Dans le complexe linéaire

^^tj% = ou S«,yp,y = 0, le plan focal d'un point y a pour coordonnées

en supposant que Ton ait posé

Si y est un point de C5, de paramètre 6, on a

Les pariuEnètreg des iuterseeiione d€ ee plaii aveo h eubi<pie soDt le» r^^inei: de réquatian en o,

2£l'/i«*-' -= 0, on

Si Ton développe et si Ion divise par gd — 6, on a

C est une forme <f^ doublement quadratique et symétrique, exprimant la relation entre deux points et oo de la cubique situés sur une même génératrice de F4, On pouvait arriver à ce résultat en appliquant les raisonnements du paragraphe précédent au e6ne (^), tangent i F4, et au cône de màme sommei perspectif à la cubique*

Les points de ramification R sont les points où le cône (A) coupe la cubique ailleurs qu*en A; pour chacun de ces points &, le plan focal touche la cubique en un point D autre que R; ou encore, par chacun des points R passe une seule génératrice de F^ s'appuyaot encore sur c^ en un des points doubles D.

Les points G sont les contacts des génératrices de F^^ qui sont tangentes à C5. De chacun de ces points part une autre génératrice qui va recouper C5 en un des points Q.

On peut, de trois manières, joindre deux à deux les points C, les points D, les points R et les points Q et obtenir des groupes de huit bisécantes apparlenaiit chaque fois à un même système réglé.

D'après le n"" 4, si de chaque point P de la cubique on mène les deux génératrices PIM, PN de la surface F4, la bisécante MN engendre aussi une autre surface F4 ayant la même cubique c^ comme courbe double.

19. Ces deux dernières surfaces coïncident quand la forme <p représente une involution ou quand les génératrices de F4 appar* tiennent à un complexe linéaire spécial.

Dans un autre cas, les |;éaérfilrices de F4 forment une in6nité

aimpte de quadrilatères gaucbea ioscrits à c^ ; ceci se présente quand on a

«it •!« «U

Les cônes de sommet A tangent à F4 et perspectif i c^ sont coupés par un plan suivant deux coniques. Dans le cas particulier qui nous occupe, il existe des quadrilatères de PonceTet circonscrits i la première de ces coniques et inscrits dans Ta seconde.

Enfin, nous avons vu la condition (6 =» ^g) pour qu*une forme f se réduise au système des secondes polaires d'une ponctuelle par rapport à une forme biquadratique. En appliquant cette condition à la forme en 6 et oo du n*^ 18, on trouve

Mais la cubique gauche c^ définit un complexe linéaire auquel appartiennent ses tangentes et dont Téquation est

^P^Pij s Pu — 5pî8 «= 0.

En écrivant la condition Ea,y(3^^^ ^ye=.0 pour que ce complexe soit en involution avec celui qui contient les génératrices de F4, on retrouve la relation

On peut donc énoncer les propriétés suivantes, probablement nouvelles :

Lorsque le complexe linéaire auquel appartiennent les gêné» ratrices de F4 et celui qui est défini par la cubique C3 sont en involution^ le cône ayant son sommet en un point quelconque A de C3, et circonscrit à F4. est harmoniquement inscrit à celui qui projette c^ du même point; tes génératrices de F4 menées d'un point P de la courbe 03 la rencontrent encore en deux points qui forment le second système polaire de P relativement aux quatre contacts des tangentes de C3 qui appartiennent à F4.

Si en outre le complexe défini par F4 est spécial, on a ce cas particulier (connu, au moins en partie).

Les tangentes de la cubique gauche appartiennent à un com" pkxe linéaire; les quatre tangentes de ta cubique qui rencontrent un rayon de ce complexe forment un système équianharmonique; les bisécantei qui rencontrent un rayon de ce complexe touchent un cône de seconde classe ayant son sommet en un point quelconque de c^ et ce cône est harmoniquement inscrit à celui qui projette 05 du même point.

Quadrilatères de Steiner dans certaines courbes

et surfaces algébriques.

L'idée première du présent travail nous a été fournie par une question que nous a posée M. J. Nassau : il s*agit de savoir quand Téquation d'une certaine surface du sixième ordre peut être mise sous forme de déterminant. On trouvera, dans nos derniers paragraphes, la réponse à cette question, que M. Massau a lui-même résolue d'autre manière et qui intéresse Fintégration graphique.

Dans cette recherche, nous avons dû nous poser certains problèmes relatifs à des quadrilatères de Steiner dans la quartique plane à deux nœuds. Cette théorie se rattache à notre Étude IV ci-dessus; seulement la forme <p cesse d'être symétrique et les variables sont considérées comme des coordonnés dans un plan. Les résultats obtenus en suggèrent à leur tour, d'autres concernant des courbes planes à plus de deux nœuds^ des courbes gauches et dés surfaces du quatrième ordre.

Nous avons fait paraître un fragment de la présente Étude dans les Nouvelles Annales de Mathématiques (octobre et novembre 1905).

Quadrilatères de Steiner dans les cptartiqties planes

binodales.

1. Précisons et complétons le cas particulier du célèbre théorème de Steiner que nous nous proposons d'établir :

Une quartique plane binodale n'est pas, en général, circonscrite à unquadrangle ayant deux points diagonaux aux nceuds; mais, lorsqu'il existe un quadrangle pareil, il y en a une infinité. Dans

ce cas, le troisième point diagonal décrit une conique et les côtés du quadrangle qui ne passent pas par les nœuds enveloppent une courbe de quatrième classe.

Supposons les nœuds aux sommets x^x^ et x^x^ du triangle de référence. L*équation de la quartique est de la forme

0U9 en posant x^ = ^x^, x^ = y\xi,

+ {as?,* -f- 26,5 -f- c,) = 0.

Pour qu*il existe no quadrangte inscrit dont deux point? diagonaux soient aux nœuds, il faut que, pour deux valeurs, Çi et ^2, de Ç, OD ait les mêmes valeurs de t^; il faut donc que les relations ci-après soient compatibles en ii et Ç^*

«iS? •*- 26,?, -f- c, a,S^ -¥- 26,5, -«- c^ a»?; + !26,Ç, h- Cj a,ÇÎ -I- 5i6jÇ< -♦-. C| a^^l ■*- 52645^ -*- Ci a^Çj -4- 265?, -4- Cj

Considérons, dans un autre plan, trois coordonnées homogènes X^, X^. X5. liées à un paramètre ^ par les égalités

pX, « a,V -^ 26.Ç ^e, (t « 1 , 2, 3).

Elles définissent une courbe rationnelle du second ordre qui, diaprés les conditions précédentes, doit avoir un point double, donc dégénérer. D'après notre Etude IV, cette circonstance se réalise quand on a

A = {ahe) = 0.

Alors la conique a une infinité de points doubles et les couples de valeurs de i qui donnent un même point double forment une involuiion, représentée par une des trois égalités suivantes, équivalentes entre elles, où A^, B,-, ... représentent les mineurs du déterminant A (voir notre Etude IV) :

Far suitf, ri la qaartîqae bir>odaie possède un quadrangle mserit, on a A «> ; elle possède donc une infinité de quadrangies ini?erits dont les couples de côtés passant par le oœud XfOrs sont en involution, et cette invoiution est représentée par une des égalités ci-dessus ou par

De même les couples de côtés passant par x^x^ forment une invoiution représentée par une des équations suivantes, équivalentes entre elles :

2A,t;x;' - A,(x;j-i' -^ xir'/) + 2A»xixi' = 0, !2B,x;x;' — B,(xixi' + xixi') -H 2B,x;x;' « 0, 2C.xix'/ — C,(x;xi' ^ xjx;') -♦. 2C,xixi' «. 0.

2. Avant de poursuivre la démonstration du théorème du numéro précédent, faisons quelques remarques.

Le déterminant A étant nul, il existe une relation linéaire entre les polynômes

OiXl -fr. 2^x,X4 ^ r,j; (I =« i, 2, 3)

figurant dans Téqnation 9=»0. L'évanouissement de ces polynômes représente donc trois couples de la première invoiution trouvée ci- dessus. De même, on peut ordonner f par rapport è 0*2 et Ton trouve que

a^xl ■*- :2a,X8X4 -+- «axî = 0, 6,x; -I- 26,aP3X4 -•- 65J î =» 0,

C|Xj -♦- 2CjX8X4 -H CgXÎ =

représentent trois couples de la seconde invoiution.

Pour la simplicité, nous dirons que la courbe <p est qtmdriUée quand elle est circonscrite à des quadrangles ayant deux points diagonaux aux noeuds. La remarque précédente donne alors l'énoncé que voici :

Soient une quartique binodale 9, la première polaire d'un de ses nmuds et le coupk de tangentes en ce nœud; ces trois figures

sont coupées par une droite quelconque^ issue du second point double, en trois couples de points (autres que les nœuds). Si ces trois couples de points sont en involution^ il en est de même des trois couples de points analogues obtenus en intervertissant les rôles des points doubles. Dans ce cas, et dans ce cas seulement^ la courbe <p est quadrillée.

Voici encore un corollaire évident :

5t la courbe <p est quadrillée, toutes les droites issues d'un nœud la coupent en des couples de points qui sont projetés de l'autre nœud suivant des couples de rayons en involution. Réciproque^ ment, si trois couples de rayons pareils, issus d'un même nosud, sont en involution, tous le sont, aussi bien pour l'un que pour l'autre nœud, et la courbe est quadnilée.

Un élément double d^une de ces involutions correspond à des tangentes issues de Tautre nœud et donne un quadrangle réduit à un segment de droite. Aussi, pour qu'une courbe cp soit quadrillée, il faut et il suffit que les contacts de deux tangentes issues de l'un des nœuds soient alignés sur l'autre.

Soit, pour fixer les idées,

ajXÎ + 263X2X1 -♦- C5XÎ ^ A(a|jrî -f- t2/>|X2X| •♦- C|XÎ) -H Ae(ajXÎ -♦- 26|XaX| -♦- c,xî)

la relation identique qui lie trois couples de Tinvolution en x^x^. L*équation de la courbe peut s*écrire

f ^ (a^xî -I- 26|X,X| -♦- C|XÎ) (x\ -f- AxJ)

H- {aixl -*- 26,TjX4 -4- Cjx') (2x,X| -1- fix]) = 0, ou encore

a^rj -I- 264X4X4 -4- C|XÎ Otx' -*- 26tX,X4 h- Cjx}

— (2x5X1 -♦- fix]) xl -*- AxJ

Réciproquement, Tévanouissement d'un déterminaDt

fi(Xi, X,) /;(X4, X,)

?/ar4, Xj) f^dt, X5) dont les éléments sont des formes quadratiques représente une

quartique binodale quadrillée. Car les quatre points communs aux deux couples de droites

vérifient Téquation de la courbe et, quel que soit k^ ce sont les sommets d'un quadrangle ayant deux points diagonaux aux nœuds. Donc, pour qu'une quartique binodale soit quadrillée, il faut et il suffit que le premier membre de son équation puisse se mettre sous forme d'un déterminant de quatre fonctions quadratiqueSf où X3 manque dans une ligne et x^ dans l'antre. D'après les relations

fi

les deux involutions décrites par les couples de côtés opposés des quadrangles inscrits sont projectives.

3. Passons à la recherche du lieu du troisième point diagonal des quadrangles inscrits : nous venons de voir que les couples de côtés opposés d'un quadrangle sont

A-«-AA = o,

fi

Afj = 0.

Un des côtés du triangle diagonal est x^ «=a ; les autres sont respectivement les droites polaires du nœud Xi^x^ par rapport au couple de droites f^ -4- kf^ et du nœud x^x^ par rapport au couple de droites <pi -i- k^^\ les équations de ces polaires sont

du dx^

et leur intersection (troisième point diagonal) décrit la conique

df^

dfi dXi

dl\ dx^

dft rfxs

<ff»

dx^dx,

Le lieu du troisième point diagonal des quadrangles inscrits

dam la quartique quadrillée f est la conique polaire de l*un dê$ nœuds par rapport à la cubique polaire de Cautre.

Cette conique touche, en chaque nœud^ la polaire du second point double relative aux deux tangentes au premier. Son équation développée est

(itXsJTi -f- 6«x,X| -♦- a^x^Xi -¥■ 6,xî = 0.

Si Ton calcule son discriminant, on trouve

— at(aj6, — r/,6|) ou — afi^

La courbe dégénère si Ton a n^ «= ou C3 c» 0. Dans le premier cas, la quartique cp se décompose en une droite Xi et une cubique; écartons provisoirement cette hypothèse. La propriété de la conique J^ de se réduire à deux droites est indépendante du choix du triangle fondamental; mais Téquation f =sO ne conserve la même forme que si deux des sommets de ce triangle sont aux nœuds. La quantité C5 est donc invariante pour les transformations de coordonnées qui déplacent seulement le sommet x^x^. Nous supposerons d'abord C3 non nul; le cas de C5 =a sera esuiminé plus tard.

4. Avant d'étudier Tenveloppe des côtés des quadranglesqui ne passent pas par les nœuds (dans Thypothèse C3 ^ 0), il convient d'exammer la correspondance entre les sommets opposés des quadrangles.

Les équations des involutions en x^, Xi et x^j x^ peuvent s'écrire, par exemple, sous la forme suivante, donnée au n"* 1 :

2c,x;x;' — Ci(xM + xjj;') -+- î2C5x;xJ' = o.

De ces relations on peut tirer les coordonnées du sommet x^ proportionnelles' à des fonctions quadratiques des coordonnées du sommet opposé x'\ ou inversement. Donc, les sommets oppo^ ses des quadrangles se correspondent dans une transformation birationnelte quadratique.

Puisque Gj nVst pas nul, les équations précédentes définîh>nt une simple inversion si Ton déplace le sommet x^^ du triangfe de référence de manière à annuler B^ et C^, ce qui revient à prendre pour côtés x^ et X3 du triangle de référence les ra]\)ns conjugués de x^ dans les deux involutions.

Supposons que cette transformation ait été faite et que les deux involutions soient désormais représentées par

x^i' z=r cx[x[\ Xjxi' = ax[Xi. K

Leurs rayons doubles ont pour équations

x^^àz Xi l/c, X5 = ± X4 Va,

et Ton voit facilement que les couples de ces involutions se représentent par les équations suivantes, où X et fx sont des paramètres variables,

xl •♦- cx\ — XXjXi s= 0, xl •¥■ ax\ — fAXjXf = 0.

Ces deux involutions étant projectives, on a, par exemple,

X/x -+- 2nA •♦- "Inifi. -♦- 46 « 0.

L*élimination de ) et fx donne Téquation de la courbe rapportée au triangle fondamental de Tin version,

î> ^ (jFj -H ânxsXi •+. cx\) (xl -*• ^mx^x^ -♦- ex]) ■+■ 4(6 — mn)x5X,xî= 0,

le binôme b — mn est le mineur G3 du déterminant A et, par bypothèse, il n*est pas nul.

Dans une quartique binodale quadrillée, les sommels opposés d'un quadrangle inscrit sont des points homologues d'une inversion trilinéaire dont les points fondamentaux sont les points diagonaux du quadrangle déterminé par les intersections des rayons doubles des deux involutions.

Avec les nouvelles notations, la conique, lieu du troisième point diagonal des quadrangles, a pour équation

- - — '- — ^ XjXj H- mxjXi -•- wXjX| 4- 6xî = 0. 4 dxidXi

Cette conique est donc indépendante des quantités a et c que i*on peut appeler puissances des deux involutions.

5. Pour obtenir l*enveloppe des diagonales des quadrangles inscrits, prenons les deux involutions projectrves que fournit Inéquation de % sous la forme du n^' 4 :

rrj -4- 2(n — A)x8r4 -♦- ax\ = 0,

AxJ -+- 2(mA -4-6 — mn)XsX| -*- Kx\ = 0.

Une droite u donnée par Téquation

xz = —

Wî

coupe la première involution en des couples de points qui, projetés du nœud x^x^, donnent cette troisième involution

(tijXj -♦- MiX|)' — 2(n — A)M5X,(t«,x, -4- WjXi) -♦- aulx] -« 0.

Pour que la droite u soit diagonale d'un quadrangle inscrit, il faut que la seconde et la troisième involution aient un couple commun correspondant à une même valeur de \ donc que Ton ait

w* t/,Ui — (n — x)UiUi u\ — 2(n — >)u^Ui ■+■ atif A mA H- 6 — mn Xc

En égalant le premier rapport au troisième et au second, il vient, après réduction

j 2Ati|t/s = cul — aul — «î -♦- 2nt/|Ui,

f A*ii, — A(mt/, + nt/s — 1/|) — (6 — mn)tit«=0.

L'élimination simple de l donne une équation du quatrième degré en ti.

Pour que la droite u soit diagonale de deux quadrangles, il faut que les équations (I) soient vérifiées par deux valeurs de 1 ou que la première de ces équations soit indéterminée, donc que Ton ait

t/|t/5 en. 0, cu\ — avl — u] -»- 2nti|i/8 = 0.

Il faut écarter Thypothèse 113"» 0, puisque nous avons précédemment divisé par u^^ donc

tij ea 0, cu\ ~ atfi •=■

représentent deux droites qui sont à la fois diagonales de deux quadrangles inscrits et, par suite, tangentes doubles àJ*enveloppe. Pour une de ces droites, les seconde et troisième involutions considérées précédemment ont deux couples communs, par suite tous leurs couples communs et aussi mêmes éléments doubles. Ceci explique pourquoi chacune des tangentes singulières

tii » 0, t/j : 115 -= ± l/â : l/c,

' est diagonale du quadrilatère formé par les rayons doubles de la première et de la seconde involution.

L'enveloppe des diagonales des quadrangles inscrits dans une quartique quadrillée <p est une courbe de quatrième classe <I> ayant pour tangentes doubles les diagonales du quadrilatère formé par les rayons doubles des involutions des côtés opposés des qua^ drangles inscrits à <f.

Toutefois, bien que, pour l'une des Uingentes singulières, la seconde et la troisième involution aient tous leurs couples communs, elles n'ont que deux couples communs correspondant i la même valeur de ^; ces valeurs de A s'obtiennent en faisant

ti^ =s 0, M, : t/5 =■ d= [/a : \/c

dans la seconde des relations (I) :

A* l/c — A(=h mX/a-^n Vc) q: (6 — iwn) l/a = 0.

Les deux valeurs de A coïncident, pour Tune ou Tautre des tangentes singulières, si Ton a

(db m l/a -4- n V/c)* ± 4(6 — mn)V ac

= am* ^ cw' ± 2 V/âc(26 — mn) = 0.

Pour que les valeurs de 1 coïncident pour les deux tangentes

singulières, c'est-à-dire pour qu'elles soient toutes deux inflexionnelles, il faut que Ton ait

avfC' -4- en* = 0, 26 — mn = 0.

Une courbe <I> de quatrième classe à deux tangentes doubles est en général du huitième ordre. Cet ordre s'abaisse d'une ou de deux unités quand une ou deux tangentes doubles deviennent inflexionnelles; comme on vient de le voir, cette circonstance peut se réaliser sans que Ton renonce à Thypoihése 6 ^ mn.

L'enveloppe <I> des diagonales des quadrangles inscrits dans la quartique quadrillée o est une courbe du huitième ordre qui peut s'abaisser au septième ou au sixième ordre.

Les équations (I) donnent, en multipliant la première par l, la seconde par ^u^ et soustrayant,

X{cvl — aul -¥• u\ — ^muiUi) = 2(ft — ?iin)t/|ti,.

Si l'on multiplie ensuite, membre à membre, cette relation et la première des égalités (I), on trouve l'équation tangentielle de la courbe $ :

4» ^ {cul — aul ■*- u\ — âwMiUj) {cul — «M* — w] -+- 2ww,î/j)

— 4(6 — mn)u\UiUz = 0.

Sous cette forme, on peut voir que la courbe <I> ne possède que fes deux tangentes singulières trouvées plus haut; en effet, un seul terme de son équation contient le coefficient 6, lequel n'a pas, en général, de relation identique avec les autres coefficients. Si donc la courbe <I> possède des singularités tangentielles, elle les conserve quel que soit 6, c'est-à-dire que les tangentes singulières appartiennent à toutes les courbes d'un certain faisceau tangentiel dont un élément est ulu^u^^^O; ce système a pour singularités ou bien ui = et u^, u^ quelconques, ou bien t/2 = t/5 = 0; ces dernières valeurs ne vérifient pas <ï> = 0, donc on doit supposer Ui==0 et l'on en déduit aul — cul «=» 0.

Transformons l'équation de <I> en prenant les tangentes

doubles pour côtés du triangle de référence; faisons donc la substitution

[/c Us -*- l/a M5 = Ut \/c w, — l^ Uz = U3

II vient alors