VI
tion à la suivante; toutes deux sont des applications moins immédiates des théories du début.
Qu'il s*agisse d'élimination simple ou de surélimination, le résultat conduit à Tévanouissement d'une matrice rectangulaire ou d'un déterminant. Ce mode d'écriture malérialise en quelque sorte la génération d'éires géométriques par des formes projectives; les détails de structure d'une matrice correspondent à des propriétés de la variété qu'elle représente.
Cette notation souligne à la fois lanalogie et les différences entre le symbolisme algébrique et le langage synthétique; si ce dernier oblige à serrer de près les problèmes particuliers, Tautre, par contre, ouvre aux recherches un champ, plus étendu (*),
Gand, le U avril 1906
(*) Depuis que ces lignes ont été écrites, quelques travaux relatifs au sujet que nous traitons ou à des sujets analogues, ont été publiés et sont venus à notre connaissance. Dans les pages ci-après, nous signalerons entre crochets [ ] les renseignements plus récents que notre manuscrit.
DE
Applications géométriques de la théorie
des matrices.
Les conditions pour que deux équations en x aient au moins deux racines communes sont au nombre de deux et peuvent s'exprimer par Tévanouissement d^une matrice à / lignes et ^ + 1 colonnes. Si les éléments d'un tel tableau sont des formes ternaires ou quaternaires^ on a respectivement la représentation d'un nombre fini de points ou d'une courbe gauche.
Il est naturel que nous exposions quelques généralités relatives à ces courbes gauches. Leur ordre, leur genre et d'^autres résultats relevant de la géométrie énumérative peuvent se déduire de relations très générales établies par M. Giambelli (*) dans un beau mémoire où Ton trouvera toutes les indications bibliographiques; l'auteur cite notamment MM. Schubert et Segre.
On ne peut qu'admirer le degré d'abstraction auquel est
(*) Giambelli, Rend, ht Lomh,, 4904, pp. 101-155.
arrivé M. Giambelli, et quant à ses résultats, on peut dire qu'ils sont complets et définitifs.
Bien que nous ayons été moins loin dans la voie des généraligâtions, nous avons, dans des recherches contemporaines de celles de M. Giambelli, et qu'il nous a fait Phonneur de citer, trouvé des relations concordant avec les siennes. Nous avons déjà donné une partie de nos résultats dans un billet cacheté déposé à l'Académie royale de Belgique (février 1904) et dans les articles suivants : 1® Sur les plans coupant un système de lignes de l'espace en six points d'une conique (*) ; 2" Sur la courbe lieu des contacts des surfaces de deux faisceaux {**); 3® Sur les points singuliers des lieux géométriques (***). A plus d'un endroit de ces travaux, nous avons fait pressentir que nos méthodes pouvaient prétendre à des résultats plus étendus que ceux que nous donnions. Le principe de ces méthodes est énoncé dans la première thèse annexée à notre Dissertation : Étude de quelques surfaces engendrées par des courbes du second et du troisième ordre. (Gand, Hoste, et Paris, Gauthier- Villars, juillet 1902.)
Ceci soit dit pour établir le droit que nous croyons avoir de donner le premier paragraphe ci-après, à titre de travail original et indépendant. Malgré cela, nous reconnaissons volontiers à M. Giambelli et la priorité de la publication et une plus grande étendue de résultats.
Mais, toute question de droit à part, avons-nous des raisons d'exposer, après le savant auteur italien, des recherches dont nous avouons la portée plus restreinte? Ces raisons, les voici. Notre but n'est pas la Géométrie énumérative, dont les relations générales ne se prêtent pas toujours facilement aux cas particuliers. En vue de résultats plus concrets et plus simples, nous indiquons plutôt la marche à suivre pour faire, dans chaque problème spécial, le calcul nécessaire. Toutefois, mais seule-
(*) 3Iém. «n-8® de VAcad. roy, de Belgique, 1902»
(**) Rend, circolo matem. Palermo^ mai 1904.
(***) Mém* m-8* de la Soc. royale des sciences, Liège, septembre 1904.
ment en passant^ nous donnons aussi quelques formules assez étendues.
Pour bien montrer quel point de vue nous avons adopté, nous faisons suivre ces prémisses de Fétude, non pas complète, mais pourtant assez détaillée, de quelques courbes représentées par des matrices. Les plus simples de ces figures ont été étudiées déjà par la géométrie projective, et les recherches qui s*y rattachent sont éparpillées dans divers périodiques. Il y a intérêt à les grouper dans une étude d'ensemble et à voir de quelles généralisations elles sont susceptibles.
La courbe Jacobienne d*un système de surfaces a sa place marquée dans cette partie de notre travail; nous espérons pouvoir ajouter quelque chose à ce que l'on en sait.
Mais le vrai but de cette étude est de montrer quels procédés d'élimination donnent naissance à des matrices et quel usage on peut faire de cette théorie pour la détermination des éléments singuliers des lieux géométriques et des enveloppes. Nous ajoutons là quelques autres applications.
Il est trop évident que ces considérations s'appliquent à des espaces quelconques et, par suite, à l'espace ordinaire réglé. Si, dans la plus grande partie du travail, nous nous limitons à trois dimensions, c'est pour la commodité de la rédaction. Toutefoiis, afin de montrer que cette limitation n'est pas nécessaire, nous dirons quelques mots de l'espace à quatre dimensions, ainsi que des congruences et complexes de droites.
Enfin les éléments d'une matrice peuvent être des formes à deux ou plusieurs séries de variables, et l'application de cette idée à un cas particulier fournit les bases d'une théorie des congruences de courbes gauches, notamment des cubiques; cette théorie, on le sait, est encore à faire; ceci fera l'objet de notre Étude IL
Pour répondre au reproche de n'avoir pas épuisé les sujets traités, nous nous permettons de déclarer ici que nous voulons attirer l'attention, non sur ces sujets eux-mêmes, mais sur la méthode employée.
Gën6ralità8 sar les matzioes.
1. Une matrice rectangulaire ayant, par exemple» trois lignes et quatre colonnes.
ai a^ Os ^i
C| C, Cs Cl
représente les quatre déterminants (^4630, (016^04), (016304), (036504); nous écrirons souvent en abrégé
M = Il a, «r, «B a* ||; = || a, 6, c, ||}.
Légalité M «a exprime qu^il existe une même relation linéaire entre les éléments de chaque colonne, et une seule lorsque les déterminants h quatre éléments extraits de la matrice ne sont pas tous nuls. Elle exprime aussi qu*il existe un faisceau de relations linéaires entre les éléments de chaque ligne.
Quand M =» 0, les quatre déterminants (a^b^c^)^ {^î^^^a)* (ai63C4), (026904) sont nuls. Par suite, dans la matrice M, les mineurs formés avec les couples d^éléments de deux lignes (ou colonnes) sont proportionnels aux mineurs formés des éléments correspondants de deux autres lignes (ou colonnes) quelconques.
Si deux des quatre déterminants, par exemple (a^b^c^) et (046304), sont nuls, il existe une même relation linéaire entre les éléments des colonnes i, 2, 3 ; une même relation linéaire entre les éléments des colonnes i^ % i; donc, ou bien une même relation linéaire entre les éléments des quatre colonnes, et alors M «» 0, ou bien plus d^une relation linéaire entre les éléments des colonnes 1 et 2, et alors on a
Oi 6i Ci
Par conséquent, le système
(«i6«ca) «» 0, (o,6,r4) «.
équivaut en général à
Mm » 0.
La propriété analogue appartient à toute matrice de / lignes et / -*- 1 colonnes.
2« Si les éléments de M sont des formes linéaires ternaires, chacune des équations (a^b^c^) = 0, (aiib2C^) »» est du troisième degré. Elles ont donc neuf systèmes de solutions communes dont une partie» ^b par exemple, annulent M, et les autres, en nombre f^j» annulent m. On a donc
A*5 = 3* fl^'j
pareillement
et comme, visiblement, pi «= l^on a
De même, on trouve en général
^,«:/« — (/ — i)»H-(i— â)« dbi
Ainsi une matrice à I lignes et \ -^ l colonfies de formes linéaires ternaires s'annule pour ^ points.
Dans certains cas particuliers, ce résultat peut être altéré. Par exemple, s*il existe des relations identiques entre certains éléments de M, il peut arriver que cette matrice s*annule pour une infinité de points. La même chose peut se présenter pour la matrice partielle m, dont Tévanouissement représente parfois une conique, ou une droite accompagnée d'un nombre fini de points. Cette dernière circonstance n'empêche pas nécessairement M de
représenter un nombre fini de points; mais le raisonnement ci-dessus est alors en défaut. La difficulté est levée s'il existe, dans le tableau M, un tableau partiel, autre que m, formé de deux colonnes et s'annulant pour un nombre fini de points. Cependant, s'il n'existe pas de tableau partiel pareil, ou si Ton désire utiliser la matrice particulière m^||a| ajUÎ, on peut raisonner comme il suit.
Supposons que m s'annule pour les points d'une courbe c; le raisonnement précédent fait connaître les points annulant M et non m, donc les points non situés sur la courbe c. On obtient ensuite les points annulant M et situés sur celte courbe c en cherchant les intersections de celle-ci avec la courbe {a^bzC^) ==» par exemple, et en défalquant, s'il y a lieu, les points annulant à la fois ai, a^, a^. Pratiquement, on est en possession d'un procédé régressif général, et la suite montrera, encore mieux, que les applications de ce procédé ne présentent guère de difficulté. Ce qu'il importe de remarquer, et ce que nous établirons ici, une fois pour toutes, c'est que si M s'annule pour un nombre fini de points, ce nombre reste le même quelles que soient les hypothèses que Ton peut faire sur les matrices partielles tu. L'exactitude de cette proposition est presque évidente, en raison de la continuité ou, si Ton veut, en vertu du principe de la conservation du nombre de Schubert.
On peut énoncer ledit principe de la manière suivante : Si N individus d*un système géométrique satisfont à un ensemble de conditions^ et si l'on modifie ou que Von spécialise la situation respective des éléments du système, le nombre N demeure inaltéré ou devient infini. C'est au fond la traduction du fait algébrique que voici : une équation, dont les coefiicienis subissent des modifications, conserve le même nombre de racines ou devient une identité.
En ces derniers temps, le principe de Schubert a été fort combattu. Au congrès de Heidelberg notamment, il a fait l'objet d'une discussion mouvementée. Dans l'application, toutes les objections tombent nécessairement, si l'on peut écrire cette équation algébrique dont le nombre des racines est N.
Supposons donc qu'une matrice IVf ayant, pour fixer les idées, trois lignes et quatre colonnes de formes linéaires ternaires, s'annule pour un nombre fini /x de points, bien que chacune dés matrices partielles m s*annule pour une infinité de points (peu importe que ces faits soient compatibles ou non). Par des modifications apportées à certains coefficients, on obtient une matrice M' de même structure et dont certaines matrices partielles m' s'annulent seulement pour un nombre fini de points; nous savons que M' = représente fJis = 6 points.
Admettons que les éléments a^, 6,, c^ de la matrice M soient de la forme OnX, -♦- aj,x, -♦- agors, ... ; que ce système soit rapporté à un triangle de référence dont aucun sommet ne coïncide ni avec un point de M ni avec un point de M'; enfin, que nous cherchions les droites qui joignent les ii points de M au sommet x^X2 du triangle fondamental. Nous avons à éliminer Xj de M = 0, ou, ce qui revient au même, à éh'miner a, p, y, x^ des relations
oLOi -¥■ pbi + yCj^ a(a,iXi -♦- a«x,) -+- p(6,iX| -♦- ôg^Xj)
-*- r(C||X| -f- CjîX,) H- ax^a^s -♦- pxjb^ •+• rx^Ca = {i = 1,2,3,4).
En multipliant ces quatre relations, d'abord par x,, puis par X*, on a douze égalités homogènes et linéaires en
a, p, y, axs, jBXj, r^Ts, «xî, px|, yxl, ajj, pxj, yxl.
On élimine ces douze variables et Ion a un déterminant qui s'annule pour les fx valeurs de X| : xs répondant aux points de M. Or, des modifications à certains coefficients changent cette équation en une autre qui a, nous le savons, fXj » 6 racines* Donc ^ c=3 6 ou /x e=: 00 ; mais, par hypothèse, fx n'est pas infini, par conséquent le théorème est démontré.
3. Si les éléments d'une matrice Ma/ lignes et / + 1 colonnes sont des formes linéaires quaternaires, la matrice s'annule, en général, pour les points d'une courbe gauche d'ordre ^ «
Exceptionnellement, ces points peuvent engendrer une surface, accompagnée ou non d*une courbe gauche.
Si les éléments de M sont, les uns des constantes» les «utres des formes quaternaires de degré quelconque, la matrice peut encore représenter une courbe gauche, notamment quand les éléments de chaque, ligne ou de chaque colonne sont du même degré et, en général, quand les déterminants obtenus par la suppression d*une colonne sont des fonctions homogènes. On s*assure sans peine que ceci a lieu quand un élément de la matrice est de Tordre n, -+- />*, /?^ conservant la même valeur pour tous les éléments d*une même colonne et ft< demeurant inaltéré dans toute retendue d'une ligne.
Quand la matrice M s'annule pour les points d'une courbe gaucbe, les explications du n^ 2 donnent le moyen de calculer Tordre de cette courbe dans chaque cas particulier, et aussi de déterminer une formule générale. Il est d'ailleurs évident que la courbe peut se décomposer en plusieurs autres; en pareil cas, on obtient Tordre total.
Pour établir la formule générale, il est utile d'employer la notation à deux indices
a^ étant une forme de Tordre n^ -t* p^. Pour commencer, nous ferons prendre à t les valeurs 1, 2, 3 et à A; les valeurs 1, 2, 3, 4. Soient fx Tordre de la courbe M, p' celui de la courbe annulant la matrice
m=|| a,, Il (1 = 1,2,3; fc=,l,2)
et fx^' celui de la courbe annulant an et a^,; c'est-à-dire que Ton considère les matrices extraites de M, d'abord en supprimant les deux dernières colonnes, puis en effaçant, dans le résultat, les deux dernières lignes. Les courbes d'ordres fx et fx' forment Tintersection totale de deux surfaces annulant les déterminants
aa\ (» = i,2,3; /c = i,2,3) \aa\ (i = 1,2,3; A=*4,2,4)
ojbleDUS en supprimant, dans VL, la dernière ou Tavant dernière cûlooDe. Le^ ordres de ces sur/laces «ont respectivenaent
fi4 -4- Pi H- fij -f- Pj -♦- W5 -*- Pi ou sn -♦- £p — p^, «1 "♦- Pi -*• «1 -♦- P« ■♦- W5 -♦- Pi ou 5î» -♦- Sp — p,.
On a donc
|x -I- |x' « (Lti -♦- sp' — Pi) (Sn -♦- sp — P4),
pareillement
^' -^ p" = (sn -i- Lp — n^ -- Pi— Pi) (sn ^ sp — nj — pa — p^),
et évidemment
f*" -= (wi ^ piî («, -*- p,),
Ces trois égalités donnent, en additionnant la première avec la dernière et en soustrayant fa seconde,
P ■"■ (Sn -¥■ sp) (wj -4- «5 -4- Pj -i- P4) — n,n, -4* ni
-*- (w, + n») (ps -^ pj -I- fiiipi -V Pj) — pî — pî — PsP* -^ PiPf*
En effectuant les calculs, on trouve
f* = sn^n, -*- Sn* -4- SwSp -h Sp^pj.
Si l'on prend ensuite la matrice
«Il «li «15 «SI «ÎS «J5
on trouve immédiatement, pour Tordre de la courbe représentée, p = (wi -t- Wj -♦- Pi -4- p,) (ni H- w, -H p, -*- Pj) — (n, -♦- p^) (n, -♦- p,),
résultat conforme à la formule précédente.
Pour établir que cette formule est générale, nous la supposons démontrée pour une matrice à /lignes et / + 1 colonnes et
( iO)
nous adjoignons deux lignes de formes d'ordres N + p^ 6t N'-4- ^^(4=1, 2,..., / 4- i). Soient f^i Tordre de la courbe annulant cette nouvelle matrice et fx Tordre correspondant à la matrice initiale à / lignes et / + 1 colonnes.
On aura^ comme plus haut,
^, H- At ■= (zn -f- zp -♦- N) (m -♦- zp -t- N'), Ac= znjWj -*- z«' -♦- zp . zn -f- ipiPu
d'où
yt*i.«=(zw -*- zp -*- N) (zw -4- zp -4- N') — ZW|n,— zn* — zpz» — ^PiPt,
et, après quelques calculs,
ft^ = zp,pa H- zp' -♦- zp(zn H- N -fr- N') -4- zwjw, -♦■ (N -t- N')zn -4- NN',
résultat conforme à la formule qui donne fx, sauf, comme on devait le prévoir, que les râles des p et des n sont intervertis.
Donc une matrice à 1 lignes eM h- 1 colonnes de formes quaternaires, dont chaque élément s^test de V ordre Ui + Pi^, s'an^ nule pour les points d'une courbe gauche ou d'un système de courbes dont l'ordre total est
zwi»j -♦- z«' -♦- znzp -I- zpiPf
4. On pourrait trouver le nombre des points doubles apparents, et, par suite, le genre de la courbe * || a^ || t "^^^ ^û a^ est une forme quaternaire de Tordre n^ + p^ en n'utilisant que les procédés d'élimination qui seront exposés dans ce travail. Mais, pour ne pas intervertir Tordre des matières, nous préférons utiliser la formule connue donnant le nombre h de points doubles apparents d'une courbe intersection partielle de deux surfaces (*)
2A — 2A' = (zw -^ zp — p4 — '!)(zn-i- zp — ps— 1)(a« — a**).
(*) Voir Salmon, Géom» anal à 3 dim.
Dans cette formule, fx est i*ordre de la courbe considérée, Jln -i-llp — p4 et Sn H- Sp — p^ sont les ordres des deux surfaces, /a' et A'^ désignent respect! ventent Tordre et le nombre de points doubles apparents de la courbe complétant Tintersection. En vertu du n^ 3, cette relation peut encore s'écrire
2A — W = fi* — fi'* •*- fA — /i' — {jx — fif) {22n H- 22/) — pz — p*). Le procédé régressif donne de même
2ft' — 2A" = A*'* — A*"* -^ A*' — A*"
— (ac' — fjL") (22n H- 22p — n, — Wj — 2p3 — 2^*),
et comme la courbe d'ordre |x" est l'intersection totale de deux surfaces, on a
Additionnons ces trois égalités ; il vient
2/l = ^« + A« — 2a^(S» + Sp) -*- (a* -^ A*') (Ps -4- P*)
Le numéro précédent contient les valeurs de [jl -h [x' et de |jl' -*- [ji" ; en les introduisant, on a successivement
2^ = /te* -♦- A« — 2A«(2n H- Zp) -♦- (2W -+- 2p — P4) (2W -^ 2p — ps) (ps "*" P*) -*-(2rn-2p — Wç—Ps — P4)(2n-+-2p— », — Ps— P4)(Wî-*-»5) •^ (wi -*- pO (n, -♦- p,) (p, -*- Pj),
2^=yt£*-*-A«~2/t£(2w-t-2p)-4-(2n)'(n2+W5) — 2n(n,-*-n5)*-4-«4nB(n2-4-n5) -*- (2»)*(p3-*- p4)-4-(n8H- W5) (2n4-*- n,-4- W5) (p«-^Pî)-+- nî(pi-*-pj) -I- 2w(p5 ^ p^) (2pi -*- 2p2 H- Ps -4- p*) -^ (nj -♦- na) (pi -♦- p»)* H- w,(p, -*- Pj)* -*- (ps -+- p^) (p, -^ p, H- pa) (p4 -♦- p, -^ pj
( ^2) ou enfio
2& Bs ^* + /£ — 2/Efc(2w -*- 2p) ^ injw, -♦- 2ii|ii«ns -♦- (2n)'zp -«- ifi(ip)*
Pour une matrice à deux lignes et trois colonnes, un calcul analogue mais beaucoup plus simple conduit à la même formule, privée toutefois du terme ^nin^n^j ce qui n*a rien d*étonnant puisqu'il n*y a plus que deux quantités n^ et it^. On peut conjecturer que la formule générale contieol, au lieu du terme in^n^n^f le terme analogue mn^n^n^.
Supposons en eifel cette formule établie pour une courbe d'ordre [x annulant une matrice || 0» || ^ ^ lignes et / + 1 colonnes. Gomme au numéro 3, ajoutons deux lignes N et N'; appelons ^Li Tordre de la courbe représentée par cette nouvelle matrice et H le nombre de ses points doubles apparents; ^l et h les mêmes quantités pour la matrice initiale. On a alors, comme ci-dessus, les formules
2H — 2ft = A«î — Ac' -^ A'i — A* — (/"i — i^) (2£n -4- 2Lp -*- N + N'), ^h = fi* -*- fi — 2/Efc(2« •♦- ip) -4- zwjnj -4- 22n|yisns h- (2fi)*2p
-4- 2w(2p)* -4- 2p;p, -+- ^IpiPtPz,
cette dernière par hypothèse. L'addition donne
2H =5 A*î -*- A«i — 2^|(S« +. N -♦- N' H- Sp) H- (N -f- N') (/»« -*- fz) -4- Snjwj H- ^Sn^Tts^s -♦- (Sn)'sp -♦- Sn(Lp)' -*- spîp, -*- 2sp4psps,
et puisque
fA
A*i — 2/uj(2n -♦- N -♦- N' -♦- 2p) mln^ -¥■ (N* -♦- N")2n -t- (N + N')2n« âzititi^s -*- î2NN'2» -f- 2(N -♦- N')s»4«, (2n)»2|> -♦- ipi'tzn -t- N -*- N') (N -♦- N') 2n{2p)* -1- (N +. K') (2p)*
2pîp, -♦- 22/l|p,p,.
La formule générale est ainsi démontrée.
Le genre g d'une courbe d'ordre [x douée de A points doubles apparents est
(At— i)(A^ — 2) ^* — 3M-f-2 .
On en conclut la formule suivante pour le genre d'une courbe gauche annulant une matrice à / lignes et / -«- 1 colonnes d'éléments d'ordre n, -f- p^ :
jf =3 i -*- At(2« -♦- 2p — 2) — i[2n«ns -t- ^iniU^i -*- (2n)'2p
5. Revenons à la matrice a trois Ngnes et quatre colonnes de formes quaternaires du premier degré
Oi a^ Gz cii 64 b% 6s 6|'
Cl f j C5 C4
Il est utile de savoir le nombre [x^s des systèmes de valeurs des variftUes qui annulent âr la fois^ M et la matrrce m formée par les deai premières colonnes de M.
Pour un. système de valeurs des variables qui annulent m, les ionctions a^, b^^ q et les fonctions a^^ 63, c^ oot un ftiisceau de lekriions Knéaires communes ; si, pour ces varfenrrs des variables,
une de ces relations linéaires appartient aussi aux formes A39 639 <^3» ainsi qu*à a^, 64, C4, c'est-à-dire si M est nulle, le déterminant (a^ 65 c^) est égal à zéro.
Réciproquement, si Ton a (a^ 65 ^4) «=a et m =» 0, les éléments des quatre colonnes ont une même relation linéaire, à moins qîie Ton n'ait a^ e= 6^ =* r ^ *=» 0, ce qui n'arrive, en général, que pour un système des valeurs des variables, de sorte que Ton a
Mn—^/^% — ^ =8.
On trouve, par le même raisonnement,
vg étant le nombre de systèmes qui annulent une matrice à deux lignes et quatre colonnes de formes linéaires. Et généralement.
Il faut donc considérer à présent une matrice ayant deux colonnes de plus que de lignes, par exemple,
a^ Ui Qz Ui Oi 64 6a 65 64 65
Ci Cj C5 Ci Cg
Lorsqu'elle est nulle, tous les déterminants obtenus en prenant trois des cinq colonnes s'évanouissent; par suite,
M = Il i 2 3 4 II = et D = I 1 2 5 I = 0.
Inversement, si l'on a ces deux dernières relations, les éléments des cinq colonnes de N ont une même relation linéaire, à moins que Ion n'ait m = || 1 2 1| =» 0. Le système M ^=1 0, D=0. admet 3|jl5 systèmes de racines, dont V5 annulent N et les autres annulent m et M ; le nombre de ces derniers est donc (JI25 ;
il est d ailleurs évident que tous ceux qui annulent m annulent D. Ainsi
et généralement
Substituons dans la formule trouvée précédemment [x/(/^j); il vient
OU
Cette formule de réduction donne
On trouve, par la même méthode.
d'où
Si les éléments des matrices sont des formes de degré quelconque, on peut, dans chaque cas particuh'er, refaire le raisonnement ci-dessus et trouver les nombres analogues à pt^/^.!) et V/.
Pour rétablissement d'une formule générale, il y a avantage à commencer par les nombres v/. Nous allons démontrer qu'une matrice || a^^ || ^ t lignes et l -h ^ colonnes de formes de degré 11^ -+- p^(f =» 1, 2, . . . /; A = 1, 2, . . ., / -4- 2) s'annule pour .un nombre de points donné par la relation
vi = In' -f- Inîwj -♦- iniHins -*- ip (2»' -♦- 2niW,) -♦- ip^p^ln -*- ipip^p^ ;
les deox premiers termes da seccmrf membre peutent évidemment être remplacés par Texpression équivalente Itnlttfl.
D*abord cette formule.se vérifie sur une matrice à une ligne et trois colonnes, car un tel tableau s'annule pour les points communs à trois surfaces et le nombre de ces points est
(«4 -t- Pi) (», -t- Pj) (n, H- ps) = «; + njEp 4- «iSp.p, + PiPjP».
Ensuite la même formule s'applique à une matrice à deux lignes et quatre colonnes, car on peut chercher le nombre des points qui Pannulent par la méthode exposée ci-dessus pour les matrices composées de formes linéaires, et Ton trouve
y««=(Wi-Hni-+-p<-+-p4) [(n^-f-nj-^pi-t-pa) (n|-«-n2-+-p,-+-p,)— (wi-t-pi) (n,-+-p,)] — (fil -*- pi) (Wj ^ p.) (M4 -♦- îh "^ Pi -^ Ps).
En ordonnant par rapport aux n, on trouve cette expression conforme à la formule annoncée.
Enfin on suppose cette formule établie pour une matrice N à / lignes et / •+- 2 colonnes et Ton y joint quatre lignes de formes de degrés Ni-4-p^, Ng+p^, ^^-^Pk, ^é-^-Pk'^ soit v/^.2 le nombre de points qui annulent cette nouvelle matrice N' à /-h2 colonnes et /-4-4 lignes. Ces points sont ceux qui annulent le déterminant constitué par la dernière ligne et les /+! premières de N' et qui annulent aussi la matrice des /hhS premières lignes; d'où il faut défalquer les i^i^i^i^ points communs à eefle dernière matrice et i cette de ses f -h ♦ premières lignes. On a
y,^j=B(2w-*- N4-*-N4-H2p)[2p'-+- 2pipj-t- 2p(2w-+- N,^. Nj-t-Nj)-*- sn^ji,
-*- 2«(N4 -4- Nj -f- N3) -4- NjNs -f- N^Ni -I- N,N,]— p^^i+i).
La quanraé entre crochets eyt Tordre de la ooiirbe annubnt la motrice des / -i- 3 premières tfgiies de IV^; cet ordre a éfé trouvé au numéro 2, m^is il a faltn intervertir les rôles^ des lettres p et n, puisque la matrice considérée ici a plus de lignes qne de colonnes.
Quant aux points en nombre [iL/(/^f), ce sont les points communs à la matrice des l -*- \ lignes et au déterminant formé des { premières lignes complétées par les lignes N^ et N5; mais il faut défalquer les v/ points annulant la matrice initiale N. Donc
f*/(/+i) = (2» -*- N, -♦- N5 -*- ip) (zn* -♦- N| -♦- iniTii -4- inip -*- Ni2p -♦- tpipi) — v,,
et comme v/, par hypothèse, est donné par la formule à établir, on a
y^^, sa (2n -+- Nj H- N4 -♦- 2p) [ip* -4- ipiPi -*- 2p{in -♦- Ni -*- N, -4- Ng) -♦- 2n,nj -I- 2n(N« -*- N, -*- N5) -«- NjN» -♦- NjN, -1- N,N,] — {in -♦- Nj -♦- N5 -♦- zp) (zn* -♦- NJ -1- ln^n^ -♦- Znzp -♦- N|2p -H zpip,) -♦- 2n2n'-*- ZnjWjWs •♦- Z/i(2n* -♦- zw^fij)
Ordonnons par rapport aux p : il vient, après quelques réductions,
Vm = 2p2p' -4- 2pip,p3 -^ (2p* -^ ZpiPa) (Zn -♦- Ni -^ N4)
-^ [{2p)' — 2Pi/>i] (Nj -^ N5) H- 2p[2n,n, -*- (N| -t- N, -*- Njjzn H- NjNs + NjNi ^ N,N, -*- N4(2« + N, -♦- N, + N^)] -f. {2n -♦- N«-i- N4) [2W4I13-4- (N,H- N,-+- Njjzn-i-NjNs-t-NjNj-*- N|Nj] — (2/1 -I- N, -t- Na) (zn* -*- Nî + zn^Wj -♦- Ni2w) -♦- 2n2w* -*- in^n^n^^
ce qui, tous calculs faits, est conforme à la formule annoncée, sauf naturellement que les rôles des lettres p et n sont intervertis. Nous pouvons maintenant aussi donner une formule générale pour le nombre {x/(/4.|) des points qui annulent à la fois une matrice M à / lignes et / -i- 1 colonnes de formes d*ordre n^ + p^ et la même matrice suivie de deux lignes de formes d*ordresN|+p^, Nji + p^. Ces points sont ceux qui annulent à la fois M et le déterminant formé des / — 1 premières lignes et des lignes N^ et
N^; d'où il faul défalquer les vi^i poinu qui annulent la matrice d«3 l — 1 premières lignes de M. Donc
Vmt) ™ Pi(2» — w, -♦- N, -4- N, -♦- ï.p) — vi^
«= (2w* -4- 2n,n, H- 2n2p -*- lpiP%) (2n — w, -♦- N, -t- Nj -*- 2p)
— Zn^ri^tiz — Sn'sn — s»(Sn' -f- SujW,) 1 il 1 i
Tous calculs faits, on écrit cette formule sous la forme symétrique
f*K/+i) — 2n2W|W, — 2lÏ4njn8H- 2p(2n)*-*- 2«(2p)*-*- 2p2pipj — ^PiPiPz -f- (N, -♦- N,) {m* ■♦- 2n4»j **- 2n2p -*- ipipij.
6. En résumé, Tétude d'une matrice se ramène toujours à Tétude de tableaux analogues obtenus par suppression d'un certain nombre de lignes et de colonnes. Il va de soi que Ton peut aussi procéder par adjonction de lignes ou de colonnes d'éléments quelconques, comme nous le montrerons plus tard.
Les quelques questions traitées ci-dessus ne sont pas les seules que Ton peut résoudre. Nous allons voir, par une couple d'exemples, que, moyennant des modifications de détail, les procédés restent les mêmes dans Tensemble.
Soit la matrice d'éléments quaternaires quelconques
Oj Os ^3 ^i
Ms 1 6, 6s ta 6,
C| Cj C5 C4
Elle s'annule pour les points d'une courbe gauche située notamment sur la surface qui annule le déterminant (1 2 5). Mais la matrice partielle
04 Os ds
représente une autre courbe située sur la même surface. Cher*
(iî>)
obons les poinls ctpmmup/s à ces deux ooqrbes, l^e^ coordlwia^es d'un point x qui annule le dernier tableau r^^ni epiiipatit)l«4 en X et {A les relations
Donc les relations
Xtti -*- fit, -4- vc< = (t = i, 2, 3)
sont satisfaites pour les coordonnées de ce point x, ainsi que pour les mêmes valeurs de X et {a et pour v «» 0. Le point x, s*il ne rend pa^ nuls tpus les premiçr^ mineur^ d\i déterminant (1 2 3), satisfait aux dernières équations en même temps qu'un seul ^yUèwfi de valeur de ^, {x, y^ [la valeur de y est 0]. Si dope ca point appartient aussi à U courbe M| i| satisfait en outre à réquation suivante
^4 -*- f*^4 -+- Oc^ = 0,
et par suite il annule la matrice
ai Ot Os Oé 6| 6j 6j 64
Ainsi ce dernier tableau représente tous les points communs aux courbes M et N.
Il faudrait, d'Qprès ce qui précède, écarter les points x qui annulent tous les premiers mineurs du déterminant (1 2 3). Or ceci équivaut à quatre conditions en x^, x^^ X5, X4, conditions généralement incompatibles ; donc il n'y a aucun point à défalquer (*).
(*) Comp. GiAMBBLLi, loe, cit., p. 405.
La question précédente trouve son application dans la théorie des matrices angulaires (*) : représentons par la notation
Al
«Il
On
On
flsî
I^ensemble des points qui annulent tous les déterminants formés en prenant trois des lignes )^, a^^, a^i, a^i ou trois des colonnes Oku ^/&2« ^kz^ ^k^ ^^ P^u^ trouver le nombre de ces points, car ce sont les intersections de deux courbes
Il h au a„ a„ || = 0, || a*, a„ a« «^ || = 0,
tracées toutes deut sur la surface | a^ a^^ 055 | =» 0. On cherche les points où la première de ces courbes coupe la surface I o;^i o>k^ a^ I = et Ton en défalque les points communs à cette même première courbe et à la courbe
Il a*i flH llî =0; ces derniers points se trouvent par le raisonnement ci-dessus.
7. Une matrice à / lignes et / + 2 colonnes de formes quelconques représente en général un nombre fini v de points. Exceptionnellement, elle s*annule pour les points d*une courbe ou même d'une surface. De même la matrice
«H «H fll5 «U «51 «M «33 «54
dont rélément «^^ est d'ordre n^H-p^ peut s'annuler pour les
(*) G^iAMBELLi, loe» cit., p. 405.
points d*une surface Sa d'ordre X, accompagnée d'une courbé d'ordre v(v^O).
Disons un mot de ce cas et appelons [jl Tordre de M quand, étant formée d'éléments autres, mais de même ordre n^ + p^, elle ne représente qu'une courbe gauche.
Les équations suivantes
I fto» «4* Oi* «8* I «= 0, I Cm fli* flj* 084 I =»
représentent deux surfaces ; si les formes 6o^ et Cg^ sont d'ordre p^, ces deux surfaces sont chacune de degré n^ + n^ -«- fis -i- p^
"*■ Psi "*" Ps "** Pi ^" ^^ "*" ^P* Chacune d'elles se décompose en la surface Si et une autre surface d'ordre Su -♦- 2p — X; appelons ces dernières ^Xn^ip-^i ^t S^jn+s^-a* ^® '^ résulte d'abord que X ^ 2n -«- 2p. Supposons que Ton puisse choisir les formes fro^ ^^ ^Qk de manière que ces deux surfaces résidues n'aient en commun qu'une courbe ou un système de courbes; il est clair que généralement cela est possible d'une infinité de manières.
Considérons alors la matrice
N s II 6o* c^k «1* «î* ûj* Il é
D'après le n^ 2, pour trouver les points qui l'annulent, il faut chercher d'abord la partie de l'intersection des deux surfaces d'ordre £n -«- Sp qui n'annule pas M; cette partie est l'intersection totale des surfaces Sj^+jp^^ et ^\n+^^Xy d'où l'on a défalqué la courbe d'ordre v annulant M. Ensuite il faut chercher les points qui annulent à la fois Sa (donc M) et N et, pour cela, chercher l'intersection de Sa avec la surface Ifro^Coy^af^a^il «=«0 et en défalquer, s'il y a lieu, la courbe gauche d'ordre tc, qui pourrait annuler la matrice || a^^ a^A ||r Finalement N s'annule pour une courbe gauche d'ordre
{In -+- 2p — a)* — V -V- xÇLn -^ Ip — n^) — t,. Mais, d'après la remarque qui termine le n° % on peut calculer
(ta)
Tordre de la courbe If eomme si la malfice M ^*liiinuUit seulement pour une courbe gauche d'ordre [x, et Ton è û&tit
(2n -♦- 2p ^ X)* — y -¥■ A(2» -+- 2fi — «,) — 3r> •** (2n -♦- Sjp)* — f»,
d^où
Tj —» X* — A(2« + 2p + fis) -«- fA V.
On trouve des valeurs analogues pour ic^ et tc^ et, comme ces quantités sont positives ou nulles, il en résulte que (jl — v est au moins égal à la plus grande des quantités
x{2n -♦- 2p -+- fi, — A).
De plus, quand les nombres n^ sont différentSi il y a au moilis une des quantités n^ qui e6t différente de zéro, e*e8t-k«>dire au moins utie des matrices partielles, à deux lignes et qtiatfe colonnes, extraites de M, qui s'annule pour une infinité de points.
La cubique gatsche.
8. Dans le chÉpitre III de notre Étude de quelques surfaces algébriques engendrées par des courbes du second et du troisième ordre (Gand, Hoste, et Paris, Gauthier- Villars, 1902), nous avons étudié une gerbe de cubiques gauches au moyen d*uâe notation qui équivaut à ce qui suit :
Si a^, b;^,... teptésentent des formes linéaires quaternaires quelconques, les relations
représentent la cubique gauche la plus générale.
Le système de ses bisécantes est donné par les équations
Aa, -♦- f*6jj -♦- vc, = 0,
Si Ton fait précéder la matrice d*une ligne de constantes arbitraires, a, ^^ y, on a Téquation
K ci
du réseau des quadriques circonscrites à la courbe.
L*arrangeinent en colonnes et en lignes de la matrice donnée correspond aux deux modes de génération de la courbe, comme lieu des intersections des plans homologues de trois faisceaux f»rojectifs et comme lieu des intersections des rayons homologues de deux gerbes projectives. Les équations des bisécantes montrent que ces droites sont les intersections des plans homologues de ces deux gerbes.
