Passons à l'expression analytique de ces faits. Soit
F ^ X^Xt — XjTs =0
une quadrique quadrillée circonscrite à C4; le9 arêtes x^x^ et 0:5X4 sont génératrices d'un même système et x^x^, œ^x^ de Tautrc système. Supposons que les sommets (134) et (124) du tétraèdre de référence soient sur C4 et appelons A le som-
met (123). Une autre quadrique passant par c^ a une équation privée des termes en x\ et xl, soit
Fi ^ ttiX] H- ^x^lpiXi -^ ajX, -H 2(6î -I- A) xj
— iXXjtXs -«- X4(2c,X3 ■♦- 26,Xj -+- CsXi) = 0.
Projetons c^ de A sur le plan x^ en appliquant les formules connues de la représentation plane d'une quadrique,
x^: Xfi Xi'. Xt=^ z] : z^Zt : ZtZ^ : z^z^ ,
nous obtenons
-v 2;}(26sZ,Z| -4- c,^î) «= 0.
Puisque cette courbe est quadrillée, nous avons
As
«s 6) Cs 6, C5
Appelons alors t et z deux sommets opposés d'un quadrangle projetés sur le plan X4. Ils se correspondent dans une inversion dont les équations s'obtiennent en résolvant par rapport à t^^ hf h 1^^ équations des deux involutions projectives étudiées au n® 4 ; on trouve
ou, en abrégé
Par suite, en appelant y le point de la courbe gauche projeté en t^
Vi •' y<i'' y%' y^'=^ ^\- UU > ^h ' ^tU = vn'n' : tnn^p : rn^nq : mnpq,
ou, en simplifiant par mn^
yi : yj : y» : y* =» »«» :np:mq: pq.
( ise >
Or mn» np, fà^, pq sont âes fonctions IMénires de t\, z^i^^ ZiZ^, z^z^^ donc de x^^ x^, x^^ 06^9 en ap|!relant x le point dé faf courbe gauche projeté en js.
Donc, les sommets opposés d'une série de quadrangles inscrits appartenant à une même quadrique quadrillée se correspondent dans une eollméation.
Dans le cas parrtîculier où le mineur C3 do détei^minanl A relatif à la quartique plane, projection de C4, est nul, Tun des points doubles de celte courbe plane est un point double d'injQexion; alors le centre A est dans le plan oseulatetir à la courbe C4 en un des points (124) ou (134), et la tangente à C4 en un de ces points est génératrice de la sufrface F. Or il y a, sur C4, deux quadru*ples de points où la tangente est génératrice de F; en un de ces points. M, on peut considérer la génératrice de F qui n*est pas tangente mais corde MN. Lorsque le centre A est sur cette droite, la projection plafie cfe C4 est une courbe binodale quadrillée ayaAt en un de ses nœuds une inflexion. D*après une remarque faite à la fin dâf n^ 7, ce nœud est alors double d*inflexion; donc la tangente en N est génératrice de F et le plan osculateur en N passe par M.
Ainsi, toute quadrique quadrillée possède quatre génératriées^ tbrdes de C4 , qui sont chacune l'intersection des plans osculateur s en leurs deux points d'appui.
Réciproquement, toute corde jouissant de cette propriété est génératrice d*une quadrique quadrillée.
Quand A est sur une de ces cordes, les rayons issus de A et s*appuyant sur les couples de diagonales des quadrangles inscrits sont dans un même plan, et les plans qui projettent de A ces mêmes diagonales enveloppent un cône qui n'est plus de quatrième, mais de troisième classe.
D*où encore ce corollaire évident : la surface du quatrième ordre^ lieu des diagonales d'une série de quadrangles inscrits coupe la quadtiqUe quadrillée correspondante iuivant la coutbe ù^ et quatre de ses cordes.
