f- A:6;, -*- Ibi -+- ikh
L'élimination de k donne une relation où le terme en fi est fi(a/}g — a;6/) et le terme indépendant de t est a^/6!^ — fl^/6^" Le produit PA X PB ou la puissance tz cherchée est donc
afil — a\bi
(84) En d'autres termes, quand la matrice
Qi a[ flw aL
est nulle, il existe un rapport constant entre un mineur formé de quatre éléments des deux dernières colonnes et le mineur correspondant formé dans les deux premières colonnes. C'est ce rapport constant qui est la puissance du point P.
L'égalité ci-dessus, donnant la valeur de n, peut être rendue homogène en /, m, n de la manière suivante
en y remplaçant /, m, n par les formes proportionnelles f, f , ^, on a régalité
qui est, en apparence, du dixième ordre. Mais la dernière parenthèse contient toujours la première comme facteur.
En effet, supposons que le point P (a;', j/', V) se trouve sur la quadrique a^^!^ — a^6^ =» circonscrite à la cubique, et cherchons les intersections de cette quadrique avec la droite (/, m, n) bisécante de la courbe ; on a une équation du second degré en ^ dont le terme en t* et le terme indépendant sont
aussi
t\afii — a\bi) et a^b',, — a^,,b,,.
Or, la bisécante est tout entière sur la quadrique en question, les coefficients de cette équation sont tous nuls; ainsi tout point qui annule a^/6^^ — a^^^^r^ annule aussi afii — a'Jbi^ et la première de ces expressions est un diviseur de la seconde.
La relation donnant la puissance tc se réduit donc à
et Fe =» est le lieu des points de puissance infinie, donc Tensemble des trois cylindres du second ordre circonscrits à la cubique; chaque point de la courbe annule donc trois facteurs de Fe* Mais chaque point de la courbe annule aussi les trois
déterminants (ab), (ca), (a6), annule donc deux facteurs dans /, y, tp et quatre facteurs dans /^, cp*, «p*.
Le lieu des points qui ont une puissance donnée par rapport à une cubique gauche est une surface du huitième ordre ayant la cubique comme courbe triple.
Le lieu des points d'égale puissance par rapport à deux cubiques gauches est une surface du quatorzième ordre ayant chacune des cubiques comme courbe triple.
Le lieu des points d'égale puissance par rapport à une sphère et à une cubique gauche est une surface du huitième ordre ayant la cubique comme courbe triple.
Si sur chaque tangente à une cubique gauche^ on prendy de part et d'autre du contact, une longueur donnée, les extrémités de ces segments décrivent une courbe du quatorzième ordre. En effet, cette courbe est rinterseclion de la développable osculatrice et d*une surface du huitième ordre. Ces deux surfaces admettant la cubique comme courbe double et triple. Tordre de la nouvelle courbe est8X4 — 3x3x2=U.
46. De même que Ton a trouvé la bisécante menée d*un point P à une cubique gauche, on peut chercher aussi les bisécantes menées d'un point P à une courbe c^ définie par
Il «. 6x c. d. Ijî = 0.
Il suffit de remplacer x^ par x^ -f- ty^, les coordonnées de P étant 2/1, y^y Vz^Va^ on a
Il a, -f- lOy 6, -*- tby c, -f- iCy d, -*- td^ || s=s 0.
On a ici un de ces problèmes auxquels il a été fait allusion dans le paragraphe précédent : il faut éliminer un paramètre entre les éléments d'une matrice nulle. Il doit exister une même relation linéaire entre les éléments des quatre colonnes; on doit donc avoir la relation
Aa, -+- it.a', -♦- va'^ -*- Kta^ -f- fita'y -i- vta'^ = et trois équations analogues en 6, c, d.
Si Ton élimine simplement X, pi, v, t, en écrivant la condition pour que ces quatre égalités admettent un système de racines communes, on a Téquation du cône de sommet y perspectif à la courbe c^; ou, en considérant à la fois x et j/ comme variables, on a Téquation du complexe des droites qui rencontrent une fois Ce.
Pour faire cette élimination, on muliplie par I et par fi, et Ton a douze relations linéaires entre les douze inconnues homogènes \ [JL, V, X(, ytt, vt, Ifl, {jl(', W', Ifif [JL^^ vfif ce qui donne un déterminant à douze lignes dont les éléments sont, par moitiés, des formes linéaires en x et des formes linéaires en y. Si Ton y fait x^ «a 0, ce qui revient à considérer les formes en x comme ternaires et les formes en y comme quaternaires, Tévanouissement de ce déterminant représente la projection, sur un plan, de la courbe donnée, le centre de projection étant le point y.
Si Ton veut obtenir les bisécantes issues du point y, on doit écrire les conditions pour que les équations en l, a, v, t soient vérifiées par deux systèmes de valeurs de ces variables. On multiplie par t et Ion a huit équations homogènes en X, (x, v, Xf, [jL(, vtf Ifly {JL^^, vt',qui doivent être vérifiées par deux systèmes, donc par oo^ systèmes de valeurs de ces quantités; on aura donc
rf;
Cette notation représente sept droites passant par y. Pour que la droite (xj/) soit trisécanie, il faut, en vertu d*un raisonnement analogue à ce qui précède, que Ton ait
ff
L*évaDouissement de celte matrice équivaut, si y n*est pas sur la courbe c^, aux trois équations de plans
Ces plans ne se rencontrent généralement qu*en un point x, et celui-ci est visiblement identique à y, c*est-à-dire qu'en général il n'y a pas de trisécante par un point arbitraire, ce qui est évident.
En écrivant les conditions pour que les (rois plans ci-dessus passent par une même droite, on a une matrice dont les éléments sont du troisième ordre en y et dont Tévanouissement représente la surface des (risécantes. En d'autres termes, les quatre déterminants extraits de cette matrice ont un facteur commun qui, égalé à zéro, représente la surface des trisécantes; les facteurs non communs sont y^, y^, j/3, y^. Ce résultat est curieux, mais il parait peu utile.
D'autre part, si la matrice
Il û* < «i' fly < < II,
trouvée plus haut, doit s'annuler pour des systèmes de valeurs distincts des x et des y, ce qui est la condition exigée pour l'existence d'une trisécante passant par y, il faut que les trois relations
mOy -4- nby -¥• pCy -4- qdy = 0,
mOy -¥■ nby -*- pCy -f- qdy = 0, •wo;' -♦- nb'y -+- p&J -+- qdH =
soient vérifiées pour deux systèmes de valeurs des y ou que ces équations représentent trois plans passant par une même droite. C'est la confirmation d'un résultat trouvé au n® 12. L'équation de la surface des trisécantes résulterait de l'élimination de 9n, n, p, q entre deux des équations ci-dessus et la matrice, dont l'évanouissement exprime que ces trois égalités appartiennent à un même faisceau. Cette élimination est trop pénible pour trouver place ici.
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