IV
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9. Dans le cas des points fixes a coïncidents, on a encore N5 ^ 0, et Ton peut faire disparaître as d*une ligne ou de deux colonnes :
1® Supposons la première de ces opérations possible et effectuée, donc 0^5 ^ 623 ^ 023 ^ 0; '^^ identités (P) deviennent
<*I8 "13 ^15 OfS Ojî Cfi
Si les éléments de chaque ligne de P^ sont identiques à des constantes près, on peut, par soustraction de colonnes, ramener au type suivant, assez analogue, comme forme, au type (IV) :
«!«'« -^ f^ifx «frfi «ifi'i'
Si les éléments de chaque colonne de P^ sont identiques à une constante près, on obtient le symbole que voici :
dans chaque colonne, le facteur de a3 d'un élément est le même que le facteur de o^ de Tautre, mais 00 ne peut plus simplifier par soustraction.
( lOô)
Si les élémenu d'une ligne ou de deux colonnes de P^ sont identiquement nuls, on retrouve des types déjà rencontrés;
2* Lorsque dans N5 les éléments de deux colonnes peuvent être annulés, donc quand on a b^^^Ci^^b^^^c^^^O, les identités (P) deviennent
«I» t„ c« ^n àti Cft
et tous les modes d^évanouissemenl identique de cette matrice ramènent è des types déjà signalés.
En résumé, quand la matrice n'a que six éléments de formes linéaires et quand les paramètres n'y figurent qu'à la première puissance au plus^ taules les congruences linéaires se ramènent aux six types obtenus par l'analyse précédente.
Paramètres aflèetés d'exposants sapèrieurs À 1.
10. Dans Timpossibilité de traiter la question d*une façon complète, nous examinerons brièvement quelques cas simples : la matrice est toujours à deux lignes et trois colonnes de formes linéaires en Xi^ x^, ..., x^.
Si les paramètres a|, a^, aj figurent au n* degré dans une ligne, Tautre étant indépendante de ces paramétres, le nombre des points a répondant à chaque point x est n^; les courbes G sont d*ordre n et forment faisceau; les points fixes a sont en nombre n^ — 1. Écrivons la matrice
di(x) dt{x) di{x)
Il ne peut être question que les formes d^ soient nulles ou identiques, car alors la formule ne représente plus un ensemble de variétés k d — 3 dimensions. Donc, pour les n' — 1 points fixes a, désignés séparément par A, B, G, ..., on doit avoir
A, k\ ... étant des constantes qui, dans un cas particulier, peuvent être toutes identiquement nulles.
Peut-on former une fonction «p du n* ordre en a et indépendante des JCy telle que Ton ait
La forme «p a ^(n+ l)(n-4-2) coefficients et les relations écrites en dernier lieu sont en nombre rfl — 1; on pourra les vérifier par des valeurs convenables des coefficients si Ton a
n*—i ^i(nH- 1)(n-4- 2)
oUy successivement,
donc, enfin, si n est au plus égal à ^.
Lorsque la forme ^ peut ainsi être construite, on remplace la matrice donnée par
fi — ^(aK
et les éléments de la première ligne s*annnlen(, quel que soit x, pour tous les points fixes A, B, ... Dans les éléments de cette ligne, le coefficient de chaque variable x^ est une forme du n* degré en a passant par n^ — 1 points fixes. Ces formes appartiennent à un réseau si n = 2 et, en général, à un faisceau pour n Bs 3 ou fiea i. Lorsque c'est un réseau, chaque élément de la première ligne de la matrice écrite à Pinstant prend Faspect
que voici :
on peut prendre pour paramètres S, T, U et l'on est ramené au type (I) du n^ 6.
Quand, au lieu d'un réseau de courbes en a, on n*a qu'un faisceau, la matrice s'annule pour une infinité simple de variétés.
Pour n supérieur à % des congruences linéaire! pourraient encore se ramener au type (I) si certains points fixes a étaient singuliers pour les courbes G. Pour n supérieur è 4, on conçoit
la possibilité de congruences linéaires échappant à cette réduction, mais Texistence de ces systèmes est néanmoins problématique.
Un raisonnement analogue à celui qu'on vient d*exposer s'applique au cas où deux colonnes de la matrice contiennent les paramètres a au degré n, tandis que la troisième colonne est indépendante de ces paramètres; certaines de ces congruences se ramènent au type (II) du n® 6.
11. Lorsque les paramètres a^, oj, ol^ figurent au second degré dans une ligne et au premier dans Tautre, les courbes G sont du troisième ordre et doivent avoir six points fixes, soit six points simples distincts ou non, soit un point double et deux pointa simples, lesquels peuvent coïncider entre eux ou avec le nœud. Dans chacun de ces cas, déjà nombreux, les hypothèses à combiner sont fort nombreuses aussi, d autant plus qu'on ne peut espérer de réduction par soustraction des lignes.
Voici, à ti(re d'exemple, une congruence linéaire où les points fixes des cubiques G en a sont un nœud et deux points simples aux sommets du triangle de référence,
a««50x+«««i^.+«iai<^« iXia5a^+ajtf,6i+a,a,ci cx.^ial/ +a^ifi'J +(x^'XiC'g
tn
12. Voici encore une congruence linéaire remarquable. Il est clair que toute matrice contenant les paramètres a^, aj, ol^ au degré n dans tous les éléments, mais où a^ manque dans une ligne et o^ dans Tautre, et où les deux lignes ne diffèrent que par le nom des paramètres, représente une congruence de variétés algébriques dont Tordre est i (n — i)(n — 2). En effet, pour chaque point x, Tévanouissement de la matrice
est précisément la condition pour que la courbe plane unicursale
Xi : X, : Xs = /"(flc,, a,) : f (a,, or,) : tp(aj, a^
ait un point double; or une telle courbe a i {n — 1) (n — 2) nœuds. Si tous ces nœuds, sauf un, sont fixes, k congruence est linéaire.
En particulier, si n » 3, la congruence est toujours linéaire.
Dans le dernier paragraphe de celte étude, nous montrerons une congruence de cubiques gauches se ramenant au type actuel. A part cet exemple, nous ne traiterons pas en détail les systèmes signalés dans le présent paragraphe et nous nous contenterons d^approfondir les six types indiqués aux n^ 6, 8, 9.
Points singuliers x dans les six types de oongmenoes.
13. Appelons point singulier x un point x appartenant à une infinité simple de variétés de la congruence. Ces points sont en nombre simplement infini et il s*agit de déterminer la figure qu*ils engendrent. Esquissons la marche à suivre.
Soit la matrice
elle donne les trois équations
/;(«,x)-*-pf,(a,jf)«.0 (»= 1,2,3).
Si X est un point singulier, ces relations sont vérifiées pour 00^ systèmes de valeurs de p, ai, a^, as, et réciproquement. Or ceci peut arriver de deux manières : ou bien p conserve la même valeur dans les oo^ systèmes et il suffît d^écrire que les trois dernières égalités sont indéterminées en a^, a^, as, en considérant p, non comme variable, mais comme une constante inconnue; ou bien p varie avec a^, ag, a^ dans les œ* systèmes et alors on doit chercher la condition pour que les égalités soient indéterminées en p, a^, o^, a^,
14. Appliquons cette méthode au type (I) du n"" 6 ; Téquatioa
ti les deux analogues en a', 6% ... a'', 6", ... sont iodéterminées en p, a|, a^, as quand on a
Il a. '^ c. (/. Uî « 0,
ee qui représente une varîélé sextique è d ^ 3 diroeDsions.
Si p est une constante inconnue, on peut poser p *» Pi : pa ^^ les équations sont indéterminées en a^, a^f as quand on a
Il pto, pA /»t«. pi^« Ijî = 0.
Ces relations sont vérifiées :
l"" Pour Pi =a et (abc) «» 0, mais alors les équations déterminent les rapports mutuels dea^.a^, as; de sorte que, pour une indétermination de ces rapports, il faut révanouissemeni de tous les premiers mineurs de (abc) ; ceci arrive pour les points d*une variété algébrique kd — S dimensions, en supposant que d soit au moins égal à 5 ;
2^ Pour p2 == et d^ » d^ = d^^ «=> 0, conditions compatibles seulement quand le nombre des variables x est au moins quatre, et alors a^, o^, as sont complètement indéterminés, c*est-à-dire que les points x communs à c/^, ct^, ct^' appartiennent à toutes les variétés de la congruence.
Dans Tespace à trois dimensions, les formules (I) représentent une congruence linéaire de cubiques gauches passant par un point fixe (dd^d'^) et sappuifant huit fois sur une sextique gauche de genre trois^ || o^ 6^ c^ dj^ ||. Pour la justification de la seconde partie de Ténoncé, voir noire étude précédente.
Dans le plan, les formules (I) représentent une congruence linéaire (ou involution) de triangles^ douée de six points singuliers.
15. Les points singuliers d*une congruence du type (II) se trouvent au moyen des équations suivantes (p a été remplacé
par Pi : Pa).
«;vt H- d;vi = 0.
l"* Le rapport pi : p^ est indéterminé si Ton a a'j^ =:d^=^0, relations qui donnent une variété linéaire à d — 3 dimensions, coupant chaque variété de la congruence suivant une variété quadratique k d — 4 dimensions ;
2® Si Pi : p^ est une constante inconnue, les deux premières équations (II') sont indéterminées en a^, o^, ol^ quand on a
pA
pA
Pif* pj»
P\9' Pi9*
en éliminant de ces relations et de Tégalité a^'p^ -^ c^^'p^ «» le rapport p^ : p^, on obtient les équations
(aX'-dXO ^Kd'J-fM) ic^d'j-gWJ)
Omettons la seconde ou la troisième colonne de cette matrice : nous obtenons deux hypersurfaces du quatrième ordre, admettant toutes deux, comme variété double, la variété linéaire a^ s= d'Jg c=3 0. Ces hypersurfaces ont une intersection du seizième ordre, où a"d'' figure comme variété quadruple; du système restant qui est du douzième ordre, il faut défalquer la variété cubique annulant la première colonne de ^ sans faire évanouir a^ et d^. Donc S b» représente une variété du neuvième ordre à d — 3 dimensions.
Dans lespace ordinaire, le$ cubiques gauches de la congruence (II) ont une bisécante commune a^'d'' et s'appuient, chacune par huit points^ sur une courbe gauche du neuvième ordre.
En effet, la première colonne de £ peut se remplacer, grâce à Taddition des colonnes, par
(ct^a, H- aj), -f- aacjdi' — (a.d, -»- «/, -f- «j^fjoi' (tf^ai ^ a,6; -4- aj<)d;' — (a^dl -4- a»/"; h- a^g',)a'J
et cette colonne s'annule pour une cubique variable de la congruence plus la droite a'^d^^. Cette cubique variable coupe, en douze points, la surface quartique représentée par les deux
( ni )
dernières colonnes de S; celte surface a pour droite double la droite a"c(" qui est biséeante de la cubique. Donc il reste huit points de la cubique sur la courbe de neuvième ordre.
Dans le plan, les formules (II) représentent une congruence linéaire (ou involution) de triangles^ douée de dix points singutiers, y compris le point a"c{".
16. Passons au type (Jil); nous devons examiner les relations
1^ Si Pi : P2 doit varier avec les a, ces trois égalités seront satisfaites pour 00^ systèmes de valeurs de p^a^, p^o^, p^ai, p^aj quand on aura
Il a. b, c, d. Il = 0,
ce qui représente une variété sextique à d — 3 dimensions;
2® Si Pi : p^ est une constante inconnue, les équations (IIF) sont indéterminées en a|, a^, ol^ quand tous les premiers mineurs du déterminant
sont nuls. Or, cela arrive pour pi = et || Uj^ b^ || = 0, ou pour P2 e= et II djc g je II == 0, relations qui représentent deux variétés cubiques à d — 3 dimensions.
S*il y a quatre variables homogènes X|, x<^, x^, or^, les formules (III) représentent une congruence de cubiques gauches ayant pour directrices une sextique du genre trois et deux cubiques gauches; chaque courbe de la congruence rencontre huit fois la sextique et une fois chaque cubique directrice; chaque cubique directrice rencontre huit fois là sextique.
Dans le plan, on a une congruence linéaire de triangles douée de douze points singuliers.
