Si les éléments de la matrice

sont des formes linéaires à cinq variables homogènes, Févanouissement de cette matrice représente, dans Tespace à quatre dimensions, une surface du troisième ordre, T^. Les équations

représentent oc^ plans dont chacun coupe par exemple Thypersurface aj/^^ — a'Jb^g »» suivant une conique située sur Fj. Par tout point (X|, Xg, X3, X4, X5) passe le plan d\ine telle conique. Tout espace linéaire à trois dimensions, par exemple X5 «» 0, coupe Fj suivant une cubique gauche. Pour les espaces linéaires dont Téquation a la forme

et qui sont en nombre oo^, la cubique dégénère en une conique et une droite, cette dernière représentée par

fl, : 6. = a; : 6; == a'J : h'J = k.

Si Ton projette F3 d*un point fixe y, ce qui revient à remplacer X par X -*- <y, on a

Si Ton coupe ensuite par un espace linéaire à trois dimensions, par exemple X5 =» 0, ce qui revient à considérer les formes en x comme quaternaires, tandis que les formes en y restent quinaires, on a, en éliminant (, la projection de F3 dans. Tespace

ordinaire. Or, révanouissement de la dernière matrice équivaut au système d'équations

a, -+- ta^ -4- f>6, -♦- tfbg = 0, fK + If 6; - 0,

fb'J ^ tfb;,' = 0.

L'élimination simple de f et de ^ donne

on pourrait développer ce déterminant par le théorème de Laplace. S3 «» représente une surface du troisième ordre douée d'une droite double :

Les coniques et les droites sur S3 répondent aux cubiques dégénérées sur V^\ la droite double de S5 et sa droite simple qui ne rencontre pas sa droite double répondent à la conique et à la droite de Y^ situées dans un même espace linéaire avec le centre de projection j/.

48. Les formes a^^ 6^, ... étant linéaires à cinq variables homogènes, la matrice

rf.

s'annule pour les points d'une surface Tq dans l'espace à quatre dimensions. C'est l'intersection partielle de deux espaces cubiques à trois dimensions, ayant encore en commun une surface du troi-

sième ordre Fs. Celle-ci coupe Te suivant une courbe du huitième

ordre. En faisant précéder la matrice d'une colonne de constantes

arbitraires, on a la représentation d*une double infinité de

courbes du quatrième ordre situées sur Fq.

Si la relation

ma, -4- nbg -*- pCg -*- qd, =

et les deux analogues représentent trois espaces linéaires ayant un plan commun, ce plan coupe Fg suivant une courbe du troisième ordre. Il existe dix plans pareils.

Projetons Fe d*un point y^ ce qui revient à remplacer x par a; -t- ty; nous aurons, en éliminant t^ puis en regardant les formes en x comme quaternaires, la projection de Fe dans l'espace ordinaire. L*équation de cette projection est

«x «i «x' «y Oy Oy

(dans ce déterminant nous avons remplacé, par une ligne de points, trois lignes de formes où les symboles 6, c, d remplacent a). Se B» représente une surface du sixième ordre ayant une courbe double du septième degré représentée par

ai'

et sur celle-ci un point triple défini par

Il «. a; ai' «, «; < llî = 0.

49. Les formes a^^ 6^,... étant linéaires à cinq variables homogènes, Tévanouissement de la matrice

a, 6, c, rf.

représente une courbe du quatrième ordre, savoir la courbe normale de Tespace à quatre dimensions.

De même que précédemment, on trouve sa projection dans Tespace ordinaire en éliminant simplement t, tf entre la relation

ta.

tfo' =

et les trois analogues, et en considérant les formes en x comme quaternaires, tandis que les formes en y restent quinaires. On trouve, pour résultat de Télimination,

Il est évident que la projection, dans Tespace ordinaire, de la courbe normale de Tespace à quatre dimensions, est une biquadratique rationnelle. M. Marletta (*) est parti de cette propriété pour exposer la théorie de la courbe gauche rationnelle du quatrième ordre.

Ainsi, bien que nous ayons reconnu précédemment que cette courbe ne peut pas être représentée par une matrice dont les éléments seraient des formes indépendantes et les plus générales de leur ordre, il appert, par notre dernier résultat, que cette même figure peut annuler une matrice dont les éléments sont, les uns nuls, les autres des formes ayant des relations identiques entre elles.

Ici la biquadratique apparaît comme Tintersection partielle d*une surface cubique, annulant le déterminant des six dernières colonnes de C et d*une quadrique

C) Annali di matematica, 4902.

(92) ces deux surfaces ont en commun la droite

Cjf Cy Çy

d', d, rf;

laquelle est double sur la surface cubique et simple sur la quadrique.

50. Dans le présent paragraphe» nous n*avons fait qu'effleurer le sujet très vaste de l'application à Tespace à n dimensions, des propriétés des matrices. A dessein, nous n'avons utilisé que les préliminaires algébriques exposés ici même. Mais ceux-ci ne sont que les premiers pas dans une voie sans bornes. Aussitôt que le nombre des dimensions de Fespace s'élève au-dessus de trois, d'antres problèmes d'algèbre se présentent dans les questions les plus diverses. Pour ne citer que les plus simples, il faudra étudier les malrices où la différence entre le nombre de colonnes et de lignes dépasse deux, puis il faudra s'occuper des systèmes de valeurs de variables qui annulent tous les premiers mineurs d'une matrice carrée ou reclangulaire, etc.

La solution et l'application de quelques-uns de ces problèmes se trouvent ci-après dans notre étude III.

Appendice.

61. Il est possible de trouver les équations de la tangente en un point d'une courbe représentée par l'évanouissement d'une matrice, au moins dans certains cas. Nous esquissons ici la méthode en prenant pour exemple la courbe c^ annulant une matrice à trois lignes et quatre colonnes de formes linéaires quaternaires. Le système des surfaces cubiques circonscrites à cette courbe est représenté par l'équation suivante, où a, P, 7, 3 sont des paramètres arbitraires,

rf.

rfi

Les plans polaires cI^ud point y par rapport à ces surfaces ont pour équation

Sx,-— s I tf o. o; a;' I -♦- I a Oy a; a;' | -*- | a a^ aj a'J |

s I a a, Oy Oy'

I flc ai Oy' «y I -♦- I a ai' ay o^ | =» 0.

Mais si le point y est sur la courbe Cg, la matrice qui la représente est nulle et les déterminants, tels que (p!yhy)^ formés avec des éléments de deux lignes, sont dans des rapports constants, ^9 -9 avec les déterminants correspondants, tels que {a'^b^^ {p>yhy)f pris dans deux autres lignes de la matrice. On a donc

Sx,— s a

dyi

(ta

ou, en remplaçant p par {a'^by) : (ja'yby) et a par {Oyby) : (a'yby) dans toutes les colonnes, on trouve

dF Sx, — =

c. c; ci'

rf, < <'

Oy ay tty

ay a; o;'

tty a; a;'

fcy 6; 6;'

Malgré les quatre paramètres a, (3, j^, S, ces plans ne forment qu*un faisceau dont Taxe est la tangente à la courbe Cg. En abrégeant un peu la notation, on peut représenter cette tangente par

(a. a; 6;') (6. a; 6;') (c.a;6;') Ka;6;o

Congruences de variétés algébriques annulant des matrices.

Dans Télude précédente, nous avons toujours pris pour éléments des matrices des formes à une seule série de variables. Nous étendons maintenant le champ de nos recherches en considérant deux séries indépendantes de variables, mais nous ne pouvons traiter avec quelque détail que les cas les plus simples.

Pour les développements ultérieurs, nous devons donner d*abord quelques éclaircissements sur les groupes de points annulant une matrice à une seule série de trois variables homogènes, ainsi que sur les matrices à une série de variables, qui s'annulent identiquement.

Ensuite, nous envisageons les matrices dont les formes sont homogènes à la fois en X|, x^, x^, ... Xj et en a^, a^, as; elles représentent des infinités doubles, ou congruences de variétés k d — 3 dimensions dans Tespace à d — 1 dimensions. Nous cherchons dans les hypothèses les plus faciles comment doivent se présenter les variables a pour qu*un système arbitraire de valeurs de X|, Xzt ••• ^d appartienne à une seule variété de la congruence. Les applications à Pespace ordinaire et au plan sont évidemment les plus intéressantes. Un exposé sommaire d'une partie de cette étude a été publié déjà par nous dans les Comptes rendus de l'Académie des sciences de Paris (1 3 novembre 1 905) (*).

Groupes de points dans un plan.