OU

successivement,

m(rn —

Pour que cette relation soit satisfaite, il faut, si les nombres m et n sont tous deux différents de zéro, que Tun d'eux soit au moins 3. Si n est nul, c'est-à-dire si les éléments de la seconde ligne de M sont des constantes 6, 6', b'\ le réseau ci-dessus est un faisceau, car trois des courbes qui le composent sont liées par la relation identique |a]J?&6|^0; les m^ points, annulant alors la matrice, sont en nombre supérieur aux conditions qui déterminent un faisceau quand m ^ 3.

Ainsi, quand un au moins des nombres m, n dépasse 2, les points annulant M sont en nombre surabondant pour déterminer le système de courbes de degré le moins élevé passant par ces points.

On ne saurait d'ailleurs prétendre que, dans le groupe de points annulant M, il y a nécessairement des points singuliers pour toutes les courbes circonscrites, car alors toute courbe de la forme aj6^ — a^^î = devrait présenter des singularités ponctuelles. Or, on sait que toute courbe (donc aussi une courbe non singulière) passant par toutes les intersections de ajf =» (^ sra peut prendre une équation de la forme ci-dessus.

2. Le résultat trouvé plus haut montre l'inexactitude du théorème énoncé par plusieurs auteurs dans les termes sui-

vants : Toutes les courbes qui passent par i m{m ^3) — 1 points communs à deux courbes planes d*ordre m passent par les intersections restantes. Cette propriété est énoncée, sans restriction explicite, dans la plupart des manuels ; quelques-uns seulement font, dans le contexte, une vague allusion à des exceptions possibles.

L^erreur pourtant est manifeste, comme Pont remarqué les créateurs de la Géométrie sur une courbe : il se peut que ^ m(m + 3) — 1 points ne suffisent pas à déterminer un faisceau de courbes, parce que les équations exprimant ces conditions ne sont pas toujours indépendantes. L*erreur est surtout regrettable quand on fonde sur cette proposition inexacte, la théorie des transformations Cremona; cette théorie est exacte néanmoins, mais par hasard, parce que les courbes fondamentales de ces transformations sont unicursales; aussi les exposés qui prennent ce dernier fait pour point de départ sont sans reproche.

Nous devions faire ici cette remarque, parce que, dans la recherche des congruences linéaires de variétés algébriques, il y aura lieu d'éviter une faute de ce genre.

3. Pour généraliser les résultats précédents, considérons une matrice || a^ || à / lignes et / -^ 1 colonnes de formes ternaires d'ordre Pi -h qk» Supposons les éléments rangés de telle façon que l'on ail Pj ^ p^ ^ . . . ^P/, îi ^ Çî > . . . ^ Çz+i. La matrice s'annule pour un nombre de points égal à

2p' -♦- 2p,pt -«- 2p2qf -4- 2qf,q',.

Supposons en premier lieu que Ton ait

faisons précéder la matrice d'une ligne d'éléments dont le premier est la forme la plus générale du degré ç, — q^h coefficients arbitraires, les « -f- 1 éléments suivants des constantes arbitraires, et les derniers éléments tous nuls; nous avons ainsi un déterminant qui représente oo' courbes C, si nous posons

r = i (gi — g» -*- 1) (gi — gi + 2) + s.

Le nombre de$ points annulant h matrice est supérieur au nombre des conditions déGnissant oo^ courbes G si Ton a

ou successivement

2lp' -4- ^ZpiPt -*- 22p29 -^ ^^^q'^ -*- (Çi — q^)* -♦• SCç^ — qf») -♦- 2 -v 2«> (2p)' -H (2^)» + 22/)lqf — (29, — 5) (2p -H iqf) ^ q\—^t, ip* — 29* -H 9Î -4- (ip -^iq — qi) (294 — 3) -h 2 -h 2« > 0.

Il est visible que cette inégalité est satisfaite pour des valeurs suffisamment grandes des nombres p et 9; notamment, quand q^ est égal ou supérieur à 3, la relation est vériGée pour toutes les valeurs des p; lorsque 9, est inférieur à 3, les plus petites valeurs possibles des nombres p se déterminent sans difficulté, mais cette analyse présente peu d'intérêt.

Supposons en second lieu que Ton ait

faisons précéder la matrice d'une ligne d'éléments dont les « -4- 1 premiers sont des constantes arbitraires, les autres étant nuls; nous aurons un déterminant représentant oc' courbes G d'ordre Sp -«- £9 — 9^; les points annulant la matrice sont en nombre supérieur aux conditions définissant o&' courbes G quand on a

ip* -4- 2p,p, -f- 2p29 -4- 29,9^ -♦- « > i {2p -f- 29 — 9j) (2p + 29 — 9, -♦- 3),

d'où, après quelques calculs,

2p' — 29* -t- 9? -H (29, — 3) (2p -+- 29 — 9j) -+- )ls > 0.

Gette inégalité est encore satisfaite pour des valeurs suffisamment grandes des nombres p et 9, et notamment pour toutes les valeurs des nombres p quand 91 dépasse 3.

Évanouissement identique d'une matrice.

4. Nous aurons fréquemment à nous- demander quand une matrice à deux lignes et trois colonnes de formes à une série de variables ap|, Xj, ... x^ s'annule pour toutes les valeurs des

variables. Désignons chaque élément de la matrice par son

degré,

et supposons, pour fixer les idées, que les nombres m, m^ m'^ soient supérieurs à n, n\ n"\ ces degrés sont naturellement tels que chaque déterminant extrait de la matrice soit une forme homogène en x^y Xj, ... x^.

Si n et n' ont un fadeur commun k, posons symboliquement

n^k(n — A:), n' ^k{n' -- A;); le déterminant

mn' — m'n ^ k[m(n' — k) — m'{n — k)]

doit s*annuler pour toutes les valeurs des variables. Or, tous les systèmes de valeurs en nombre oc^""* qui annulent n' — A, sauf ceux en nombre (x''""^, qui annulent aussi n — A, doivent annuler m'; donc n' — k est un facteur de m' et Ton a symboliquement

m' ^ [n' — A:)a, m^[n — fc)a.

Si alors h est le plus grand commun diviseur de k et n/\

posons

d*où

n=A{A;— A)(n— A:) = A(w — /i), ii'=A(A;-A)(n'— A:) = /i(n'— A); le déterminant mn^^ — m^'n devient

(» — k)oLh(n" — A) — m'7i(A; — A) (n — A:j = ;

par suite, a(n" — A) est identique à w"(A — h) et, comme k — h et n" — h n'ont que oo^^-^ systèmes de valeurs communes, on a

doù

Donc, dans une matrice identiquement nulle à deux lignes et trois colonnes, si les éléments d'une ligne ont un facteur cornmun h, les éléments de l'autre ont un facteur commun P et, après

suppresêion de ces facteurs, leséléments d'une ligne sont identiques aux éléments cotTespondants de l'autre.

Lorsque les éléments d*une ligne sont des formes du premier ordre, leur facteur commun est une forme linéaire ou une constante.

La matrice est encore identiquement nulle quand les éléments d*une ligne ou ceux de deux colonnes sont identiquement nuls, oUy enfin, quand les éléments d*une colonne sont nuls et que, dans le déterminant restant, il y a un facteur commun à chaque ligne et à chaque colonne. Il faut remarquer que ce sont là des cas particuliers se ramenant à Ténoncé général précédent par le principe de l'addition des lignes ou des colonnes. Toutefois, la présente remarque est utile seulement dans le cas d*une seule série de variables x; quand nous aurons à considérer des matrices à deux séries de variables, les cas particuliers signalés ici devront être examinés à part.

Gong^mences linéaires de variétés algébriques.

5. Soit d^abord le cas très général d'une matrice à / lignes et I + 1 colonnes de formes de degré quelconque en X|, Xj, ... Xjf les coefiicients de ces formes étant, à leur tour, fonctions, d'ordre quelconque aussi, de trois paramètres homogènes a^, ^2» ^Z9 '^s degrés des éléments en a; et en a doivent seulement être tels que tout déterminant extrait de la matrice soit une forme homogène en x et en a.

Pour chaque système de valeurs des paramètres a, la matrice égalée à zéro représente, en X|, x^, ... x^, une variété algébrique à d — 3 dimensions dans l'espace k d — 1 dimensions; par exemple pour d =» 4 c'est une courbe gauche, pour d = 3 un groupe de points dans un plan. Quand les paramètres a varient, on a donc un ensemble doublement infini ou une congruence de ces variétés. Si Ton donne au contraire un point x, c'est-à-dire un système de valeurs de x^, x^, ... x^, la matrice s'annule pour un nombre fini [x de valeurs des paramètres a^, a^, as, ou, en d'autres termes, pour [ji points a, car on peut regarder ai, 0L2f oL^ comme les coordonnées d'un point a dans un plan.

( iOO)

Aiasi la oongruenee eonsidérée est, en générai, d'ordre fx, c'est-à-dire que tout poini x appartient à [a variétés de la oongruence.

Si, parmi les |ji points a répondant à un point quelconque x, il y en a « fixes pour tous les points x, ei |ji — s variables aveerr, la congruence s'abaisse à Tordre (A — 8, et réciproquement.

En particulier la congruence est linéaire ou du premier ordre quand, des |jl points a, f^ — 1 sont fixes quel que soit x, et un seul variable avec x.

Ces points fixes peuvent évidemment coïncider entre eux, tous ou en partie. En faisant précéder la matrice d'une ligne de formes indépendantes des x et de degré le moins élevé possible en a, on obtient, comme au n^ 3, des courbes C en a ; si un point fixe a est f^^'' sur chacune de ces courbes, il compte pour p points fixes a.

A première vue, ces raisonnements rappellent la théorie des Transformations Cremona; mais l'analogie n'est qu'apparente, car jusqu'ici rien ne vient limiter, dans un sens ou dans l'autre, le nombre des points fixes a. D'après les n°* 1 et 3, on ne peut affirmer que ces points fixes situés sur oc** courbes G impliquent un nombre de conditions inférieur ou égal au nombre de points indépendants qui définissent un tel système de courbes. On ne peut même pas affirmer que les points fixes multiples a doivent être en nombre tel que les courbes G ne dégénèrent pas. La seule chose à faire est de donner aux nombres de lignes et colonnes de la matrice et aux degrés des variables les valeurs les plus simples, et d'examiner ces cas un à un.

Paramétres intervenant an degré 1 ou 0.

6. La matrice étant encore à / lignes et / -h 1 colonnes de formes a^ contenant les variables «4, x^, ... x^ au degré r^ -^ Sk et les paramètres a^, a^, a; au degré un ou zéro, elle s'annule pour (x.^ variétés algébriques. Si l'on a d «=> 4, / <» 2 et si r^- -h «^ est toujours égal à 1, quels que soient t et ky la matrice s'annule pour oc* cubique» gauches. Si l'on a d «=» 3, / «= 2, r^ +• «^ «=» i , la matrice s'annule pour oc* ternes de points dais un plan*.

( iOI )

Lorsque les paramèlres a ne Ggurent que dans une colonne, en faisant abstraction de cette colonne, on a un déterminant qui s*annule pour une hypersurface contenant toutes les oc* variétés de la congruence; par un point de cette hypersurface, il passe en général oo' variétés; mais par un point arbitraire hors de cette hypersurface, il ne passe aucune variété : on peut dire que la congruence est d'ordre léro.

Lorsque les paramètres a ne figurent que dans une ligne ou dans deux colonnes, et ce au premier degré, la matrice, pour chaque point x, représente un seul point a; il n'est pas question de points fixes a et les systèmes de courbes C de tantôt sont des faisceaux de droites sans point fixe commun. La congruence, dans ce cas, est toujours linéaire. Si Ton se réduit à une matrice à deux lignes et trois colonnes de formes linéaires en x, on a les deux types suivants (*)