Le tableau

ai'*

s'annule pour les points d^une courbe gauche du neuvième ordre

c^, li$u des intersections des éléments homologues de trois gerbes de plans et d'un réseau de quadriques projectifs entre eux.

Cette courbe est l'intersection partielle de deux surfaces, l'une du troisième, l'autre du quatrième ordre, ayant encore une cubique gauche commune. Il ne passe par Cg qu'une surface cubique et les vingt-sept droites de cette surface forment le système complet des quadrisécantes de la courbe.

La courbe est sur oo^ surfaces quar tiques. Deux de ces dernières se coupent encore suivant une courbe du septième ordre du type C7 étudié précédemment, chacune de ces courbes C7 coupe C9 en vingt points. Chacune des surfaces quartiques circonscrites coupe encore la surface cubique suivant une cubique gauche Cs qui r«ncontre encore Cg en onze points. Toute courbe C7 coupe, en un point hors de Cg, chacune des cubiques gauches C5.

Il existe sur Cg des groupes de sept points G7, tels que chacun de ces groupes peut être réuni à chacune des courbes c^ par une surface cubique; chacun de ces groupes G^ peut aussi être réuni à chacune des cubiques c^ par une quadrique. Un groupe G7 est déterminé par deux de ses éléments. Ces groupes G^ sont les intersections de Cq avec les cubiques conjuguées des cubiques C3 sur la surface cubique circonscrite; ce sont aussi les intersections de Cg avec des courbes C5 (voir n® 19), formant, sur les surfaces quartiques circonscrites, le système conjugué des courbes C7.

Jacobienne d'un système de surflu^s.

27. Les courbes dont nous avons dit un mot dans les paragraphes précédents sont de simples exemples d'application des formules préliminaires. La liste de ces figures est loin d'être épuisée et, pour chacune, il serait facile de multiplier et de préciser les résultats. Nous avons, dans les esquisses précédentes, traité des questions assez diverses pour légitimer l'étude séparée de chaque figure; nous avons, d'autre part, résolu assez de problèmes communs pour qu'on devine la possibilité de les étendre au cas le plus général. Pourtant, les formules relatives à ces cas généraux ne paraissent pas fort intéressantes; nous

nous borneroDs à donner un exemple de cette extension en considérant le déterminant rectangulaire de Jacobi.

Pour la Jacobienne d'un réseau de surfaces, L. Cremona (Preliminari) a déduit la définition, le degré et d'autres propriétés, de considérations géométriques. Quelques auteurs, tels que 6. Salmon la représentent par un tableau rectangulaire; mais il ne semble pas que Ton ait tiré grand profit de ce mode d'écriture.

Considérons d'abord le cas plus général de trois surfaces u,v,u; d'ordre n, n\ n". On appelle Jacobienne de ces trois surfaces la courbe gauche J définie par l'évanouissement de la matrice

dxi

dxt

dx.

dx^

dxt

dxz

dx.

dXi

dx^

dxt

dx*

Elle est évidemment le lieu des points dont les plans polaires par rapport aux trois surfaces se coupent suivant une même droite.

D'après le n^" 3, l'ordre de J est

{n — i)in' — i) -1- (n' — i)(n" — 1) + (n" — 1)(n — i) -f- (n — 1)*

ou, tous calculs faits,

résultat donné par L. Cremona.

D'après le n® 4, le genre de J est

i -i. [n« + h'* -*- n'" -¥- n'n" -♦- n"ii h- nn' — 4 (n -♦- n' + n") -♦- 6] (n^n'-^ «" — b) — i[{n — 1)*(n' — 1) + (n' — 4)'(n — i) -*-(» — i)»(«" — i)^\n''— 1)»(n — 4) -♦- (n'— i)»(ii" — i) + (n" — i)'(n' — i) -♦- 2 (n — 1)(f*' — i)(n" — 1)],

ouy tous calculs faits,

Sn'Sn — 8Sn» — lOSnn' -4- î«2Sii — 25 -♦- i(Snii'Sn + nn'n").

Nous avons établi ce résultat dans les Rendiconli del circolo matematico di Palermo^ 1904, à Toccasion d'un article de M. C. Mineo donnant une autre démonstration de cette formule.

Si les nombres n, n^ n'' sont égaux, la courbe J est d*ordre 6(n — 1)* et de genre iAti^ — Kin^ -♦- 66» — 25. Dans ce cas, elle s'appelle aussi la Jacobienne du réseau ^u -«- piv + vu;, car elle est évidemment la Jacobienne de trois surfaces quelconques de ce réseau. Alors aussi elle est, comme on sait, le lieu des points doubles des surfaces du réseau, ou le lieu des contacts des surfaces du réseau qui se touchent entre elles.

28. Mais les points communs aux surfaces du réseau ne sont pas, en général, sur la courbe J. Pour élucider cette question, reprenons le cas de trois surfaces d'ordres n, n', n" et supposons qu'un point soit multiple, respectivement d'ordre r, r', r^' sur chacune de ces surfaces. Prenons ce point pour sommet x^ x^ x^ du tétraèdre de référence : les termes de degré le plus élevé en x^ dans les équations des surfaces ont respectivement la forme

Une des surfaces d'ordre n courbe J, par exemple

du dv dw ' dXi dXf dxi

n! -♦- n" -:- 3 circonscrites à la

a pour termes de l'ordre le plus élevé en x^

dx^

dtp dxi

dxi

df axi

dx^ d-L

d^ dxt

dXq

dx^ dxz

L'ordre de ces termes en x^ esl donc n -♦- n' -4- n" — r — r' — r" et le sommet considéré est d'ordre r -^ r^ ^ r^^ — 3 sur la surface Ti-

Pour une antre surface T^ dont Téquation comprend les colonnes 1, 3, 4 du tableau J, les termes de Tordre le plus élevé en x^ sont

dXi dxt

axi dxt

ClX| UX]

L'ordre de ces termes est n ■♦-»'-♦- w" — r — r' — r" — 1 et le point esl multiple d'ordre r -1- r' -*- r" — 2.

Sur l'intersection des surfaces T| et T^, le point considéré est multiple d'ordre (r -^ r' -k- r" — 3) (r -♦- r' -»- r" — 2) = (Er — 3) (Sr — 2).

Mais, outre la courbe J, cette intersection comprend une courbe K définie par les deux premières colonnes de la matrice J. On verra, comme plus haut, que K est sur deux surfaces ayant le point considéré comme point multiple d'ordre (r + r' — 2) et (r •+• r" — 2) et se coupant encore suivant une courbe K' intersection totale des surfaces ^ «= 0, ^ «=» 0, et cette courbe K' a le point considéré comme point multiple d'ordre (r — 1)^

Finalement, sur la courbe J, le degré de multiplicité du sommet considéré est

(Sr — 3)(Sr — 2) — (r -^ r' — 2)(r + r" — 2) ^ (r — 1)*

« Sr* -1- Srr' — 3Sr -♦- 3.

Ce nombre est nul quand on a r »> r' =» r" b» 1 ; c'est ainsi que la Jacobienne ne passe pas par les points simples isolés communs aux trois surfaces.

Si le point considéré est multiple d'ordre r sur chaque surface.

il est multiple d'ordre 6r« — 9r + 3 = 3 (2r — l)(r — 1) sur ia Jacobienne.

Il se peut que les snrraees m, », w aient une courbe commune. En vertu du ihéorème d'Euler sur les fonctions homogènes, l'équation générale des surfaces d'ordre Sn— 3 circonscrite» à J peut s'écrire

2a\aiX,

dx^

dxt

dXi

dx^

dv:

dXi

dx<i

dxfi

Les points où la courbe commune ku,v,w coupe la surface

du dv dw

dXi dXi dXi

appartiennent à toutes les surfaces S et, par suite, à la courbe J.