L'évanouissement de la matrice

OÙ II, by c, d sont des constantes et les autres éléments des formes linéaires, représente aussi une cubique gauche située sur les quatre quadriques (a6!pC^) = 0, (ab'^d'^) = 0, (ac'Jlx) «» 0, (6c^^) »»0. Ces équations ne sont pas indépendantes, car on a ridentité évidente

« (a6cX') « a(*cX') — *(acX') -4- c(a6X') — d(abX).

Le système des quadriques circonscrites à la courbe peut se représenter en faisant précéder la matrice d'une ligne de constantes arbitraires a, P, y, d.

I a û ai ai' I

L'identité qui précède montre que ce système, malgré ses quatre paramètres, n'est que doublement infini.

L'évanouissement de la matrice considérée ici exprime que les relations

aXi -f- 6Xj -♦- cXs H- dXi —> 0, a^X, -t- 6;Xt -4- <?:X5 -H rf:X^=0, ai'Xi + 6;'X, 4- c;'X, -t- rfi'X^ «

sont satisfaites pour un faisceau de valeurs des X^.

Par exemple, si les éléments de la deuxième et de la troisième ligne de la matrice sont les dérivées partielles de deux formes quadratiques, on voit que le lieu des points dont les plans polaires relatifs à deux quadriques se coupent dans un plan donné est une cubique gauche.

Si les X,- sont des paramètres arbitraires, les trois relations précédentes représentent les bisécantes de la cubique.

On peut multiplier par une même forme linéaire quelconque Pjgy les éléments de la première ligne de la matrice || a a^.a^ ||. Alors, si un point x annule la matrice sans annuler p^, il existe une même relation linéaire entre les éléments, tels que apjgy a^, a'J^ de chaque colonne. Donc, si quatre gerbes collinéaires ont leurs sommets dans un même plan et admettent ce plan comme élément correspondant commun, le lieu des intersections de leurs plans homologues se compose du plan considéré et d'une cubique gauche.

Si dans la matrice || a a^ a'^ ||, a, 6, c, d sont quatre paramètres arbitraires, on a un système linéaire de oc^ cubiques gauches, système que Ton peut appeler un complexe de cubiques; toutes les courbes de ce complexe passent par les quatre points

Les considérations ci-dessus s'étendent aisément. Ainsi Tévanouissement d'une matrice à cinq colonnes, ayant deux lignes d'éléments constants et deux lignes de formes linéaires, représente une cubique gauche. Donc le lieu des intersections des plans homologues de cinq espaces collinéaires ayant deux plans correspondants communs se compose de ces deux plans et d'une cubique gauche.

Plus généralement, une matrice à 1 + 1 colonnes et I lignes, dont deux de formes linéaires et les autres de constantes, s'annule pour les points d'une cubique gauche: Mais, à moins de se placer dans un espace à plus de trois dimensions, on ne trouve plus d*interp^éta(ion géométrique.