Reprenons l'équation
-*- x\{(^iA •*- SftjXjXf -*- CsXÎ) = 0.
Nous supposerons encore ai^O; mais, par contre, le mineur C5 de. A i^ {abc) ou a^b^ — o^&i est à présent nul.
Nous pouvons toujours, et d'une seule manière, déplacer le sommet Xç^X'^ du triangle de référence, de telle sorte que les coefficients a,^ et 6^ s'annulent, car la transformation des coordonnées remplace ces coefficients a^ et 6| par des fonctions linéaires des paramètres de la transformation. Ayant donc
ajb^ — ajfti ^= a» = 6| e» et flj ^ 0,
on doit avoir aussi b^=»Q et le déterminant A se réduit à — hH'^^* P^^ ^"'^^' P^"^ 4"^ '^ courbe <p soit quadrillée, il
faut que c^ ou 65 soit nul. L*équation se réduit alors à Tune
des formes
xlxi^u Xt) + xî^(X|, X,) =- 0,
arî%i(x«, Xj) -♦- xî^4(X|, X,) — 0.
Dans le premier de ces cas, chacune des droites xi^u ^2) "=" coupe la courbe en quatre points confondus au sommet x^x^, el ce sommet est alors un point double d'inflexion; dans le secpbd cas, c*est le sommet x^xs qui présente cette singularité. Il suffit évidemment de considérer un de ces cas, le premier par exemple.
Les invoiutions des côtés opposés des quadrangles inscrits s'écrivent, au moyen des mineurs de A,
265C,x,y4 — (aiC, — a^c^) (x^y, -»- x,y,) — 2aAx,y, = 0, Oxiy, -4- ôjCilx^ys ■+- Xjy,) + Oxjy» = 0,
d'où la correspondance suivante entre sommets opposés x et y d*un quadrangle inscrit \
yt ^ ^biCjXj — (a^c^ — flgcQx, y^ ^, yi («iCs — a»Ci)Xi -*- SajôjX, y, x,*
ces relations définissent une semi-^inversion trilinéaire.
Le lieu du troisième point diagonal des quadrangles inscrits se réduit à x^x^ »» 0, mais la droite x^=»0 répond à un seul quadrangle limite défini par xf =» et a|X* + C|XÎ =b 0. Le véritable lieu géométrique est donc œ^ »a 0, et ce fait est exprimé aussi par la seconde des équations de la semi-inversion.
Les invoiutions des côtés opposés peuvent encore s'écrire
xj — xxî= 0, xî(aj -h Aa,) -♦- 26,XsXi -1- xî(c8 -♦- AC|) «=«0;
une droite ,
coupe la première involution en des couples de points projetés de x^x^ suivant cette troisième involution :
ulxl -+- 2titU,XtX| -*- x\{u\ — Atl|) — 0.
La seconde et la troisième involution ont un couple correspondant commun si Ton a
En éliminant 1 et faisant disparaître le facteur parasite u^ jrépôndantau nœud x^x^, on trouve une équation cubique en u. , Lorsque^ dans une quartique binodale quadrillée^ l*un des nœuds est un point double d'inflexion, le troisième point diagonal des quadratigles inscrits décrit une droite, les sommets opposés de ces quadrangles se correspondent dans une semi-inversion irilinéaire et leurs diagonales enveloppent une courbe de troisième classe.
Remarquons que, si l'une des branches de la courbe passant par un point double y présente une inflexion et si la courbe est quadrillée^ la seconde branche possède aussi une inflexion en ce point, car les quatre tangentes issues du nœud considéré ont leurs contacts alignés deux k deux sur l'autre nœud; si donc un de ces contacts s'approche indéfiniment du premier nœud, il en est de même d*un autre de ces contacts.
Figures da quatrième degré à trois et quatre nœuds.
8. Tout le paragraphe précédent serait inexact si la condition A 1=» équivalait k Texistence d'un troisième point double, car alors la propriété d'être quadrillée n'appartiendrait jamais à une quartique binodale. Mais il n'en est rien : admettons, en efiet, que la courbe <f ait un troisième nœud au sommet X2X3, ce qui revient à supposer C3 »» c^ >» 6^ «= 0. Le déterminant A se réduit à — a^b^c^ et n'est pas identiquement nul.
Réservons toujours les cas où l'on a soit a^ = 0, soit c^ sa et où la courbe f dégénère en une cubique et une droite x^ ou x^. Nous devons supposer 6^ = et les tangentes
Cixl ■+■ OxgXt -+- ajxî =
au troisième nœud x^x^ sont alors séparées harmoniquement
par les deux premiers points doubles. Ainsi, pour qu'une quartique trinodale possède des quadrangles inscrits ayant deux points diagonaux en deux des nœuds^ il faut et il suffit que ceux-ci séparent harmoniquement les tangentes au troisième nœud.
Gomme on le vérifie sans peine, la correspondance des sommets opposés des quadrangles est donnée par les relations
; — at6|CtXs(2a2ârs -♦- CI5X,) : — a,asb|Xs(26|X« -♦- CiXj).
C*est une inversion dont les points fondamentaux sont les deux nœuds considérés et le point commun aux droites
âa^Xs -»- «8^1 = 0, 26|Xj -h C1X4 s= 0.
Le troisième point diagonal des quadrangles décrit la conique
aiXgart -*- 64X5X1 -♦- a^XiXs = 0;
ette ne dégénère que si Fun de ses coefficients s^annule, hypothèse que nous pouvons exclure provisoirement. L*équation de la courbe peut s*écrire
x* — SfljXsXj — «5X4
elle montre les involutions projectives
kx\ — ^3X5X1 — ajxj = 0, Xj(ai -4- A) -+- 264X1X1 -♦- C|XÎ «s 0,
dont la première, combinée avec Téquation d*une droite % donne cette troisième involution :
x\Xv\ -*- 2xsX|(At/st/4 -4- aîWîtis) -¥■ x\{ku\ -f- ^a^u^Ui — «stij) == 0.
La seconde et la troisième involution ont un couple correspondant commun si Ton a
Xu\ Au^tii •«- a^u^Uz AU] -4- ^a^UiU^ — a^u\
ai -f- A 6, Cj
Si Ton exprime que ces relations sont satisfaites par une
valeur de ^, on trouve, après simplification, une équation cubique en u. Les conditions pour que ces relations soient vérifiées par. deux valeurs de X donnent la tangente double de cette courbe de troisième classe ;
Cette tangente double joint deux points représentés respectivement par ces deux dernières équations; ils sont situés sur les côtés X5 et x^ du triangle de référence et sur les droites respectives
C|X| -*- biXf cBsi 0, fljXi -♦- OjXs =s 0,
c'est-à-dire sur les polaires de chacun des nœuds Xix^ et x^x^^ relatives aux tangentes à l'autre.
Dans une quartique trinodale quadrillée^ le troisième point diagonal des quadrangks inscrits décrit une conique et les diagO' nales de ces quadrangtes enveloppent une courbe de troisième classe possédant une tangente double.
Dans le cas, exclu plus haut, où Ton a soit ftj^saO, soit a^^smO^ les résultats, faciles à établir, se résument comme suit :
Un des nœuds est un point double d'inflexion; la courbe a deux séries de quadrangles inscrits ayant des points diagonaux en deux couples de nœuds; pour chaque série de quadrangles^ les sommets opposés se correspondent dans une semi-inversion tri" linéairey le troisième point diagonal décrit une droite et les diagonales enveloppent une conique.
Si Ton a simultanément 6^ s» et a^ «=> 0, t7 y a une série de quadrangles inscrits ayant leurs trois points diagonaux aux trois nœuds de la courbe; les sommets opposés de ces quadrangles se correspondent dans une collinéation ; les trois nœuds sont des points doubles d'inflexion. Et, chaque fois quune quartique a trois points doubles d'inflexion, elle est ainsi triplement quadrillée.
9. Nous avons toujours exclu le cas où la courbe <p dégénère en une droite et une cubique. Examinons à présent cette hypothèse et choisissons la droite en question pour côté x^ du triangle
de référence. Les raisonnements précédents font découvrir, pour la cubique
îrî(26|X, -4- C|Xi) -I- 3x5(a,x|| -4- 26,XaX| -*- c^J)
-♦- a?i (osarj -H âôjXjXi -I- CbxJ) — 0,
un certain nombre de propriétés, la plupart connues. Pour cette raison, et aussi parce que les développements précédents indiquent assez quels calculs il faut faire, nous pouvons nous contenter d'énoncer les résultats.
La cubique possède des quadrangles inscrits ayant deux points diagonaux en deux points M et Ji de la courbe, choisis comme sommets x^x^ et x^Xs, si l'on a
6j C| A ^ Of bf Cf es 0.
«5 ^5 Cs
En écartant d*abord le cas où 6^ =» ou a^ = 0, on voit qu*on peut faire évanouir c^ et a^, car il suJQBt de prendre pour côtés du triangle de référence les tangentes en M et N. Alors, pour que A soit nul, il faut que c^ le soit, donc que la courbe passe par le point P de rencontre des tangentes en M et N; ainsi les deux points M et N ont même tangentiel e/, par raison de symétrie, il en est de même de deux sommets quelconques d'un quadrangle Steinérien. Le troisième point diagonal des quadrangles parcourt une droite; leurs diagonales enveloppent une courbe de troisième classe; leurs sommets opposés se correspondent dans une inversion ayant M, N, P pour points fondamentaux.
L*hypothèse 6^ :=» ou a^ "== correspond au cas où Tun des points M, N est un point d'inflexion,; elle entraine quelques modifications faciles a énoncer.
Lorsque la quartique f dégénère en une droite X5 :=» et une cubique ayant un point double x^x^, les coefficients 05, 63, C5 s'évanouissent et le déterminant A est identiquement nul. Donc une cubique ayant un point double en M et une droite rencontrant la cubique en N ont une infinité de quadrangles inscrits
ayant deux points diagonaux en M et N; ceci est évident géoroétriquement : la droite donnée est un côté de tous ces quadrangles. Ainsi, une cubique nodale et une droite ne passant pas par le noeud forment toujours un système quadrillé.
10. Si, au lieu d*une quartique f, on a un système de deux coniques circonscrites au triangle de référence,
(«XjXb -*- jBjTsXi -4- r^iXi) (a'x,X8 -*- p'XsXi -♦- r'^i^t) ~ 0,
les raisonnements du n" 8 s'appliquent : pour qu'il y ait des quadrangles inscrits à deux points diagonaux aux nœuds XiX^ et x^X5, il faut que le terme en xlx^x^ manque dans l'équation ci-dessus ou que Ton ait
py' ^ pV t= ou p : r = — p' : r'
et les tangentes aux deux coniques en leur troisième point commun C(x^ = x^^=^0) doivent séparer harmoniquement les deux premiers points A et B. Évidemment, la même propriété doit exister pour les tangentes au quatrième point D.
D'après cela, les coniques données F, et Fa, appartenant au faisceau de coniques de base ABGD, y séparent harmoniquement les deux couples de droites AG, BD et AD, BG. Par suite, les tangentes à F, et F^ en A (ou B) séparent harmoniquement G et D; donc il y a un second système de quadrangles inscrits ayant deux points diagonaux en G et D.
Le pôle de AB par rapport à la conique F^ a pour coordonnées
— a, Py r.
Sa polaire relative à F, est
pu, à cause de (3/ h- (S'y «=» 0,
Xj(aV — ar') -»- Xs{a'^ — ap') = 0.
Gette droite n'est autre que GD, car son équation s^obtient
aussi en éliminant le terme en x^^ des équations des deux coniques.
Il y a donc un point M ( — a, (3, y) qui est à la fois pAle de AB pour r^ et pôle de CD pour H, et pareillement un point analogue N( — a', P', y') pôle de AB pour F, et de CD pour T^.
Le troisième point diagonal des quadrangles inscrits à points diagonaux en A et B décrit la conique
Elle passe par A, B, C, donc aussi par D; elle passe par M et N, comme on le vérifie sans peine, et, dans le faisceau des coniques ayant pour base ABCD, elle est séparée harmoniquement du couple de droites AB, CD par les coniques proposées F, et F,. Elle est aussi le lieu du troisième point diagonal des quadrangles inscrits ayant deux points diagonaux en C et D.
Deux sommets opposés d*un quadrangle inscrit, de la première série par exemple, sont toujours sur une même conique F. ou F^. Ceux qui sont sur F^ sont projetés de A, suivant une involution dont AC et AD sont les rayons doubles; donc ces couples de sommets sont en involution sur la conique et sont alignés sur le pôle N de CD. Ainsi Tenveioppe des diagonales des quadrangles se réduit aux deux points M et N.
Les deux coniques se correspondent à elles-mêmes dans une inversion dont les points fondamentaux sont A, B et un troisième point E défini par les relations
pp'Xi -f- (ap' -H pa')xj = 0, rr'J^i -+■ («r' -*- «V)ac3 -= 0.
On vérifie très facilement que ce point est sur les deux droites CD et MN.
Pareillement, les deux coniques se conservent dans une inversion ayant pour points fondamentaux C, D et Tintersection F de AB et MN.
De ces deux transformations, la première fait correspondre^ sur F29 deux sommets opposés d'un quadrangle de la première série, donc deux points x ei y alignés sur N. Soit alors 6 rintersection de AB et CD et soient y ei z deux points de F^
alignés sur 6; sur la conique F^, les points x ei z sont des éléments correspondants d'une involution, puisque N et G sont conjugués par rapport à la conique; le pôle de cette involution est le pôle de NG ou E; dans le plan, ces points x et z se correspondent dans une transformation birationnelle quadratique; celle-ci est le produit de Tinversion ayant Ë, A, B pour points fondamentaux et de Thomologie ayant pour pôle G et pour axe MN ou £F. Dans cette transformation composée, les points fondamentaux de Tun des systèmes sont E, A, B et leurs homologues dans l'autre sont E, B, A; c'est donc une transfor' mation de EirsL
Il est facile d'écrire l'invariant simultané de deux coniques» qui doit s'annuler quand ces courbes forment un système quadrillé. En effet, le faisceau
al H- A;a;* = a pour discriminant
{abcf -*- U{abay + 3ft*(aû'6')* -*- A:'{a'6V)».
Les valeurs de A, qui annulent cette fonction, déterminent les coniques dégénérées du faisceau et, pour que le système soit quadrillé, il faut i|ue deux valeurs de k soient égales et de signe contraire, ce qui exige l'évanouissement de
(a6c)*(o'6'c')' — 9(a6o')*(aa'6')*.
Lorsque cette condition est vérifiée, la troisième valeur de k est égale à
3(a6o')* (abcy
et le couple de droites AB et CD est représenté par Tune des deux équations équivalentes
al(abcy = Zai*{aba'f ou Zaî{aaVf = ai\a'b'&f.
La conique ABCDMN est alors
r al{abcf = - Za',\abaJ ou 3aî(ao'6')' = — al\aVc')\
Faisons une remarque en passant. Diaprés ce qui précède et moyennant le principe de translation de Clebsch, les plans ti qui coupent deux quadriques a^ «^a et a^ b» suivant deux coniques formant un système quadrillé enveloppent une surface de quatrième classe, dont voici Féq nation :
{abcuY{aVc'u)* — 9{aba'u)\aaVuf = 0.
11. Appliquons les résultats du numéro précédent à deux cercles se coupant en A et B. Pour qu^ils forment un système quadrillé, il faut que leurs tangentes en A (ou B) soient séparées harmoniquement par les points cycliques ou soient rectangulaires.
Ainsi, detAX cercles Ci et C^ se coupant à angle droit ont des quadrangles inscrits ayant deux points diagonaux aux points cycliques.
Pour former un tel quadrangle, il faut prendre un point P de Ci9 le joindre aux points cycliques; on obtient deux droites imaginaires (isotropes) coupant le cercle C^ en deux points imaginaires I et V situés sur Taxe radical du cercle C^ et du cercle nul P. Les points V et I, joints à leur tour aux points cycliques, donnent deux autres droites imaginaires se coupant en un point réel Q de C^. Les cercles nuls P et Q ont, avec G^, même axe radical et sont alignés sur le centre de ce cercle. L'étude actuelle conduit donc à cette propriété connue : Tout cercle G^ passant par les points limites P e/ Q d'un faisceau de cercles coupe ortho* gonalement tous les cercles de ce faisceau.
En interprétant la .transformation de Hirst trouvée ci-dessus, on a ce théorème de géométrie élémentaire :
Soient deux cercles se coupant à angle droit, P e( Q deux points de l'une des circonférences alignés sur le centre de l'autre, P' le symétrique de P par rapport à la ligne des centres^ P' et Q se correspondent dans une transformation par vecteurs réciproques ayant pour pôle le milieu de la corde commune.
Les deux cercles G^ et C^ ont aussi des quadrangles inscrits à deux points diagonaux en A et B, ce qui conduit à cette autre propriété :
Dans deux cercles se coupant à angle droit, on peut inscrire
une infinité de quadrangks ayant deux point» diagonaux aux points communs A e^ B des cercles; les sommets opposés de chaque quadrangle sont aux extrémités d'un diamètre d'un cercle, le troisième point diagonal des quadrangles décrit la circonférence passant par k et B et par les centres des cercles donnés.
intersection de courbes quadrillées.
12. Soit une quartique binodale quadrillée 9 représentée par réq nation
Adjoignons à ce déterminant une ligne de constantes a^ et a^; nous obtenons la matrice
fi
qui s'annule pour un groupe Q de quatre points; ces points sont les intersections de deux couples correspondants de rayons oLif^ — ai^fi =s et a|Ç2 — °^29i = des deux involutions projectives ; ce sont donc les sommets d'un quadrangle inscrit à <p.
Siy au contraire, nous ajoutons au déterminant une colonne de constantes P^, P^» '^ matrice
/; A Pi
fl ?1 p%
s'annule pour quatre points R. En faisant varier Pi, ^s, on a une infinité simple de groupes R.
Un groupe Q et un groupe R sont toujours sur une même conique représentée par Téquation
a, (Xf
A A Pi fi fi Pt
Toute conique passant par un groupe Q ou un groupe R est représentable par cette dernière équation, car si (3^ et P^ sont donnés, la conique doit appartenir à un faisceau et dépendre de deux paramètres homogènes. Par suite, chaque groupe R est déterminé par un de ses points.
Les quadrangles inscriis dans la quartique binodale quadrillée forment une série linéaire simplement infinie de groupes de points corésiduels.
Nous devons cet énoncé à une communication verbale de M. G. Servais qui en soupçonnait Texactitude et qui en devinait l'application à de nombreuses questions particulières relatives à la courbe «p, notamment à la construction de la tangente.
Si dans la matrice représentant le groupe R, |3| et P^ sont, non plus des constantes, mais des formes linéaires respectivement en Xiy x^ et x^, 0:3, la matrice représente oo^ quaternes de points S découpés sur la courbe «p par des cubiques passant par les nœuds.
Les groupes R sont un cas particulier des groupes S et correspondent au cas où ces cubiques dégénèrent en une conique et une droite passant par les nœuds.
13. Considérons deux quartiques planes binodales quadrillées situées dans le même plan et dont les nœuds^ coïncident. Cherchons les conditions nécessaires pour que ces deux courbes aient un quadrangle inscrit commun.
Nous pouvons supposer les points doubles à Tinfini sur deux axes cartésiens x et y; au lieu de quadrangle inscrit, nous dirons parallélogramme inscrit, en sous-entendant que les côtés de ce parallélogramme sont parallèles aux axes. Des seize intersections des deux courbes, huit sont concentrées aux nœuds et huit sont en général à distance finie.
Les équations des deux quartiques peuvent s'écrire
y ^y*(a|X*-f-26ia;-t-c,)-t- 2t/(a,x*-Hî26,x-*-c,) -+- (aiX^-^^b^x-^-c^) = 0, y'= t/*(o;x*-4-26;x-f-ci)-*-2y(a;x*-H26;x + c;) -♦- (aix*-f-26ix-+-ci) = 0.
Pour qu'elles aient en commun les sommets d'un parallélo-
grawine, il faut d'abord quç deux valeurs, géoéraleo^nt distinetes, de x donnent les mêmes valeurs à y, c'est-è-dire que les relations
atX*
%biX
aix*
oU*
soient compatibles pour deux valeurs de x. Généralement, elles ne sont pas compatibles du tout; en effet, multiplions les termes du premier rapport par A^, ceux du second par A^» du troisième par A3 (A,-, Bf., C^* étant les mineurs du déterminant À«3| a&c|); 4;bacun dies rapports ci-dessus devient égal à
(o;A4H-aiAj-4-ajA5)x*-4-2(6iA|-4-6iAj-4-6jA3)x-f-(ciA,-t-ciAj-*.cjA3)
Le numérateur est identiquement nul, puisque la première courbe est quadrillée; donc le dénominateur doit Tètre. Si Ton avait multiplié les termes des trois rapports par A|, Ai, As et additionné, on aurait eu de même
(a|AJ-*-o,AJ-+-05Ai)x*-4-2(64AÎ-4-tîAi-»-63A5)x-i-(ciAJ-*-CïAi-4-C5Ai)
et, comme A' «» 0, le numérateur s'annule aussi. Ainsi, deux équations du second degré en x doivent être compatibles, et même pour deux valeurs de x, c'est-à-dire que ces équations doivent être équivalentes et que Ton doit avoir
ojA| -♦- oiAj -4- ajAj 6;A| -h ôJA, -♦- ôjAj ciA, -♦- cJA, -1- ciA, a,A| -H OjAi ■+- OjAi 6iA; -+- 6,Ai -♦- 63A3 C|AJ -*- CjAi -*- CjAi
Gela suffit-il? Quand ces conditions sont satisfaites, il y a deux valeurs de x, donc deux parallèles à Taxe des y qui coupent les deux courbes aux mêmes points. Mais, pour que ces points soient les sommets d'un parallélogramme inscrit, il faut encore que ces deux valeurs de x forment un couple de Tinvolution déterminée par les côtés opposés des parallélogrammes
insç;:i^ ^Q8 une ^es co|ur.be8, la première par .çxeii^ple. jQette inyol^tiop est représentée» comme nous le ^yons, pf^r légalité
Les racines de la deuxième équation du second degré, dont nous avons pfirlé.en çlernier lieu, sont te^es gue^fon ^
i : — (x, -f- X,) •+■ x,x, == (a, AJ -+- OsA, ^ «jAi) : 2(6|AÎ -♦- 6jAi -¥- 65AJ)
: (c.Aj -H r,A; ■+- CjAi),
et ces deux valeurs de x appartiennent à Tinvolution, car ridentité suivante
est exacte, puisque les expressions qui niultiplient Ai, A,, Ai sont nulles à cause de Thypothèse A «= 0.
Par suite, les conditions (I) sont suffisantes, pourvu que Ton y joigne naturellement A *» À' »=» 0.
14. Nous ouvrons ici une parenthèse. Les raisonnements du numéro précédent peuvent être conduits en intervertissant les rôles des variables x et y. Ils donnent alors ce théorème d*algèbre :
Si dkux déterminanti à neuf éléments (sib^c^) et (a^bsCs) sont nuls et si l'on a
ajA| -4- a^A, -♦- aJAs 6;Ai -♦- b^Xf -4- djA, c^Ai -♦- cJAj •♦- cJAs
M i ■ r^;= ■ ssa ■ ■ >
^ ' aiAj -H OjAi -^ OjAi b^^[ -*- 6îA; -♦- ôjAi c^AJ -+- CjAi -♦- CjAi
on a aus«t
ajA, H- 6;B| -♦- ciC, o;a, -h 6;Bi -♦- c;C, oJA, -f- 6iB, ^ ciC»
04A; -4- 6|B; + c^c; o,a; + 6,b; -4. ^c; osA; ■+- ô^b; + cjc;
Il convient de démontrer directement cette propriété. D'abord, les hypothèses, savoir les relations (1) et les égalités (fiib^^) «=> (a[b'iCi) s» 0, ne sont pas indépendantes : trois
d'entré elles entraînent évidemnnent la quatrième et, comme les mineurs relatifs à deux lignes d*un déterminant nul sont proportionnels, les égalités (1) sont vraies aussi quand on y remplace les A par des B ou des G. Pareillement, les égalités à démontrer (2) sont équivalentes à celles que Ton obtient en y substituant Ag, Bg, Cg ou A5, B3, C3 à Ai, B^, C^, etc.
Multiplions les rapports (i) respectivement par A^, B^, C^ et additionnons : le dénominateur s*annule identiquement et Ton a donc
(3) A,(a;A, -4- 6;Bj -♦- cjC,) -•- Aî(a;A4 -h 6;B, -+- c'fi,)
^ A5KA, ■+-6JB4-t-ciC,) = 0;
mais, à cause de Thypothèse {a^b'd) «a 0, on a visiblement
(4) A;(oiA, + 6;b, -*- c[c,) ^ A;(a;A, + 6;b, + cic.)
