L'homographie du troisième ordre et du premier rang

2. La même homographie, mais symétrique par rapport à deux des trois variables;

3. La forme (p doublement quadratique binaire et symétrique; i. L'involution cubique, ou la forme cp dans le cas où la

quantité ac -h- bg — hf — g^ s'évanouit ;

4'. La forme <f dans le cas où le déterminant A est nul;

4''. Les points d'une ponctuelle et leurs seconds systèmes polaires relatifs à une forme quartique binaire, ou la forme 9 avec la condition b = ig;

5. Les points d'une ponctuelle avec leurs seconds systèmes polaires relatifs à quatre points équianharmoniques, ou la forme <p avec les deux conditions b = tg,ac •+• 3^^ — ^^'=0.

Application aux coniques.

9. Dans son Traité des fonctions elliptiques^ Halphen a ramené Tétude d'un système de deux coniques d'un même plan à celle d'une forme doublement quadratique et symétrique.

Pour ne pas laisser de lacune dans notre travail» nous exposons ici cette question en suivant une marche différente.

Soit une conique c^ représentée par les équations paramétriques

La droite qui joint deux points de paramètres oo' et u'' a pour

équation

Xi — (d)' -t- (i)")xj -♦- <i)'(«)"x3 = 0.

Les coordonnées tangentielles de cette droite sont

Si les points oo' et oo'' se correspondent dans une forme <p, doublement quadratique et symétrique, on a

-♦- f(tù' -♦- w") « 0, ou encore

aa)"(o"* -h (6 — 2^)(o'(o" -♦- c -♦- A(o'(o"{(o' -♦- w") -♦- ^(w' ^ 0)")' -+- /*(«' -4- w") = 0,

et alors la droite ooW enveloppe la conique y^ représentée par

aul -♦- (6 — 2gf)u4i/5 -h cuj — hu^u^ -1- 5'MÎ — fuiUt = 0.

Réciproquement, les tangentes à une conique quelconque,

a*u\ -f- h'u\ -♦- c'ti| -4- 2A'ti|tt2 -H S^'uitig h- ^f'UiUi = 0,

déterminent, sur la conique c^, des points oi>', oi>" se correspondant dans une forme ^ ,

La forme ^ a donc une importance géométrique : c'est la correspondance la plus générale déterminée sur une conique par les tangentes à une autre conique.

10. Si Ton prend un point arbitraire x sur c^, on trouve les deux points correspondants y en menant du point choisi x les deux tangentes a y^ et en les prolongeant jusqu'à ce qu elles recoupent c^

Les points de ramification R sont évidemment les points communs aux deux coniques; les points doubles D sont les secondes intersections, avec c^, des tangentes à y^ menées par les points communs R. Les points C sont les contacts, sur c^, des tangentes communes aux deux coniques. Les points Q sont les intersections, avec r^, des secondes tangentes à y^ menées par les points C.

D après le n** 4, les points y qui répondent à un même pointa? se correspondent dans une forme <p. On retrouve donc ce théorème connu (*) : 5t un triangle mobile est inscrit dans une conique c^ et si deux de ses côtés touchent une conique y^^ le troisième côté enveloppe une conique.

11. Lorsque la forme (p représente une involution cubique, c'est-à-dire quand ac -^ bg — hf — g^ s'évanouit, il y a une infinité de triangles inscrits à c^ et circonscrits à y<^.

Si, d'autre part, le déterminant A est nul, il existe une infinité de couples de points x sur c^, tels que les points de chaque couple répondent aux deux mêmes points y\ donc il y a une infinité simple de quadrilatères inscrits à c^ et circonstrits à y^ (quadrilatères de Poncelet).

Pour que la forme f se compose d'une ponctuelle et des seconds systèmes polaires de ses éléments par rapport à un groupe de quatre points, il faut et il suffit (voir n® 7) que l'on ait b = ig\ donc que le coeflicient 6 — ig du terme en u^u^^ soit double du coefficient de u\ dans l'équation de y^. Mais si Ton considère que l'équation de c<^ est x^Xs — x| = 0, la présente condition est l'évanouissement de l'invariant simultané exprimant qu'il y a oo^ triangles inscrits à r^ et conjugués par

(*) Voir Salmon, Sections coniques.

rapport à 72» ^^ d'autres ternies que c^ est barmoniquement circonscrite à y^.

Donc, 9i ron a, sur une conique c^, un groupe de quatre points fixes et si l'on joint un point variable de cette conique aux éléments de son second système polaire par rapport au groupe de quatre points^ ces droites enveloppent une conique y^ harmonie quement inscrite à c^. Les tangentes communes à c^ et y^ touchent c^ aux quatre points fixes donnés.

Réciproquement, si une conique y^ est barmoniquement inscrite à c^» les tangentes a y^ menées d'un point quelconque x de Cg coupent encore c^ en deux points formant le second système polaire de x par rapport aux quatre contacts, sur c^, des tangentes communes à c^ et 72

Si, en même temps, il y a involution, c'est-à-dire s'il y a des triangles inscrits à c^ et circonscrits à y^t on sait que c^ est alors aussi barmoniquement inscrite à y^ et, d'après le n"* 7, les quatre contacts sur c^ des tangentes communes aux deux courbes forment un groupe équianharmonique. Comme alors les coniques jouent, Tune par rapport à l'autre, le même rôle et comme on peut évidemment appliquer le principe de dualité, on retrouve ce théorème connu : Si deux coniques sont barmoniquement inscrites Tune à l'autre, leurs tangentes communes et leurs points communs forment des groupes équianharmoniques sur chacune d'elles.

12. On sait que si H est le hessien d'une forme biquadratique binaire /*, l'involution /* -f- ^H se décompose de trois manières en une involution quadratique.

Réciproquement, si une involution ]\ se décompose de trois manières en involution quadratique, le hessien d'un quaterne quelconque appartient à l'involution; en effet, une involution pareille est déterminée par un seul de ses qnaternes, puisque, en décomposant le quaterne, de trois manières, en deux couples de points, on définit les trois involutions quadratiques.

Voici Tusage que l'on peut faire de cette réciproque : les deux coniques c^ et y^ peuvent toujours être projetées suivant

4evni coniques hotnofocal«s. Leurs interseetions sôtit alors symétriques deui à deui psr rapport aux axes communs des deux <oiii(|ii6s. Il en «st de mcMue des secondes îfitersections de Tune des eonîques avee les tangentes menées è Tautre par leurs points oèmaïuns, et aussi des contaora C, sur chacune des courbes, de leurs tangentes comcnunes (isotropes), et enfin des intersections de Tune des coniques avec les secondes tangentes menées h l'autre des points C. Ces quatre quaiernes de points se répartissent de trois manières en une même invdution quadratique.

Dtmc, dann toufe forme ^ dmiblemenl quûdrûtique et Bymétrique, len groupet de points C^,, D^, Q^, R^. et leurs hesskns font partie d'une même involufion du quatrième ordre, se décomposant de trois maniérée en une involufion quadratique.

13. Ptiis^qu'ii a été question de eontques htirmofiiquement af^ociées(n* If), signalons en passant les propriétés suivantes, peut èire nouvelles en partie et dont la démonstration est aisée, surtout si Ton rapporte les courbes à h ur triangle conjugué GommuB :

Dans tout faisceau ponctuel de coniques, il y a une tourbe & harmoniquement circonscrite à une courbe dùnnée e du faisceau; il y a deux coniques i\ et v^ karmoniquement inscrites à ta courbe donnée c.

Dans le faisceau, les coniques C| et c^ eéparent harmonique^ ment c et c'. Donc, quand dans le faisceau il ny a qu une tourbe harmoniquement inscrite à c, elle lui est aussi harmoniquemeni circonscrite.

l/éfjonré corrélatif va de soi.

Dans tout faisceau ponctuel (ou tangentiel) it y a deux courbes Mies que chacune soit harmoniquement inscrite à l'autre.

Surface dn quatrième ordre à cubique double.

14. Il est bon de donner ici quelques propriétés des surfaces réglées ayant pour génératrices des bisécantes d'une cubique ^uche C3. Sott F une telle surface.

Considérons une bisécanto AB de C5 qui ne soit pas génératrice de F; elle ne rencontre aucune autre génératrice de F, si ce n'est en A ou B sur la courbe ; donc A et B sont des points multiples, d ordres respectifs n et n' par exemple, et Tordre de la surface est n + n!. Du point A, non plus que du point B, on ne peut mener qu'un nombre fini de génératrices, sinon la surface F se décomposerait et contiendrait, comme partie intégrante, le cône de sommet A ou B perspectif à C5, hypothèse exclue en supposant que AB n'est pas génératrice de F. Donc il existe une infinité de points C de la cubique tels que, ni AC ni BG ne sont génératrices de F. Alors, puisque A est multiple d'ordre n, C est multiple d'ordre n', et comme B et G sont multiples d'ordre n', l'ordre de la surface est 2n'. Par suite » = n'.

Ainsi toutes les surfaces ayant pour génératrices des bisécantes d'une cubique gauche sont d'ordre pair 2n et ont là cubique comme courbe multiple d'ordre n. Désignons une de ces surfaces par F^.

Réciproquement, toute surface d'ordre 2n qui a c^ comme courbe multiple d'ordre n est réglée, car la bisécante issue d'un point quelconque de la surface possède, outre ce point, deux points «"P*®* sur F^ et se trouve tout entière sur la surface.

Une semi-sécante issue d'un point A de C3 rencontre F^^ en n points autres que A et coupe n génératrices ailleurs qu'en A, donc cette semi-sécante est dans n plans contenant une génératrice; par conséquent, les plans qui projettent de A les génératrices de FjM enveloppent un cône de classe n.

Réciproquement, les bisécantes de c^ tangentes à un cône de classe n ayant son sommet en A sur la courbe engendrent une surface ayant tout point B de la courbe comme point n"P^% car de ce point B on peut, en général, mener n bisécantes tangentes au cône de sommet A. Et la surface ainsi engendrée est de celles que nous avons appelées F^.

15. Quelques mots de géométrie projective montreront, d'une autre manière, comment la théorie des bisécantes d'une

cubique gauche revient à Tétude d*une gerbe ou d'un système plan.

Toutes les bisécantes qui rencontrent une même semi-sécanie issue de A appartiennent à un même hyperbololde circonscrit à C3 et forment, sur cette quadrique, une série projective au faisceau des plans qui les projettent du point A.

Toutes les semi-sécantes issues de A et rencontrant une même bisécantc définissent des quadriques circonscrites à C3 et possédant en commun la bisécantc; donc ces quadriques forment un faisceau. Celui-ci est projectif au faisceau des plans tangents en A ; ce dernier a pour axe la tangente en A cl est donc perspectif au faisceau des semi-sécantes.

Par là toute la géométrie des bisécantes et des quadriques circonscrites est rapportée à la géométrie de la gerbe A, ou d*une gerbe réciproque, ou d'un système plan projectif ou réciproque. Chaque théorème de géométrie plane se traduit par deux théorèmes sur la cubique : il suffit de remplacer le mot point (ou droite) par bisécanie et le mot droite (ou point) par quadrique circonscrite.

Par exemple, on a le théorème de géométrie plane : si trois points M, N, P sont alignés, ainsi que trois autres points M', N', F, les coupU's de droites MN' et M'N, MP' et M'P, NP' et NT se coupent en trois points en ligne droite. Cette propriété donne les deux suivantes :

i® Soient M, N, P trois quadriques circonscrites d'un même faisceau, M', N', P' trois quadriques circonscrites d'un autre faisceau; les couples de bisécantes communes aux quadriques (M, NO et (M', N), (M, P') et (M', P), (N, P') et (N', P) déterminent trois quadriques circonscrites d'un même faisceau ;

2® Soient M, N, P trois bisécantes d'une même quadrique circonscrite, M', N', P' trois bisécantes d'une autre quadrique circonscrite; les couples de quadriques déterminées par (M, N') et (M', N), par (M, P') et (M', P), par (N, P') et (N', P) ont en commun trois bisécantes d'une même quadrique circonscrite.

Voici un autre exemple : si deux faisceaux projectifs de rayons

ont un élément correspondant commun, le lieu des intersections des rayons homologues est une droite. Donc :

\^ Si tieux séries projectives de bisécantes ont un élément correspondant commun, les couples de bisécantes homologues déterminent des quadriques circonscrites d'un même faisceau;

2<> Si deux faisceaux projeetifs de quadriques circonscrites ont un élément correspondant commun, le lieu des bisécantes communes à deux surfaces correspondantes est une quadrique.

Enfin, voici un dernier exemple qui donne un cas parlieiilier de la surface F^^ du numéro précédent : dans un plan, le lieu des intersections des rayons homologues de deux faisceaux projeetifs sans élément correspondant commun est une courbe du second ordre. Donc :

1* Si Ton a deux feisceaux projeetifs de quadriques circonscrites, le lieu des bisécantes intersections des surfaces homologues est une surface réglée ayant deux bisécantes communes avec toute quadrique circonscrite on tout cône cireotiscrit, c'estè-dire une surface F4;

2® Si Ton a deux séries projectives de bisécantes, les quadriques déterminées par les couples de bisécantes homologues enveloppent une surface P4.

16. L*étude analytique donnera de nouveaux points de vue. Si la cubique c^ est donnée par les relations paramétriques :

une bisécante quelconque est représentée par les équations

AJ| -♦- /UXj -h yJj «=» 0,

AX, -♦- flXi -¥- VXt = 0.

Les coordonnées plûckériennes sont :

Celles de ces bisécantes qui appartiennent à un complexe du n"* ordre,

satisfont à Tëquation

f„{x\ >/£, Xu, A*' — Xv, ^y, y') = 0,

Mais 2, fjL, V peuvent être regardées comme les coordonnées tangeniielles, dans la gerbe A, du plan Ix^-^ [lx^-^vx^^^O^ qui projette la bisécante en question. Alors féquation précédente est celle d*tin cône de sommet A et de classe 2n.

Les bisécantes d'une cubique gauche qui appartiennent à un complexe d'ordre n sent tangentes à un cône de classe 2n ayant son sommet en un point quelconque de la courbe. D'après h n^ H, ces bisécantes engendrent une surface F^,

L'équation de cette surface s'obtient très simplem^ni, car les équations de la bisécante donnent

en substituant ces valeurs dans la relation /*. <= de plus haut, on a réquation de F^.

En particulier, les bisécantes de c^ qui touchent une surface de classe n ou qui rencontrent une courbe gauche d*ordre n engendrent une surface F^ Mais tout ceci n'est vrai que dans le cas le plus général : exceptionnellement il peut arriver que la surface se décompose en un ou plusieurs cènes perspectifs à la cubique c^ et en une surface d ordre moindre que in.

17. Un complexe d'ordre n a généralement plus de eonstantes qu'un cane de classe 2n^ de sorte que les génératrices d'une surface F^^ appartiennent à une infinité de complexes d'ordre n. Excepté si n «» 1 : le cône de seconde classe a cinq constantes comme le complexe linéaire. Ainsi, taut cône de seconde classe, représcnié en coordonnées tangentielles \ |ui, y par

peut être identifié au complexe linéaire

( ^so )

Effectivement, il suffira d*écrire

«Il ' «15 : («I* — 0*3) : «43 : ^m : «54 == ^n : 'i''« : 'i^is : ^it : 2645 : 655, ou

Donc les génératrices de toute surface F4 sont rayons d*un complexe linéaire. Celui-ci est spécial si Ton a

««flw •♦- «IsOm -4- «1*013 = 0,

ou

^Uif^^ — -4644643 -H 6„(26j5 -♦- 6„) — 0.

Alors la surface F4 est engendrée par les bisécantes de C5 qui s*appuient sur une droite.

Si Ton écrit en abrégé

X| : X, : Xs =« (r^x^ — xf) : {x^r^ — x^x^) : (ariXj — arj),

réquation de la surface F4 la plus générale est

La cubique C3 étant donnée, cinq bisécantes définissent la surface, puisque cinq bisécantes déterminent un cône de seconde classe qui les touche. Cinq points hors de la cubique déterminent F4, puisque de ces cinq points partent cinq bisécantes. La développable osculatrice de c^ appartient au système de surfaces F4, car son équation est X\ — X^Xs^O. Deux surfaces F4 se coupent suivant c^ et suivant quatre bisécantes, car deux cônes de seconde classe et de même sommet ont quatre plans tangents communs. Donc, parmi les génératrices de F4, il y a, en général, quatre tangentes à (5.

Le complexe linéaire auquel appartiennent les génératrices de F4 définit un système focal; dans ce système, la surface F4 est sa propre homologue. Car, soit P un point de F4 ; son plan focal contient la génératrice de F4 passant par P et est donc un plan tangent à F4;et inversement. Dans ce système focal, la cubique C5, lieu des points doubles, répond à une développable de troisième classe, enveloppe des plans tangents doubles.

Les génératrices de F4 sont projetées, de deux points A et B de la cubique, suivant des plans homologues de deux gerbes eollinéaires et, puisque ces plans touchent deux cônes de seconde classe, ils forment des faisceaux eollinéaires de second ordre. Réciproquement, deux systèmes projectifs de plans tangents à deux cônes de seconde classe (A) et (B) appartiennent à deux gerbes eollinéaires et déterminent, par leur intersection* des bisécantes d'une cubique gauche ; comme ces bisécantes sont tangentes au cône (A), elles engendrent une surface F4.

Corrélativement, la surface F4 est engendrée par les rayons qui joignent les points homologues de deux ponctuelles projectives ayant pour supports deux coniques dans des plans différents. Ce mode de génération est habituellement pris pour point de départ et définition dans Texposé de la théorie des surfaces du quatrième ordre à cubique double.

Cinq bisécantes et un point déterminent une cubique gauche; cinq bisécantes définissent une congruence linéaire de ces courbes (voir Etude II) et déterminent, sur chacune d'elles, une surface F4 ; les génératrices de toutes ces surfaces F4 appar* tiennent toutes au complexe linéaire défini par les cinq bisécantes données. Par suite aussi une surface F4 est déterminée par cinq génératrices et un point double.