2)

et dé genre

-^S(»' i)(2:'-i)(A^-i)+i(v-l)(/^-i)(2A*-i)-HlA^(/cc-i)(2/.-i),

ou encore

(69) Cette surface réglée a un nombre de points triples égal à

37. Pour qu*il puisse être question de deux racines en t communes aux équations F = 0, /= 0, il faut évidemment que, I entrant dans F à une puissance [a supérieure à % figure au moins dans /"avec l'exposant 2. Car si f est linéaire en (, lorsque cette équation /*«» a deux racines, elle en a une infinité, et le nombre des racines communes en t est égal àp; la courbe singulière est, non pas double, mais multiple, d'ordre {x.

Ainsi, lorsque Ton a tjLisi, v = l,msan = 1, le lieu est une surface réglée du cinquième ordre douée d'une droite quadruple. Au contraire, si (x «a 3, y = 2, m «=>n ^^ 1, le lieu est une surface réglée du cinquième ordre ayant une courbe double d'ordre 6 et de genre 3 avec un point triple (*)

Le cas où y =» 1 donne la solution du problème suivant. Soit/' -4- t(f = Téquation d*un faisceau de surfaces d'ordre n. Le lieu des intersections de ces surfaces avec une de leurs surfaces covariantes, de degré m et contenant au degré [x les coefficients de /*-«- /<p et par suite t, est une surface d'ordre m-t-n[x ayant la courbe de base du faisceau donné comme courbe {xpK Si la surface covariante est la Hessienne, [x = 4, m = A(n — 2) ; comùie une surface coupe sa Hessienne suivant sa courbe para* bolique, on retrouve ce théorème connu : Le lieu des points paraboliques des surfaces d'un faisceau d'ordre n est U7ie surface d* ordre 8(n — 1) ayant la courbe de base du faisceau donné comme courbe quadruple (**).

Si V <=3 2, |jL > 2 et si m et n ont des valeurs quelconques, on trouve, suivant la méthode générale. Tordre et le genre de la courbe double; mais lorsque l'équation /*=» 0, quadratique en I, a trois racines, elle en a une infinité et, par suite, elle a fx racines

(*) Comp. H. ScHWARz, Journ. f. Math., 67« p) Comp. K. DoBBLBMàNN, Math, Ann.y t. XLI,

communes a^ec Fb>0; la courbe présente alors n' points sin* guliersy non pas (riples, mais multiples, d*ordre (x.

Par exemple, le lieu dés points paraboliques d'un système de surfaces défini par l'équation

d'ordre n, est une surface d'ordre l6(n — 1) douée d'une courbe double d'ordre 8(9n2 — ISn + 8) e^ possédant n^ points octuples^ savoir les points communs aux surfaces f, cp, ^.

38. Nous dirons un mol des points cuspidaux ou pointspinces de la courbe double d*un lieu géométrique. Reprenons à cet effet les équations des deux courbes planes en p et

F(aro -4- Ap, yo -+• f*/^i «o -^ ^•p; k-*- b)^ 0, /•(xo -4- Ap, yo -^ A*/», «0 -^ vp\ «0 -f. 5) = 0,

rencontrées au n® 35. Poussons un peu plus loin le développement en série de Taylor :

/ rfF dF dF\ rfF d l dF dF dF\

¥^ p\X 1- /K- h V—- H- Ô-— -4- p9 l X- 1- fL~ H V-— I

\ dxo dyo . dzo' dt^ dt^X axo dy^ dzpf

0^/*F 2 dtî

I df df df\ df d I df df df\

' \ (Ij-o rfyo a^o/ d\fi dto\ dx^ dy^ dz^f

2 rfrî

Supposons que le point Â(a:o, j/q, js^q; tç) soit un point double du lieu, les termes indépendants de p s*annulant dans les deux égalités précédentes, d*abord pour 6 a» 0, ensuite pour 8 =» t^.

Cherchons les droites d(k, p.» v) qui coupent le lieu en trois points coïncidents en A : les deux courbes planes par hypothèse ne se coupent pas une troisième fois sur Taxe des p, sinon A serait un point triple; il faut donc qu'elles se touchent, soit à Forigine, soit au point /^ ■» 0, 9c=ati, ou que Tune d'elles ait un nœud en un de ces points; mais ce dernier cas rentre dans

le premier. Or, la condition d*un contact à Torigine est visiblement

rfF rfP rfF rfF

dxo dtfQ dz^ dfQ

~df df df ""5Â'

A— -♦- /Et—— -♦- V— — —

rfxg dyo dzo dto

Pour avoir la condition d*un contact au point p is 0, 6 »» /^^ transportons-y Torigine en posant 6 «=» i^ + e : les termes indépendants de p et B disparaissent des équations et les termes restants, de degré le moins élevé en p et B, s*écrivent sans peine et donnent pour condition de contact à la nouvelle origine

d\ f dF dF dF\ dF

dtQf \ dxQ dyo dzj dU

L f'^M^df^df rfA df

\ dtol \ dx9 dyo dzj dto

Les deux égalités écrites en dernier lieu représentent, en 1, |jiy V, deux plans de la gerbe A; ces plans constituent le cône tangent au lieu géométrique en A. Pour que ces deux plans coïncident, il faut que le rapport

\dxo dx^tol dlo \dxo dx^dlol dto dF df . dfdF dxo dto dXfi dto

aoit égal aux deux expressions analogues, où Xq est remplacé par j/q ou Zq; doue la quantité

d'F df d^f dF

dx^to dlo dx^dio dto ti -

dF df df dF dxo dt^ dXo dlo

doit être égale aux deux expressions analogues. Donc, ou bien t^ est nul, ou bien deux égalités doivent être vérifiées par un ou plusieurs points doubles du lieu ; comme ceux-ci ne sont qu'en nombre simplement infini, il y a généralement incompatibilité.

Réciproquement, si les deux courbes planes ont deux points communs infiniment voisins sur Taxe p, c'est-à-dire si elles ont, à rorigine. Taxe des p comme tangente commune, on a — = — =a 0. Supposons qu'elles n'aient pas d'autre point commun sur l'axe des p, donc que A soit double et non triple sur le lieu géométrique. Pour avoir les droites d (X, {a, v) qui rencontrent le lieu en trois points coïncidents, ou le cône tangent de sommet Â, il faut exprimer que les courbes planes ont, à l'origine, un contact du second ordre, ou bien que Tune d'elles y présente un nœud, et nous verrons que ce deuxième cas rentre dans le premier. Les équations des courbes planes sont réduites h

( dF dF rfF\ d I dF dF dF\ B*d*F

\ axo dyo dzj * di^ \ dxo dy^ dzj î2 dtl

( df df df\ di df df d(\ ^d^f

\ dXo di/o dzj dlfiX dxo dy^ dzj ^dtl

II résulte de raisonnements que nous avons exposés dans une note Sur la courbure des lignes et des surfaces (*), que ces deux courbes ont un contact du second ordre à l'origine quand on a

dF dF dF d*F

dxo dyo dzo dil

If df df "" "rfy '

dxo dyo dzo dtl

Cette équation représente l'ensemble des droites issues de A ayant un contact triponctuel avec le lieu géométrique ; comme elle est du premier ordre, le point est un point uniplanaire, ou cuspidal, ou point-pince de la courbe double du lieu. Si Tune des courbes planes, F(6, p) par exemple, avait, à l'origine, un nœud dont une des tangentes serait l'axe des 0, on aurait

dF dF dF d'F ^

dxu dyo dZg dtl

ce qui est un cas particulier de l'égalité précédente.

(*) Mém. in-8^ de l'Acad, roy. de Belgique, 1897.

Il est donc démontré que ton a en général tous les pointspinces de la courbe double d'un lieu géométrique ayant pour génératrices F(x, y, z; t) «=■ et f(x, y, z; t) = en écrivant les conditions pour que ces équations soient vérifiées par deux valeurs infiniment voisines de i, ou les conditions pour que les équations

aient une racine commune en t. Ces conditions étant au nombre de trois, il y a généralement un nombre fini de ces points euspidaux. Toutefois, dans des problèmes particuliers, il peut arriver que la méthode indiquée ne fournisse pas tous ces points.

Le problème des enveloppes.

39. La question de lenveloppe d*une surface variable dépendant d*un seul paramètre t se ramène au problème du lieu géométrique, avec une modification qu*il faut rappeler, encore qu'elle soit bien connue.

L'équation de Tenveloppe résulte de Télimination ordinaire de t entre les égalités

dF

la première contient par exemple / à la puissance {x et la seconde à la puissance u — t. Il est donc clair que Ton peut remplacer la première par [jlF — ^ — = 0, ce qui ramène à un système de deux équations du degré fx — 1 en ^

La courbe singulière se trouve encore en exprimant que ces deux égalités sont vérifiées pour deux valeurs de r, les points triples en écrivant qu'elles ont trois racines communes en /; mais pour les points euspidaux la question change, car, au lieu de quatre équations en t, il n*y en a évidemment que trois,

savoir :

^ ^ dF ^ d'F ^

'=«' Tr'' ^-''

de sorte que les points cuspidaux sont en nombre infini et engendrent une courbe, la courbe cuspidale, faisant d^aîlteurs partie de la courbe singulière.

Bien entendu, le système ci-dessus se ramène à trois équations de degré (x ^ 2 en I. La matrice que Ton obtient en éliminant I contient des éléments identiquement nuls. Il faut donc prendre, dans rintcrprétation, les précautions indiquées au n^" 33.

40. Résolvons un problème particulier très simple : cherchons Tenveloppc d*un plan variable représenté par Téquation

at* -f. 6(* -f. c(* + ii< ^- e = 0,

où a, 6, c, dy e sont des formes linéaires. Cette enveloppe est donc la développable unicursale de quatrième classe.

On obtient Tensemble de la courbe nodale et de la courbe cuspidale en écrivant les conditions pour que les équations

4at» -♦- 36t* -4- 2ct -♦• rf = 0, bl^ -4- '2ct* -h- Zdt -4- 4e =- 0,

aient deux racines communes; ces conditions peuvent s*écrire

Aa U 2c d

b ^c Zd Ae

On a ainsi la représentation d*une courbe, ou plutôt de deux courbes, d'ordre total 10.

Les points triples, au nombre de quatre, sont donnés par

4a 36 2c d 6 2c Zd 4e

Pour avoir les équations de la courbe cuspidale, ou arête de rebroussement, seule, il faut écrire les conditions d*existence d*une racine commune aux équations suivantes :

\ 2a<* -4- 66t -4- 2c = 0, 36<» + 4cl ^. 3d = 0, 2ct»-4- 6rfl + 12e = 0.

(78) Ces oonditlons peuvent s'^rire

c Zd

Cest encore ia représentation d'un système de cou rbeg, d'ordre total 10; d'après le n"" 33, il faut en défalquer la droite a^^^e^mo et la cubique gauche

La courbe cuspidale est donc du sixième ordre et, par suite, la courbe nodale est du quatrième.

Mnltiséoantes des oourbes rationnelles.

41. Bien que dans les lignes précédentes la question de réiimination ne soit pas encore assez approfondie pour que nous puissions résoudre les problèmes généraux sur les multisécantes, il convient de poser ici ces problèmes et de traiter les cas particuliers qui nous sont déjà accessibles.

Soient u^ » 0, v^r "^ les équations de deux plans quelconques et

pXi = fit (?-=i,2,3,4)

les équations paramétriques d'une courbe rationnelle, les formes cp étant des fonctions entières du n* ordre en I. Dans les équations des deux plans, remplaçons les Xf par f^; nous obtiendrons des égalités telles que

Bor -4- B|<

où les coefficients A et B sont des formes linéaires, respectivement en u et en v.

Si ces deux équations ont deux racines communes, Tintersec-

tion des plans u et o est une biséeante de la courbe et réciproquement. Or, dans ce cas, les variables Ui et v^ annulent une matrice. M à 2n — 1 colonnes et 2n — 2 lignes, dont les n — 1 premières sont des formes linéaires en u et les autres des formes linéaires en v.

On peur dire que M «» représente la congruence des bisécantes de la courbe donnée encore que ces bisécanles ne soient pas explicitement représentées par leurs coordonnées Pluckériennes. Au moins la matrice peut être précédée d'une ligne de constantes arbitraires et les oo^^-^ complexes d'ordre n — 1 qui annulent ce déterminant peuvent sVcrire en coordonnées-lignes ^i^k — ^jk^if puisque le déterminant est symétrique en u et v.

Si les deux équations précédentes ont trois racines communes, la droite (uv) est une trisécante : les u et les v annulent une matrice N à 2n — 2 colonnes, n — 2 lignes de formes en u et n — 2 lignes de formes en ». Pour avoir l'équation, en coordonnées tangentielles t«, de la surface des trisécantes, il faudrait pouvoir éliminer, des éléments d'une matrice égalée à zéro, certains paramètres, au moins quand ces paramètres ûgurent au premier degré dans les éléments de la matrice. Ce problème d'ailleurs unit toujours par se poser quand on poursuit les applications de la théorie des matrices. Les cas les plus simples de cette question seront examinés dans la suite de ce travail.

Si enûn les équations précédentes ont quatre racines communes, la droite (uv) est une quadrisécante et les u et les v annulent une matrice à 3n — 3 colonnes et 2n — 6 lignes.

42. Supposons que le plan ti^ passe par un point fixe, de même que v^, que Ton ait donc, par exemple,

V, = >'«; -4- /u'6; -I- v'ci,

^t {^) V, V, yi', v' étant des paramètres variables. Alors les matrices M et N du numéro précédent ont, pour la moitié de leurs lignes, des formes en 1, |x, v et pour le reste des formes en V, |jl', v'.

L*éIiipination de V, |jl'^ y', si nous savions Teffeetuer dans la matrice N, donnerait Téquation en l, (x, v du cône de sommet (abc) circonscrit à la surface des trisécantes.

Quant à la notation i\l ■» 0, elle exprimerait la correspondance entre deux gerbes dont les éléments homologues seraient astreints à se couper suivant une biséeante d'une courbe gauche rationnelle donnée. Dans ce cas, si t?^ décrivait un simple faisceau, c*est-à-dire si v' était nul, Pélimination de V : (x' donnerait Téquatîon du cône de sommet (abc) circonscrit à la surface engendrée par les bisécantes de la courbe gauche donnée y„ qui s*appuient sur une droite donnée (a^ b')*

Quittons ces problèmes à solution conjecturale et supposons que V, {x', v' soient identiques à X, |jl, v; en d'autres termes, que u et v soient deux plans homologues de deux gerbes projectivesy ou que leur intersection soit une biséeante d'une cubique gauche 75. Alors M=«0 représente, A, ^x, v étant les variables, un nombre fini de plans qui projettent du point (abc) les bisécantes communes à la cubique 73 et à la courbe donnée y^» On trouve ainsi sans peine la vérification de la formule connue sur le nombre des bisécantes communes aux deux courbes; on a, de plus, une représentation analytique, donc une connaissance plus précise, de ces droites.

Supposons ensuite que les équations u^^ = et v^ = soient de la forme

alors ueiv sont des plans homologues de deux espaces projectifs et leur intersection est un rayon d*un complexe tétraédral. M = représente alors, \ fx, v, u étant des coordonnées de plan, une développable circonscrite à la surface engendrée par les bisécantes de la courbe gauche donnée, qui appartiennent à un complexe tétraédral; N=^0 représente un nombre fini de plans passant par des trisécantes de la courbe gauche, appartenant à un complexe tétraédral. La classe de cette développable est (n — 1)(2w— «1) et le nombre de ces trisécantes

est ^(2n — i) (an ^ 3) (2n — 2), d*où il fnut défalquer les qatire plans principaux du complexe.

On verra plus loin une autre manière d*aborder le problème des multisécantes des courbes rationnelles et d*autres lignes.

Coniques multlsèoaiites des ooorbes grauélies.

43. Dans une note Sur les plans qui coupent^ en des points d'une conique^ un système de lignes de l'espace f ), nous avons utilisé la théorie de la suréliminaiion pour trouver Tenveloppe des plans des coniques qui coupent six fois certains systèmes de courbes gauches. Ces enveloppes sont des surfaces représentées par révanouissement de déterminanls. Si, au lieu de six points d*appui de la conique variable, nous supposons qu^il y en ait sept, Tenveloppe sera une développable, et nous allons exposer une couple d*exemples où cette développable est repré^ sentée, en coordonnées tangentielles, par Tévanouissement d*une matrice.

Considérons un réseau de quadriques,

S = >,S, ^- ji,S, ^ ),S, = 0, et une courbe gauche rationnelle du quatrième ordre C4,

Remplaçons dans Téquation £*»0 les x^ par ^i(t); nous obtenons une égalité de la forme

Aot® + A,t' -+-... + Ag «= 0,

où les A sont des formes linéaires en X|, )^, X3. Un plan u^ «= donne de même

Bo(* + B,t' ^- . . . + B4 = 0, les B étant des formes linéaires en Ui, u^t U3, Uj^é

C) Mém. tn-8« de VAcad. roy. de Belgique, i 90â.

Les conditions pour que les deux dernières équations aient quatre racines communes s'écrivent

A« Al At

Ae A7 Ag

Ba

L'élimination des > contenus dans les formes A donne les équations, en ti, de l'enveloppe des plans qui coupent c^ en quatre des points où cette courbe est rencontrée par une surface du réseau £.

* Nous sommes de nouveau ramené à une élimination de paramètres entre les éléments d'une matrice. Mais, comme les A ne figurent que dans une ligne, la solution est immédiate : on peut faire précéder la matrice M de deux lignes d'éléments quelconques; la matrice A obtenue de cette manière est toujours nulle en même temps que M. Choisissons les éléments de ces deux lignes de manière qu'en multipliant ceux de la première par )|, ceux de la seconde par 1^ et retranchant de la ligne des A, les termes en \ et ^ se détruisent; on peut alors diviser par A3, et les X sont éliminés. La matrice A possède alors neuf colonnes et huit lignes, dont les trois premières sont formées de constantes et les cinq dernières de fonctions linéaires en u. Son évanouisse* ment représente une développable de quinzième classe, forme corrélative d'une courbe du quinzième ordre que nous avons étudiée plus haut.

Si les surfaces du réseau S ont en commun une cubique gauche pouvant dégénérer en une conique et une droite ou en trois droites, on voit que ks plans des coniques qui s'appuient par quatre points sur une biquadralique rationnelle et par trois points sur une cubique gauche^ peut-être dégénérée^ enveloppent une développable de quinzième classe^ représentée par A »== 0.

Un faisceau de quadriques et une cubique gauche donnent

lieu à un problème analogue, mais plus simple, dont le résultat est le suivant : Les plans des coniques qui s'appuient par quatre points sur une biquadratique de première espèce eî par trois points sur une cubique gauche enveloppent une développable de dixième classe, représentée par l'évanouissement d'une matrice.

Si Ton veut combiner le réseau ou le faisceau de quadrjques avec une courbe rationnelle d'ordre n plus élevé que le troisième ou le quatrième, les paramètres à éliminer ûgurcnt dans plus d*une ligne de la matrice et Ton est ramené à des questions d'algèbre que nous n'avons pas encore exposées.

Élimination de deux ou plusieurs inconnues.

44. Considérons d*abord un cas particulier très simple : soient les équations *

F, ^ QiXy H- biX -4- <?<t/ H- rf^ c=s (e = 1, 2, 3).

Cherchons la condition pour qu*elles soient vérifiées par un même système de valeurs de x et j^. Ainsi posée, la question signifie que le système de racines doit se composer de valeurs finies de x et y, car les équations représentent, dans un même plan, trois coniques ayant mêmes directions asymptotiques, donc ayant deux points communs à Finfini sur les axes, quels que soient les coefficients. On demande donc la condition pour que ces trois courbes aient un troisième point commun à distance finie (s'il esta Tinfini, les trois courbes doivent y être tangentes). Soient X et Y les coordonnées de ce point, on aura

a|XY -♦- 6<X -*- c,Y -♦■ rf| =0 a,X*Y ^ 6,X* + c,XY + (/^X =

et, par suite.

ai

bz

bi b, b,

di ds

Cz

di df

Réciproquement y si ce déterminant est nul, il existe une

même relation linéaire entre les termes de chaque colonne; par

exemple

A«ia, -+- A^at + A«j«» — 0,

f^ibi -*- fij)% •♦. ftjfcs — 0,

AïOi -•- AfO^ -t- AjOs •♦• ftiCi -♦- fAiCi -f- A«sC8 =■ 0, Xjfti -•- Ajfca -*• A565 -♦- y6C|rf| -f- >cc,(i| -♦- ^Cjc/j = 0, AjCi -*• A«C| -H AjCs ■= 0,

>irfi ■♦• >^dt -♦- Ajd, = ;

d*oùy en multipliant respectivement par x'j/, x^ arj/, x^y^ 1 , et additionnant, on a, quels que soient x et y,

S>i(a,xy -♦- 6|X -+- Ciy -+- d<) -4- S/E<|(a|X*^ -i- 6|X* -4- c,jy -^ c/jX) « 0, ou

(Aj + A«iX)F| -f- (A, ^ /a,x)F, -^ (A, -+- ^x)F5 = 0.

Tout point commun à P| et Pj doit annuler (>5 + {xsXJFs; or, la droite X5 + pisXss ne peut contenir que deux points communs à F| et Fg, dont un à Tinfini; donc un point commun à distance finie de F^ et F^ doit être sur F5.

Après avoir écrit la condition d^exislence d'un système de racines communes aux trois équations, cherchons les conditions d'existence de deux systèmes pareils. Elles s'écrivent

Il a, 6, c, d, llî = 0.

Car, si les points communs aux trois courbes F^, F^, F5 ont pour coordonnées X, Y et X', Y', les équations linéaires

sont vérifiées pour deux systèmes de valeurs des ^, savoir XY, X, Y, l et X'Y', X', Y', 1, donc elles le sont pour une infinité de systèmes et la matrice des coefiicients s'annule. Réciproquement, si cette matrice est égale à zéro, il existe une même relation linéaire entre les éléments de chaque colonne, donc les courbes F^ font partie d'un même faisceau et possèdent

quatre points communs, dont deux à l*in(ini et deux autres généralement à distance finie.

Il n'y a pas de difficulté essentielle à étendre ces considérations à plus de deux variables, même si ces variables ont des exposants plus élevés. Mais en prenant un cas trop général, on a Tinconvénient de notations incommodes sans la compensation de résultats intéressants. Mieux vaut indiquer quelques problèmes particuliers exigeant des éliminations de ce genre.

45. La question spéciale résolue dans le numéro précédent se présente quand on cherche la bisécante menée d'un point donné P à une cubique gauche définie par les équations

Soient y^ les coordonnées du point P; il faudra, dans les équations, remplacer x^ par x^ ■+■ ty^, ce qui donnera

ka:

ta^

ika'.

kK

ibj,

tkb'y

Cm

kcf.

tCy

tkCy

Si la droite (xy) est une bisécante, ces trois égalités sont vérifiées pour deux systèmes de valeurs de t et A, et Ton a

Cette notation représente une droite, toujours réelle, si la cubique et le point P sont réels, mais les appuis A et B de la bisécante peuvent être imaginaires conjugués. En tout cas, le produit PA x PB est réel et peut s'appeler la puhsance du point P par rapport à la cubique gauche.

Pour exprimer commodément cette puissance, il convient de prendre des coordonnées cartésiennes rectangulaires, de remplacer donc Xi, xg, arj, x^ par x, j/, z^ 1, d^appeler x', y\ «' les

coordonnées de P et /, m, n les coefficients de direction de la bisécante.

Les coordonnées d'un point de la bisécante seront

x' -♦- l/, t/' -♦- (m, z' -4- tn,

AlorSy en désignant aix' -«- o^!/' + ^3^' -^ ^4 P^>* ^^r^» a^/ + a^m + 05»» -*- par a/, etc., on voit que Tévanouissenient de la matrice précédente équivaut aux deux relations linéaires

en /, m,

fli

Cxf

ci,

On en tire /, m, n proportionnels à des fonctions quadratiques des déterminants (è^^c^, — ^'xf^x) ou (6c), (Ç;r'û^' — c^'«;c') ou {fia)y {fijefb'jg, — a^/b;^) ou (a6); donc ces fonctions sont du quatrième degré en oc', i/\ z' et Ton a, par exemple,

/ : îM : « = /;(x', y', 2') : î>4(x', t/', z') : «//^(x', j/', z').

Comme on a aussi /^ -t- m' + n* «= 1, on obtient les valeurs absolues de /, m, n.

Les distances PA, PB sont les valeurs de l qui satisfont aux trois équations en ^ et A de plus haut, ou à deux d'entre elles, puisque la troisième est une combinaison linéaire des deux autres. Deux de ces équations peuvent s'écrire, avec les nouvelles

notations,

o,, -♦- ka'j -♦- iQi -4- ika\ = 0,