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Paramètres linéaires dans tous les éléments.
7. Bornons-nous à la matrice à deux lignes et trois colonnes de formes d'ordre quelconque en X|, X2, ... x^ et linéaires en aj, aj, a3,
Sa^ai^ 2^i^ii S^îCk S«,a« Sa.6„ S«,c«
Les courbes C en a s'obtiennent en faisant précéder M d'une ligne de constantes et forment donc un réseau de coniques. Des trois points a répondant à chaque point x, deux doivent être
Ç) Nous avons étudié en détail le premier de ces types dans le Bulletin de V Académie royale de Belgique, mai 4907.
fixes et simples sur les courbes C ; car, si un point a était double sur ces coniques, celles-ci n*auraient plus d'intersection variable. Supposons d*abord les deux points fixes a distincts, et plaçons-les aux sommets aja^ et cuiOL^ du triangle de référence des a. Pour tout point x, la matrice M s'annule quand on y fait a] = a2=>0; ou inversement, quand a^ et ol^ sont nuls, la matrice doit s'annuler pour tous les systèmes de valeurs de X|, or^, ... x^; donc on a l'identité
ts
l'autre point fixe 0^0.^ donne de même
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Nous avons appris précédemment comment des matrices pareilles peuvent être identiquement nulles : les éléments d'une ligne doivent avoir un facteur commun dont le degré en x peut aller depuis zéro jusqu'au degré, le moins élevé en x, des éléments de M; les éléments de Tautre ligne ont aussi un facteur commun dont l'ordre se déduit du précédent, et les facteurs restants sont identiques par colonnes, à une même constante près. Les cas où les éléments d'une ligne ou d'une colonne sont identiquement nuls ne doivent pas être considérés à part, parce que les éléments de Nj ou N3 sont, dans la matrice M, les coefficients des mêmes paramètres a^ ou a^ et qu'on peut donc^ par addition de colonnes ou de lignes de M, ramener les cas d'éléments identiquement nuls dans une ligne ou colonne de N^ (ou N3) aux cas d'éléments identiques dans deux lignes ou colonnes.
Tous les cas où N3 s'annule identiquement étant combinés, de toutes les manières possibles, avec les hypothèses analogues relatives h N^, on obtient toutes les congruences linéaires des variétés considérées, en tant que les paramètres a sont linéaires partout et les deux points fixes a distincts.
Supposons ensuite que les courbes C aient deux points com-
muns infiniment voisins, c'est-à-dire qu'elles aient par exemple au point ol^ol^ la même tangente a^ <» : les termes en a* et en aitts doivent manquer dans leurs équations, et Ton a d'abord
et ensuite
«15 ^15 ^a On f>n Cg3
(P) { «!»<•« + Oitf^n — a«<?i5 — o«8C|, = 0,
Les diverses hypothèses qui annulent N^ étant portées dans les identités (P), on analyse facilement tous les cas possibles pour que ces dernières soient satisfaites. Même pour des degrés relativement petits des formes en ar^, œ^, ... x^, le nombre des combinaisons possibles est considérable.
8. Circonscrivons le problème en supposant que les formes a^jk, à^jb* Cik soient toutes linéaires en Xi, x^, ... or^. Les résultats que nous obtiendrons nous fourniront : pour d = if des congruences linéaire^ de cubiques gauches; pour d «a 3, des congruences linéaires de triangles dans un plan.
Dans ce champ plus restreint, pour que N3 s'évanouisse identiquement, il faut : ou bien que les éléments d'une ligne de Ns soient identiques à des constantes près, alors il en est de même dans l'autre ligne et l'on peut, par soustraction, faire disparaître ag de deux colonnes de M; ou bien les éléments d'une ligne sont identiques, à une même constante près, aux éléments correspondants de l'autre ligne et, par soustraction, on fait disparaître as d'une ligne de M. Dans le cas de deux points fixes a distincts, on combine ces hypothèses avec celles qui amènent l'évanouissement de N^, et l'on a les cas suivants :
1<> Le paramètre o^ manque dans une ligne de M et ag dans l'autre, ce qui fournit le type que voici :
Si la soustraction qui fait disparaître as de la seconde ligne en faisait disparaître en ménie temps ct^j on se trouverait dans le cas du type (I) signalé au n® 6;
2® Les paramètres a^ et a^ manquent chacun dans deux colonnes, mais non dans les mêmes; c'est un cas particulier du type (II) du n® 6. Si a^ et a^ étaient absents des deux mêmes colonnes, on aurait la congruence d'ordre zéro signalée au n^ 6;
3® Un paramètre manque dans une ligne et un autre dans deux colonnes; voici le type que Ton obtient alors :
