Ai(a;A, -4- 6iB, -I- c;CO

Intervertissons les rôles entre les lettres accentuées et les autres; nous obtenons de même

(6) a;(o,a; h- 6,b; -h c.cî) -h A;(a,A; h- 6,b; -*- cjc;)

-^Aj(a5A;-H6,B;-4-C5C;)==0,

(6) Ai{a,k\ -*- 6,b; + c,C;) -I- A,(a,Ai -+- 6,b; + c^CÎ)

-♦- k^[a^^\ -f- 65B; -f- CjCi) = 0.

Les égalités (3), (4), (5), (6) montrent que les deux équations homogènes en X, Y, Z,

X(a5A, + 6;B4-+-c;C0-*-Y(a;Ai-f-6;B,-i-c;C,)+Z(a;A4-t-6JBi-f-ciC4)=O,

x(aiAi + ô^b; +C4c;)-t- yioîa; -i-6,b; -*-c,c;) + z(asA; -t- 6,Bi -♦- c5c;)=o,

admettent deux systèmes de racines non nulles et généralement non proportionnelles, savoir A^, A^, A5 et Aj, A^, Ag; donc ces équations sont identiques et leurs coefScients sont proportionnels, ce qu'il fallait établir.

Remarquons en passant que, si les quantités a^, 6^-, c,-, a^-, fr^-, c^sont des formes linéaires quaternaires, («16263)= et (a|6jci)=0 sont les équations de deux surfaces cubiques lès plus générales.

Les relations (I) représentent une courbe du vingt-septième ordre, eoupant en cinquante-quatre points Tintersection des deux surfaces cubiques et présentant une certaine relation avec des cubiques gauches situées sur les deux surfaces et formant sur chacune déciles un réseau. Le théorème actuel montre quVIle a la même relation avec les cubiques gauches des réseaux coo|iigués. Mais nous ne pouvons insister sur ces faits sans sortir de notre sujet.

15. Revenons à nos deux quartiques binodales quadrillée^ ayant les mêmes points doubles et supposons qu*elles possèdent un parallélogramme inscrit commun; soient

les équations des couples de côtés opposés de ce parallélogramme. Les équations de ces deux courbes peuvent s*écrire respectivement

al i hl (

La matrice

al a':

s'annule pour quatre points U communs à ces deux courbes e| autres que les sommets du parallélogramme commun. Et ce& nouveaux points sont communs à toutes les courbes du réseaiTt ponctuel dont T équation s'écrit

al a'J a'J*

àî

= I X aî 6»

Deux des courbes de ce réseau, par exemple

I A al 6; 1 = et 1 p al 6J 1 = 0,

se coupent encore aux quatre points annulant la matrice

oîf, ces Jérriîèrs points soat tes intersections dès couplés de dfrc^ites

I X yi dî I «0' et f A ^ 6; I =^'0'

et s6nt donc les sommets d*an paraltélogramme insérit.

iSi deuùb eourbeà quadrillées ayant un quadrangle commun se co^pèM encore en quatre points U, il existe une doublé infinité de quartiques binodales ayant les mêmes nceuds que les propùSéès, passant toutes par les points U et telles que deux quelconques d'entre elles ont encore un quadrangle inscrit commun»

Â-t-on ainsi tontes les quartiques binodales qui, passant par les quatre points L\ coupent encore Tune ou lautre des deux proposées aux sommets d*un parallélogramme?

OuiyCar un parallélogramme quelconque inscrit dans la courbe

est défini par les relations

aî + A:a:* = 0, 6?

kb'y*

or, la courbe

^esé Visiblement ptar \ek àommeis de ce pàrdllélograâiinfalè et {làr les j^ôints U; ces Ktiit points formant, avec les noetrd^, ririteréeciion totale de y^ et 74, totite quârticfue biriodéle pasàilMt par ces huit points a une équation dé la forme

y« ■*■ ri ^

Ainsi, lorsque trois quartiques ont deux nœuds coïncidants et encore quatre pointa corlimuni, si l'une de ces courbes coupe encore chacune des deux autres aux sommets d*un parallélogramme^ il en est de même des detix dernières courbes et de deux courbes quelconques du réseau déterminé par les trois proposées.

Quatre points arbitraires du plaui dont trois ne sont pas sur une même parallèle à Tun des axes, peuvent être pris pour un groupe U de points appartenant à un réseau de quartiques se coupant deux à deux suivant un parallélogramme. En effet, par suite du principe de Taddition des colonnes, on peut transformer fa matrice

de telle feçon que la première ligne soit formée de trois forme» quadratiques binaires arbitrairement choisies ,* les éléments de la seconde ligfie contiennent alors neuf coeiScients homogènes inconnus; le fait que la matrice s'annule pour quatre points donnés fournit huit relations linéaires et homogènes par rapport à ces neuf coeffîeienis et permet de les déterminer*

Les résultats que nous venons de trouver seront utilisés dans le dernier paragraphe du présent travail.

Remarquons encore qu'il est bien facile d^écrire les équations de deux quartiques binodales à points doubles confondus et se coupant encore suivant deux quadrangles inscrits; ce sont :

al «;* ^ al xa;«

Biquadratic[U6 gauche de première espèce.

16. Cherchons les propriétés de la biqtiadratique gauche de première espèce correspondant à celles qcti ont été exposées ci-dessus pour la quarlique plane. Parmi les résultats que nous allons trouver, les plus importants sont connus, mais ont été découverts par d'autres méthodes.

Soit C4 une biquadratique gauche, intersection de deux quadriques, dans le cas le plus général. Cette courbe est projetée, d'un point ettérteur A, suivant un cône du quatrième ordre à deux génératrices doubles; la trace de ce cône sur un plan quelconque est Une quartique binodale qui, moyennant une seule condition, est quadrillée; dans ee cas, le cône perspectif

à C4 sera dit aussi quadrillé. Donc, il existe une double infinité de cônes quadrillés perspectifs à la biquadratique.

Considérons un de ces cônes et soit A son sommet. Il existe sur C4 une infinité simple de quadrangles tels que deux côtés opposés rencontrent une bisécante AO issue de A, tandis que les autres côtés rencontrent la seconde bisécante AO' issue de A; mais AO et AO' sont deux génératrices de la quadrique F passant par A et par Cj; donc les couples de côtés opposés de ces quadrangles sont aussi des génératrices, de Tun et de Tautre système, de F. Alors, la propriété qui appartient à A comme centre de projection de c^ est commune à tous les points de la quadrique F. Le lieu des sommets des cônes quadrillés perspectifs à une biquadratique gauche de première espèce se compose d'un nombre fini de quadriques passant par la courbe. Nous dirons aussi que chacune de ces quadriques est quadrillée.

Les développements exposés pour la quartique plane binodale donnent immédiatement les propriétés suivantes :

Les droites issues d'un point quelconque d'une quadrique quadrillée F et s'appuyant sur les couples de diagonales des quadrangles inscrits correspondants engendrent un cône de second ordre.

Les diagonales de ces quadrangles sont projetées d'un point quelconque de F suivant les plans tangents à un cône de quatrième classe à deux plans tangents doubles.

Donc^ussi, les diagonales de ces quadrangles engendrent une surface réglée de quatrième classe et de quatrièn\e ordre dont la développable bitangente est de seconde classe.