Étant donnée une biqt]adratfo|ue C4, combien a-t-elle de

( iS7 )

^àadrîques circonscrites quadrillées? CeUe question estéoi^nue et se résout aisément de plus d*une maniéré. Si Ton projette à^ d*un de ses f^oints. A, sur un plan quelconque, cette f)i^ôJection est une cubique non singulière; les traôes et 0' des génératrices AO et AO' d*une quadrfque quadrillée F sont, en vertu d*un paragraphe précédent, des pointé correspondants de lu cubique; le plan AOO^ est tangent à F et contient ta tangente AT à C4; donc et 0' sont alignés sur la tracé T de AT. liécîproquement, si et 0' sont deux points correspondants de là cubique, alignés sur T, la quadrique circonscrite F définie par AO a pour plan tangent OAT, pour seconde génératrice AO' et les quadrangles inscrits dans la cubique sont les projections de quadrangles inscrits à C4 et appartenant à la quadrique F; celle-ci est donc quadrillée.

Le problème est ainsi ramené & trouver deux points correspondants d*une cubique alignés sur un point donné T de la courbe. Dans la représentation d'une cubique non singulière par les fonctions elliptiques, les arguments de trois points en ligne droite ont pour somme un nombre entier de périodes; deux points correspondants, ayant même tangentiel, ont des arguments qui diffèrent d'une demi-période et, comme il y a trois demi-périodes, il y a trois genres de points correspondants; ensuhe^ si u est Fargument de T et t? celui dé 0, celui de 0' sera ^ -^ â période et ti -^ 2t; vaut une demi-péif*iode, ou ~ + t; vaut un èjuart de période. Or il y a douse quarto de période^ donc douze valeurs de v, donnant six couples de points etO'^ Le problème a six solutions.

On sait que la géométrie conduit au même résultat : les points inconnus 0, 0' et le point donné T étant en ligne droite, il en est de même de leurs tangentiels P, P^ U; mais et 0' étant correspondants, P' coïncide avec P, et U est le tangentiel de P. Or, de U on peut mener à la courbe quatre tangentes ayani leur contact ailleurs qu'en U; Tune est UT; soient P^, P^, P5 les contacts des trois autres; chacun de ceux-ci est le tangentiel d'un quadruple ayant T pour un de ses points diagonaux, et foiifnit donc ttedx Sdluttonls du problème.

Od voit par là qu*il y a six droites issues de T et rencontrant la cubique plane en des points correspondants; la méthode géométrique donne un arrangement de ces droites en trois couples répondant aux trois genres de points correspondants. Cet arrangement, dont on verra Tutilité, se serait révélé aussi par Fexamen attentif des quarts de période.

Rapportons la cubique plane au triangle ayant pour sommets les points et 0' et leur tangentiel commun P. Les termes en xî, xl, 3rl manquent dans Téquation. Puisque la tangente en O (a?i = X3 = 0) est le côté PO (x^ «= 0), le terme en x^jc^ fait défaut, et de même le terme en o^'x^; Téquation de la cubique plane a la forme

ax\x^ -k- 6x4X5 -4- 2cxiar,Xs -f- rfx'Xs -+- exjxj = 0.

La première polaire du point P(x^ = xz «=» 0) est

aX|Xs -+- 6x4X3 -♦- cxjXs ==0.

En soustrayant, de Téquation de la courbe, ce dernier polynôme multiplié par x^, on obtient

cxjXjXj -4- dxlxz •*- exjxj = ou XîX3(cx4 -»- dx^ •¥■ cxs) = 0.

Les trois droites représentées par cette égalité passent par les contacts 0, 0', Oi, 0^ des tangentes issues de P; la troisième est donc la droite OiO^ ; elle rencontre 00' au point donné T. Une droite quelconque par T,

, , dx, -*- exz

CX| -f- axj -f- exa = fcxi ou X| = — ; »

rencontre la courbe en des points définis par Téquation

(oxj -f- 6x3) (rfx, -♦- ex^Y -I- 2 (A; — c)cxjX5((/x, -+• 6X5)

•*• {k — c)*XtX5(^x, -♦- exj) = 0,

ou, en divisant par (dx^ •+- ex^) et simplifiant,

adxl -¥• x^^(ae -*- 6rf — c* -«- A:*) -+- bexl = 0.

Pour que la droite issue de T soit tangente en un autre point de la courbe, il faut que la dernière équation en x^ : x^ ait deux racines égales, ou que Ton ait

{ae -^ bd — c" -+• fc*)* = 4a6(/6.

Cette égalité ne contient que les puissances paires de k; ses racines sont, deux à deux, égales et de signes contraires. Les tangentes issues de T sont donc, deux à deux, séparées harmoniquement par les droites TOO' et TOiO^. Ces quatre tangentes peuvent être groupées deux à deux de trois manières, et chaque fois les deux couples définissent une involution; les rayons doubles de ces trois involutions sont les six droites issues de T et rencontrant encore la cubique en des points correspondants. En d'autres termes, si les tangentes issues de T sont représentées par une forme biquadratique binaire^ les six droites telles que TOO' sont représentées par le covariant sextique de la forme.

Transportons ce résultat sur la biquadratique gauche C4. Le plan mené par la tangente AT à C4 et par le sommet C^ d*un des quatre cônes du second ordre perspectifs à la courbe, touche encore celle-ci au point où elle recoupe le rayon G,- A. La trace de ce plan est donc tangente à la cubique plane en un point autre que T. Diaprés ce qui précède, les plans AOO' et AO^Os» tangents à deux des six quadriques quadrillées, séparent harmoniquement les plans tangents en A à deux couples de cônes (C,). Dans le faisceau de quadriques ayant pour base C4 il y a quatre cônes; ceux-ci peuvent, de trois manières, être répartis en deux couples qui sont donc séparés harmoniquement par deux des six quadriques quadrillées circonscrites à C4. On remarquera Tanalogie de cette propriété avec un théorème démontré plus haut pour deux coniques formant un système quadrillé.

On peut donc formuler Ténoncé suivant :

Par toute biquadratique gauche de première espèce^ il passe six quadriques quadrillées. Dans le faisceau F + kF^ ayant pour base la courbe 04, t7 y a quatre cônes définis par une forme

biqua^ratique m k; le$ six qu^driq^es quaçlriilées mnu,ieni le comriant sexUque de cjette forme.

Les quadriques quadrillées sont coonucis et portent hi^bitii^el.lement le nom de quadriques de Voss. La dernière propriété énoncée est connue aussi, mais elle n'a, croyons-nous , été démontrée que par remploi des fonctions elliptiques.

Il serait possible d'écrire le covariant simultané de deux quadriques qui représente les six quadriques de Voss du même faisceau. Soît, en effet,

al -H A;o;' «

ce faisceau. Les valeurs de k qui donnent des cônes sont les racines de Féquation

(abedf -f- U{ahca'f -^ 6k}(aba'by -♦- 4A»(ao'6'c7

^ k\aV&dy = 0.

Il suffirait d'écrire le covariant sextique de cette forme et d'y remplacer k par — (a% : a2).

Vqici encore une conséquence de l'étude actuelle : les côtés opposés d'une des six séries de quadrangles inscrits dans c^ déterminent une jnvolution sur une directrice quelconque du système réglé qu'ils engendrent. Chacune de ces douze involutions ayant deux éléments doubles, on retrouve ce théorème coqnu : Jl arrive vingt-quatre fois que deux tangentes à la biquadratique et leur corde de contact sont génératrices d'pne même quadrique circonscrite.

D'ailleurs, ^u numéro précédent, on avait trouvé les quadruples de points de C4 appartenant à une quadrique quadrillée et l'on avait reconnu que ces quadruples s'arrangent en couples tels que le plan osculateur en chaque point d'un couple passe par l'autre point du couple. Comme il y a six quadriques quadrillées, on en tire cette conséquence, identique au fond au théorème précédent : Sur toute biquadratiqtM gauche de pretnière espèce, il y a vingt-quatre couples de points tels que le plan osculateur ^n chacun des points d'un couple passe par l'autre point du couple.

BiquadMitique ganehe ratkmneUa.

1.9. On sait que tout cône perspectif & cette courbe est du quatrième ordre et possède (rois génératrices doul^iles.

Soit AB une bisécante de la courbe y^ et, s'il est possible, sur cette bisécante un point P qui soit le sommet d*un cône quadrillé, de manière que deux côtés opposés de chaque quadran^le inscrit rencontrent PAB, les deux autres s'appuyant sur une autre bisécante PCD. Les propriétés des quartiques planes trinodales quadrillées donnent, par .projection, la condition pour que le point P réponde à la question : Les plans tangents au cône (P) issus de PAS doivent toucher ce cône suivant deux génératrices situées dans un plan contenant PCD. Ou encore : Si M et N sont les contacts des tangentes à 74 qui rencontrent PAB, il faut et il suffit que MN rencontre CD. Mais les bisécantes qui rencontrent MN engendrent une surface de troisième ordre contenant la courbe y^ et coupant PAB en un seul point P.

Soit ensuite Q un point de AB tel que le cône de sommet Q perspectif à la quadrique soit quadrillé, mais de façon que .les couples de côtés opposés des quadrangles inscrits rencontrent les deux autres bisécantes QEF, QGH issues de Q. JD'après un théorème établi pour les quartiques planes, les plans tangents au cône (Q) le long de la génératrice double AB doivent séparer harmoniquement les plans (AB, EF) et (AB, GH)..Or, ces plans tangeuts sont déterminés par AB et par les tangentes à 74 respectivement en A et B; les couples de plans séparés harmoniquement par ces deux plans tangents sont en involution quadratique. Dautre part, les plans déterminés par AB et par les seconde et troisième bisécantes issues d*un point variable de AB sont aussi des couples d*une involution quadratique ayant pour éléments doubles les plans qui contiennent les trisécantes issues de A et de B. Deux involutions ont un seul couple commun; il y a donc sur AB un seul point Q répondant à la question. Toutefois, si la tangente en A à 74 rencontre encore

la courbe, les deux involutions ont un élément double commun et n'en ont point d'autre ; alors Q coïncide avec A. Et si les tangentes en A et B à 74 rencontrent encore la courbe, les deux involutions ont les mêmes éléments doubles et coïncident; alors tous les points de AB sont des points Q.

En résumé, sur une bisécante quelconque, il y a, en général, deux points P et Q, sommets de cônes quadrillés circonscrits.

Le lieu des sommets des cônes quadrillés est donc une certaine surface S qui peut contenir la quartique comme courbe multiple d^ordre x. Une bisécante coupe S en deux points simples et deux points x"p^^^; par suite, le degré de la surface est 2x + 2. Une trisécante à trois appuis distincts ne peut pas rencontrer S en dehors de 74, d'où il résulte que le degré de la surface est aussi Sx. Finalement x est égal à 2 et la surface S est de sixième ordre.

La courbe 74 possède, comme on sait, quatre tangentes qui la rencontrent encore; les six droites joignant deux à deux les contacts de ces tangentes sont tout entières sur S. Si A est un de ces contacts, une bisécante quelconque par A ne perce plus la surface qu'en un seul point P, car on on a vu que le point Q coïncide avec A. Donc ces quatre contacts sont des points triples de S. Les tangentes en ces points rencontrent la surface en un point double, un point triple et encore un point double infiniment voisin du point triple, ce qui équivaut à sept intersections; ces tangentes sont donc tout entières sur S.

Le lieu des sommets des cônes quadrillés perspectifs à une biquadralique gauche rationnelle est une surface du sixième ordre ayant la biquadralique comme courbe double, possédant quatre points triples aux contacts des tangentes qui rencontrent encore la courbe, et passant par ces tangentes et par les six droites qui joignent, deux à deux, les contacts de ces tangentes.

20. On sait que la biquadratique rationnelle possède trois cordes, les cordes principales de Bertini, qui sont chacune l'intersection des plans osculateurs à la courbe en leurs extrémités; ces cordes se coupent en un même point R.

Pour obtenir Téquation de la surface sextique S définie au numéro précédent, nous ferons usage de la représentation paramétrique de la biquadratique,

Dans cette représentation, due & M. Bertini (*)f les plans xi = et 074 «a sont respectivement les plans osculateurs aux appuis M et N («a et tù = (») d'une corde principale; les plans x^ et x^ sont respectivement les plans tangents en M et N et contenant les trisécantes issues de M et N.

Si (ùj^f GDg, »39 a>4 sont les paramètres des quatre intersections de la courbe avec un même plan, on a

Cette égalité représente donc Tinvolution des points coplanaires (**); en posant

cette égalité devient

pp' -*- p -*- p' -♦- ss' -♦- a* = 0.

Si a^ = est réquation du plan passant par les quatre points 60^9 Go^, €05, 01)4, on a

d'où

pp' — . ps^ -^ p^s=^ >

(Xj OC]

et, en tenant compte de l'involution eoplanaire,

(*) Bbrtini, Rend. ht. Lomh., 1872, pp. 622-638. (*") Voir Bbrtini, toc. eiU

de sorte que Téquation du plan devient

(s -f- «')xi — X, -♦- pp'Xi -+- (ps' -*- p'«)x4 = 0.

Connaissant un point x quelconque dans l'espace et deux points de la courbe définis par les fonctions symétriques s et p de leurs paramétres ui, cd^, on trouve les deux autres points (1)5, 6)4 où le plan des trois premiers coupe la biquadratique, en résolvant, par rapport à s' et p', Inégalité précédente avec Tinvolution coplanaire. Cependant, ce système est indéterminé quand on a

a:, -I- pXi pXi -t- 8Xi 8X^ — flTs

Telles sont donc les conditions pour qu'un point x soit sur une bisécante tù^tù^ («, p). Ou bien, les x étant variables, ce sont les équations de cette bisécante; ou encore, « et p étant les inconnues, ces relations donnent les trois bisécantes issues dex.

Pour avoir les trois valeurs de p répondant aux trois bisécantes, il faut éliminer s de la matrice : les deux dernières

colonnes donnent

px^ip -k- à") -^ Xi{p -«. i)

STiip -+- t) — X4(p ^ 0*j

En mulipliant la seconde colonne par x^, la troisième par X4, en soustrayant et combinant avec la première colonne, on a

Xf -t- pXi pXiXs -♦- XfX^

d'où

8 x/p -♦- 1) — Xiip -4- a*)

(x, -♦- pxi) [x,(p H- i) — x^ip -¥- a*)}

pXiXj -♦- XiTi

Egalons les deux valeurs de «,

(P) (pxix, -♦- XiXi) [pxiip -fr- a*) -+- Xj(p ^- i)]

« (x, -♦- px^) [X|(p -4- i) — X4(p -♦- a*)f.

Cette équation en p est du troisième ordre; ses coefficients sont cubiques en x et s'annulent tous pour â^i «s 0:4 «» 0.

Pour trouver Téquation de la surface S, lieu des sommets des cônes quadrillés, rappelons que, si x est un tel sommet, situé sur une bisécante (Oitù^ («, p), la corde des contacta des tangentes rencontrant cette bisécante u^gù^ doit s*appuyer sur une autre bisécante issue de x. Soit on le paramètre du contact d*une de ces tangentes : diaprés Tinvolution eoplanaire, on a

Si (0^ et u^ sont les racines de cette équation et si Ton pose

Pt "= «/«#, «, = w, -4- û?;,

on a

Alors, une autre bisécante issue de x étant (o^^^(s\p^)^ on

a aussi

p'p, -♦- p' -♦- p, H- s'St -*-■ a' = 0,

i ou

p\p H- a") -f- p'(p + 1) -*- p -4- o* — 2ss' -♦- a}(p -h t) = 0.

Par riniermédiaire de Tinvolution eoplanaire qui lie «, p à s', p', on peut éliminer m' : on a

p'(p -f- a*j -f- p'(p H- i) -*- p -4- o* -H 2pp' H- 2p H- 2p'

4pp' H- (p -f- p') (a' H- 3) -i- 4a' = 0,

ou, enfln, en posant 46 = a^ h- 3,

pp' -4- b{p -♦- p') -+- o' = 0.

Pour que x soit un point du lieu cherché, il faut que l'équation (P) ail la relation ci dessus entre deux de ses racines; ou,

si Ton appelle p, p', p" ses trois racines, il faut que le produit symétrique suivant soit nul :

[pp' + 6(p +p') -^ a"] [py -♦- 6(p' -f-p") -*-«*] [p"P -+• t(p" -f-p) -*- o«]

= (ppy)^ -^ 26pp'p"i:pp' + aVp'p"Sp -«- 6« [pp'p"Sp + (Spp')'] + a^bl^pp'Iip -^ ^a^hfyp'p" -^ a*Spp' -+- 6»(i:pSpp' — pp'p") + a«6'[(Sp)«-f-Spp']^-2a*62p-♦-fl^

En remplaçant pp^p^\ ^PP\ ^P par leurs valeurs tirées de l'équation (P) et qui sont des fonctions cubiques de x, dans le produit précédent, et en égalant à zéro, on trouve Téquation du sixième ordre représentant la surface S.

En faisant xi^==x^e=0 on annule tous les coefficients de réquation (P), donc on annule deux facteurs dans chaque terme de réquation S; lous les points de Tarète œ^Xj^ du tétraèdre de référence sont donc des points doubles de la surface S. Mais cette arête est une corde principale et, par raison de symétrie, la même propriété appartient à chacune des trois cordes principales; leur point commun R est donc un point triple de la surface S. (Dans notre article des Nouvelles annales de mathématiques^ nous avons dit, par inadvertance, que ce point R est un point double de la surface.)

La surface S, lieu des sommets des cônes quadrillés perspectifs à la biquadratique gauche rationnelle a pour droites doubles les cordes principales de la courbe et pour point triple le point commun à ces cordes.

En se reportant à ce qui a été dit précédemment sur les quartiques trinodales quadrillées, on voit que si le centre de projection est sur une corde principale de 74, la courbe plane a un point double d'inflexion et deux séries de quadrangles inscrits; que si le centre de projection est en R, la courbe plane est triplement quadrillée à trois points doubles d'inflexion.

Surfkuses du qaatrième ordre.

21. On a vu qu'une quartique plane binodale est quadrillée quand son équation

-f- x[(a^\ -^ 26,ar8X| -f- CjxJ) —

satisfait à la condition A ^ (afrc) »== 0. Les éléments de ce déterminant,

oi; 6i»fli; <7|» 6ai as; c,, 6»; c,

sont respectivement les coefficients des termes de degré 0, 1,2, Zy 4 en x^ .

Soit à présent une surface du quatrième ordre ayant deux points doubles aux sommets (124) et (134) du tétraèdre de référence. Son équation ne contient ni x^ ni x^ à une puissance supérieure à la seconde, mais Xi et x^ jusqu*à la quatrième. Coupons par un plan x^^^s^hci. La courbe d'intersection, projetée du sommet (123) sur la face 0*4, s'obtient en substituant hci à X4. Les termes de l'équation résultante qui contiennent x^ à la puissance t contiennent 1 tout au plus à la puissance t. La section sera quadrillée quand le déterminant A sera nul. Les éléments de ce déterminant contiennent A au plus à des puissances indiquées dans le tableau ci-après :

de sorte que A s'annule pour six valeurs de X. Il y a donc six sections par les nœuds qui sont quadrillées.

Les troisièmes points diagonaux des quadrangles inscrits sont sur six coniques. Chacune d elles est, dans le plan de la section correspondante, la première polaire de Tun des nœuds relative à la première polaire de l'autre. Ces six coniques sont donc sur une même quadrique, savoir la première surface polaire de Tun

des points doubles relative à la première polaire de Tautre point double prise par rapport à la surface initiale.

Nous avons donc ce théorème : Dans toute surface du quatrième ordre à deux points doubles, il y a six séries de oo^ quadrangles inscrits ayant deux de leurs points diagonaitx aux deux nœuds. Les qtiadrangles de chaque série sont dans un même plan et les troisièmes points diagonaux de tous ces quadrangles engendrent six coniques situées sur une même quadrique.

Les plans passant par les points doubles d'une surface binodale ne donnent pas toutes les sections binodales. Il faudrait considérer en outre les sections par les plans contenant un des nœuds et tangents en un autre point de In surface, et même les sections par les plans bitangents.

Ces dernières sections seraient aussi à étudier dans la surface du quatrième ordre la plus générale. On sait que dans cette surface les plans bitangents sont en nombre simplement infini; donc, il y a en a un nombre fini donnant une section quadrillée. Encore que Fénumération de ces plans soit possible, il exige un calcul trop long pour un résultat peut-être sans intérêt.

Jl nous semble préférable d'examiner quelques surfaces spéciales du quatrième ordre contenant des points doubles en nombre simplement infini. Ces points doubles, s'ils ne sont pas tous en ligne droite, peuvent être répartis en oc^ couples. Par chacun de ces couples il passe six sections quadrillées avec points diagonaux aux points doubles. Ces oc^ plans enveloppent une surface; les oc^ diagonales des quadrangles engendrent un complexe; les troisièmes points diagonaux sont sur oc^ coniques.

Surface de Steiner.

22. Considérons en premier lieu la surface romaine de Steiner, dont l'équation peut s'écrire

S ^ X\xl -¥- Xlx\ -*- x\x\ âXiXiXsJT^ = 0,

le sommet (123) du tétraèdre de référence étant le point triple.

et les aréces (t2), (13), (23) éfant les droites doubles. La quadrique polaire d*UQ poinl double (0, 0, 2/5, y^) est

^W -*• ^\yl — 2X|X,yîy4 = 0.

On voit qu*ellc se compose toujours de deux plans, et que ceux-ci coïncident quand on a f/3 =» ±: 7/4. Il y a donc, comme on le sait, sur chaque droite double, deux points cuspidaux séparés harmoniquement par le point triple et par la face Xj^ du tétraèdre fondamental.

Une section plane quelconque est une quartique à trois nœuds A, B, C situés respectivement sur les arêtes (12), (13), (23); pour qu'une telle section ait des quadrangles inscrits à points diagonaux en B et C, il faut et il sullit que les tangentes en A séparent harmoniquement B et C, donc que les plans tangents en A à la surface séparent harmoniquement les faces I et 2. Mais Téquation précédente représente ces deux plans tangents et elle montre qu'ils sont harmoniques par rapport à Xi et x^ quand ^4 = et seulement dans ce cas. Il faut donc que A soit le sommet (124) du tétraèdre.

Les plans des sections quadrillées de la surface de Sfeiner forment trois gerbes ayant leurs sommets aux conjugués harmo* niques du point triple relativement aux couples de points cuspidaux sur les droites doubles.

Une seule section plane, celle produite par la face X4, admet des quadrangles inscrits ayant leurs trois points diagonaux aux trois nœuds.

Un plan quelconque, x^^^^^ix^ «f-vx^, par le sommet (124) coupe donc la surface S suivant une quartique quadrillée et le lieu du troisième point diagonal des quadrangles inscrits est une conique. Si B et G sont les points doubles de la section quadrillée sur les arêtes (23) et (13), les coordonnées de B sont 1, 0, 0, fx, celles de G sont 0, 1, 0, v et la conique en question est la première polaire de B relative à la première polaire de G par rapport à la section. Cette conique est donc sur la première surface polaire de B relative à la première polaire

de G par rapport à la surface S, c'est-à-dire sur la quadrique (PS d*S d'S (PS

fjLV

dx\ dx^Xi dXidx^ dxidx^

^ 2[ — fiXiXs — vx»Xj -♦- (2xjXî — XjX^)]

^ 2[2(X|X, — XbXi) -♦- Xi(xi — fiXi — yx<)] = 0.

L'intersection de cette surface et du plan X4 == fxaci -f- vxg est la conique cherchée et Téquation montre que, pour toute valeur de iJL et y, celte conique est sur la quadrique

X|Xj — X5X4 == 0,

Ainsi, bien que la gerbe de sections quadrillées donne une double infinité de coniques pareilles» ces courbes ne forment qu'une quadrique. En intervertissant les rôles des droites doubles, on trouve donc ce théorème :

Les troisièmes points diagonaux des quadrangles inscrits dans les sections quadrillées de la surface de Steiner engendrent trois quadriques.

23. Les plans tangents à la surface de Steiner et issus du sommet considéré (124) touchent la surface sur la première polaire de ce sommet, c'est-i-dire sur la surface cubique

-— ^ 2(x5x| -♦- XgX* — XjXjXi) = 0.

dxz

En multipliant par x^^ retranchant de 2S et supprimant le facteur ^x^x^ étranger à la question, on retrouve la quadrique rencontrée plus haut,

XjXj — x^Xi = 0.

Elle contient deux droites doubles de la surface S, savoir x^x^ et 0:2X5, et deux autres arêtes, X1X4 et x^x^^ du tétraèdre de référence. Elle coupe donc encore S suivant une biquadratique gauche ayant un point double au sommet (124); cette biquadratique est la courbe de conïact du cône circonscrit ayant pour sommet le point (124).

La section par un des plans tangents issus de ce sommet est quadrillée; mais elle se compose de deux coniques, et Ton a vu que les tangentes au quatrième point commun sont séparées harmoniqement par les droites doubles (13) et (23), et ces tangentes en ce quatrième point sont les tangentes inflexionnelles de la surface. Réciproquement, si les tangentes inflexionnelles en un point de la surface sont liarmoniquement séparées par * deux droites doubles, la section par le plan tangent est une section quadrillée et le plan passe par un des sommets (124), (134), (234) du tétraèdre de référence.

Dans la surface de Steiner, le lieu des points où tes tangentes inflexionnelles sont harmoniquement séparées par deux des droites doubles est une biquadratique gauche ayant un nœud sur la troi^ sième droite double.

24. Pour chaque gerbe de sections planes quadrillées, les diagonales de quadrangles inscrits engendrent un complexe. Disons un mot de ces complexes.

Coupons la surface

S ^ x\x\ -t- xfxî -*- x\x\ — !2X|X,XsX4 = par le plan d'une section quadrillée, par exemple

Xi= [tX^ -¥• ifXz\

la courbe d'intersection, projetée sur la face or^, du sommet opposé, a pour équation

Xjxî -h X5XÎ •+- X\x\ — 2XiXjX3(f*Xj -¥■ vXj) = 0,

Xg Xj "I" X| "~~ jLVX\X<^

Un quadrangle variable inscrit a pour couples de côtés opposés

kx\ -*- 2/^X4X5 — xj = 0, kx\ -♦- xî -H x? — 2vxiX, = 0.

Pour avoir les diagonales de ce quadrangle, il faut chercher un produit de deux formes du premier degré qui soit une

( 202 ) combinaison linéaire des deux fonctions précédentes. On trouve

[(i H- A)x, — vxi — V (A:x5 +• ic^x,)]

= (i +■ A:)'xî — 2y(i -4- A;)x,r4 +■ v*xî

; — r/c'xî -4- 2/c^X3X, -+- M*a;î]

ft* -4- A:

s(l -♦- A;)[(i -4- fc)x| — 2v.r,X4 -»- xî]

(Axî -4- SiOXjr, — xî).

Nous avons donc, dans la première de ces trois lignes, le produit des diagonales du quadrangle variable. Exprimons qu'une de ces diagonales passe à la fois par un point x et par un point y.

(i-4-/c)X2-VX4=:=fc V -— 7-(A:X8-l-^,), ^Xs-f-VXs— X4«=0,

^ u -hic

/tu I

Pour avoir le complexe des diagonales, il suffit d'éliminer k, [X, V. Les deux dernières relations donnent

XîJ/s — Xst/s Pi3 PS3

en appelant p^^ les coordonnées homogènes de la diagonale. Les deux relations (t) de gauche donnent par division

(2) k{i -4- k)pn == /^(i -*- k)Pii -*- î'^Pi»;

en multipliant par j/g la première des relations (1), par x^ la seconde, et retranchant, on obtient

(1 H- k)p,, = d: y 5-—— kpa.

( 203) d^oùy en élevant au carre et chassant le -dénominateur,

k{\ + A) [(1 ^ k)pU ^ kpl] « v»/t>î, - a\\ ^ k)Y,;

en divisant par Tëquation (2), on trouve successivement

Plî(Pll -*- A'Pm) -^ Pl3(Pi5 — î'Pfs)

Ptt(Pi% + Wb) -♦- PiiiPiz — '-'Pn)

Substituons ft A: et 1 -+- A leurs valeurs dans régalitc (2) :

— Pi*PtzPiz{pit "^ f^Pn) (Pa — ^Pa) = Pi«pj5[pn(pit +• f^Pn) -*- P.i(p.» - l'M M Pis — ï'Pia) — î'IPii -*■ A*Pa)].

SimplJGons par Pi^Pis et remplaçons |jip23 par P43 et vp^^ parp24,

PisfPu -*- P») (Pl3 — Pu)

== rPn(^« -^ P43) -^ Piz(Piz — P,*)] [Pisfpis — Pn) — Pit(Pn -^ Pis)].

C*est Péquation d'un complexe du quatrième ordre. Dans chacun des termes, deux facteurs s*nnnulent si Ton pose

Pu -♦- p« = 0, p,3 — Pu = 0, ou, pour employer une notation plus usitée,

Pu — Pm = 0, p,5 + Pu — 0.

Ces dernières égalités représentent donc une congruenee linéaire double pour le complexe. Les rayons de celte congruenee rencontrent tous la droite commune aux plans

a^i -♦- Xb = 0, X4 -♦- X4 = 0,

car les coordonnées tangentielles de ces plans peuvent s'écrire

el les coordonnées de leur intersection sont

— 9« = — 9I5 «= — 9« « çii = i , 9u = çis = 0, d'où

S?ttPrt = — PiJ — Pis — P« +• P54,

et cette expression est nulle si la droite p fait partie des deux complexes Pi2-4-P34=0 etpi3 — p^^=0. Or ^4 = — x^ représente le plan mené par Taréte (14) du tétraèdre et par un point euspidal de l'arête opposée, sur laquelle est aussi le sommet(234) de la gerbe considérée. Et x^ + x^=iO représente le plan tangent à la surface S au point euspidal en question. On vérifie de même que les rayons de la congruence double rencontrent aussi la droite

j-j — Xj = 0, X4 — OTi =

qui passe par l'autre point euspidal de Taréte (23).

Les diagonales des quadrangles inscrits dans les sections qua^' drillées d'une même gerbe engendrent un complexe du quatrième ordre ayant une congruence linéaire double. Les directrices d^ et d^ de cette congruence passent chacune par un des points cuspidaux alignés sur le sommet de la gerbe, sont dans le plan tan^ gent en ce point euspidal et s'appuient sur C arête opposée du tétraèdre.

Un cône quelconque du complexe est du quatrième ordre et a une génératrice double s'appuyant sur d^ et d^\ une courbe quelconque du complexe est de quatrième classe et possède une tangente double s'appuyant sur d^ et d^.

Les trois gerbes de sections quadrillées donnent trois couples de droites d^, d^. On voit aisément que chacun de ces couples de droites forme, avec les arêtes du tétraèdre de référence sur lesquelles elles s'appuient, l'intersection de deux des trois quadriques

lieux des troisièmes points diagonaux des quadrangles inscrits.

26. Si l'on prend encore la gerbe de sommet (234) par exemple, les côtés des quadrangles inscrits qui rencontrent les

arêtes (IS) ou (13) du tétraèdre de référence forment, trop évidemment, deux complexes linéaires spéciaux. Mais on peut se demander quelle figure ces couples de côtés engendrent quand le troisième point diagonal des quadrangles reste fixe sur la quadrique

Soient mn, m, n, 1 les coordonnées d'un point de cette surface, et supposons que, dans une section quadrillée par le sommet (234), un certain quadrangle inscrit envoie ses deux diagonales par le point en question. D'après le numéro précédent, ce fait s'exprime par les relations

ictmn),

(i -^ k)m — vmn = \/ — (kn

▼ /ur -*- k

(1 -*- k)m — vmn «= — \/ — {kn -¥■ fimnV

d'où l'on lire

i -4- A; = y», /c == — fjLtn,

Dans chaque section quadrillée de la gerbe (234), les côtés des quadrangles inscrits qui rencontrent l'arête (12) forment l'involution

(1 H- k)x\ -^ X\ — 2vJ7|X, ■= 0.

Ces diverses relations doivent être combinées avec

X^ = flX% -t- vx^

et il faut en éliminer |jl, v, k. On a successivement ynx\ -♦- rrj — 2vX|X, = 0,

Xs{2x, — X,)

\ — vn âXjXj — n{x\ -+- x|)

m «iiXj(2X| — X,)

»wXîX4(2x4 — wxj) -»- nxs(xî -♦- xî) — 2x,xî — x\xi =» 0.

Cette équation représente une surface du troisième ordre ayant l'arête (12) pour droite double.

Dans chaque gerbe de sections planes quadrillées, il y a une infinité simple de quadrangles inscrits dont les diagonales se coupent en un point donné de la quadrique TiiK^s=»x^\^. Les couples de côtés opposés de ces quadrangles engendrent deux surfaces cubiques ayant chacune pour droite double une arête du tétraèdre fondamental.

Surface du quatrième ordre à cubique gauche double. £6. Les équalions paramétriques de la courbe double étant

la surface considérée la plus générale a pour équation, comme nous Tavons montré dans TEtude précédente,

aissSaaX,X, = 0, (a« = ««), (t,^« 4,2,3),

pourvu que Ton pose

Xi ■= XjX^ — x\f Xj ^ XsXs — X1X4 , Xs = XjXj — X* .

Les oc^ sections planes sont des quartiques trinodales, parmi lesquelles 00^ sont quadrillées. Les plans de ces dernières enveloppent une surface. Pour chercher Téquation de cette surface, nous appliquons le principe de translation de Glebsch avec une modiCcation qu'il convient de signaler.

Pour Tusage que Ton fait de ce principe dans la théorie des invariants d'une surface, la plus générale de son ordre, chaque plan est déterminé par trois quelconques de ses points. Ici il est question d'une surface spéciale et le plan u d'une section sera défini par les trois points où il coupe la courbe double. Soient ^i9 ^S) ^3 l^s paramètres de ces trois points, généralement distincts; un point quelconque du plan u a pour coordonnées

px, «= m\ -*- fAii -♦- V^,

pX5 = A5, -t- /llB^ -♦- vos,

et \ fA, y sont, dans le plan u, les coordonnées du point x rapporté au triangle dont les sommets sont 8^, O^, 63. Portons les valeurs de ar^-, d'abord dans les formes X^ :

p«X, =» (A6Î + A*6Î H- v»î) (Xô, -+- ^e, -t- pB^)

— (Aeî -♦- A^eî -♦- vôî) (x -h A« -♦- v)

— £ — XA£(e, + e.) (e^ — e,)«,

p«X8 « (xeî -H /z6Î -t- v«î) (xe* -♦- Me, -+- va,)

— (xeî H. At^î ■+- voî)* = 2x^0,(6, — a,)".

La substitution dans Téq nation aj[ «» donne le résultat symbolique suivant :

12(01 - 19,) VK - «,;«, -*-«,)-♦- ojeA]!" — 0.

Pour que la seciion soit quadrillée avec des quadrangies ayant deux points diagonaux en 6| et 6^, nous avons vu que le terme en ^ |x v^ de Téquation précédente doit s'annuler; donc, si Ton fait abstraction du facteur étranger, généralement non nul, (62 — 63)2(63 — 6i)2, on doit avoir

[o, — 0^% -¥■ \) -f- cijdjdj] [a, — «î^e, -f- e|) -♦- (hh^i] *= 0.

Développons, sous forme non symbolique,

«Il — a«(25 -♦- ^5) -♦• «jj^ejSe — ej) -♦- ««(SeiQj -+- eîj — (ïtt(e,e,9j -H ejSeiej) -4- «53^1^,9! = 0,

ou encore

o« — on^ie -•- a^SOie, — aM9|9,e8 — e5(a„ — a^jSe -t- OisSejej — aBjejeje^)

en abrégé

n et p étant des fonctions symétriques de 6^, 6^, 63. 11 est facile d'introduire ici les coordonnées du plan «4, car on a

appelons M, N, P ce que deviennent m, n, p quand on fait ces substitutions; en d*autres termes, écrivons

M =s=s m s=a ajj — ai5 ,

Nt/, — — (a«U| ■+• ««II, -^ OttW, -t- O55M4),

Pu, = antti H- aistis -♦- Ojjt/j -♦- a»!!* .

L*équation wiGJ -4- wGj -h p = devient alors

Mdl -4- Nd, -^ P == 0.

Elle exprime une certaine liaison entre un plan u et un point 65 de la cubique ; si, en outre, ce point est dans le plan u, ou si Ton a

ti|6j -♦- Wj^l -*- ^565 -*- tii = 0,

le plan u est une section quadrillée. L*enveloppe de ce plan se trouve en éliminant simplement 65 entre les deux dernières égalités. Le résultant est un déterminant à cinq lignes; mais les formes N et P contiennent Ui en dénominateur; pour chasser ce dénominateur, on multiplie les trois premières lignes du déterminant par u^ et Ton divise ensuite la première colonne par Ui; on obtient

Mu,

(Nu.)

tl*

(Pu,)

tt*

C*est réquation tangentielle d*une surface de quatrième classe. Elle est vérifiée pour u^ = (Pwi) = 0, et ces deux relations représentent deux points; la droite qui les joint est donc tout entière sur F4. Mais v^^^^^O représente le sommet (123) du tétraèdre de référence ou le point de paramètre nul de la cubique gauche. Ce point peut être évidemment un point quelconque de la courbe; donc F4 est une surface réglée et, par suite, elle est du quatrième ordre.

On pouvait prévoir que Tenveloppe cherchée serait une surface réglée en se reportant à Téquation

mej -i- «03 -♦- p =

qui, pour chaque valeur de 63, donne une involution de points 6^ et 0^. Les droites joignant ces couples de points engendrent un système réglé et sont projetées du point 65 suivant un faisceau de plans; Taxe de ce faisceau est une génératrice rectiligne de l'enveloppe cherchée F4.

Nous pouvons obtenir les plans tangents doubles de F4, ou les plans des sections doublement quadrillées de la surface initiale donnée S4. Si u est un de ces plans, il présente la liaison

Me* + NôB +■ P =

avec deux des points où il coupe la cubique; donc cette équation et la suivante,

M465 -+- w,e^ -4- Wb's "H m* = 0,

ont deux racines communes, ce qui s^exprime par Tévanouissement d'une matrice à quatre colonnes et trois lignes; en chassant encore le dénominateur t/^, on obtient

. Mm, (Nw,) (Pw,) M (Nw,) (Pî/,)

i Ui t/5 U4

ce qui, d'après notre Première Étude, représente une développable de troisième classe ou la développable osculatrice d^une cubique gauche.

Ainsi, l'enveloppe des sections quadrillées d'une surface S4 du quatrième ordre à cubique double est une surface de quatrième classe F4, ayant une développable bitangente de troisième classe.

27. Quand une surface réglée de quatrième classe a une développable bitangente de troisième classe, elle a soit une cubique double, soit une droite triple. Il fam examiner lequel

( StO )

de ces deux cas se présente ici : la théorie de Télimination va nous fournir encore la réponse à celte question.

Remarquons que, si 63 désigne un point fixe de la cubique gauche, double sur S4, Téquation

MUiBl -^ (^U^)Bz -4- (Pm,) == OU

est celle d*un point y; fout plan u qui passe par ce point et par le point 63 est tangent à la surface P4 ; la droite qui joint ce point y au point O3 de la cubique gauche est une génératrice de F4. Un point x quelconque de cette génératrice est donné par les relations

OU, en développant,

— «1163 -*- «U == >a;a -*- /uej,

«8803 -♦- «22 = ^Z •*■ f^hi

En éliminant l^ t^» ^5» on a Féquation ponctuelle de F4. Éliminons d'abord /x : multiplions chacune des trois dernières relations par 65 et retranchons chaque fois de la précédente

«M^î — Sajgdj -♦- a^l = AX, — AôjXa,

«23^ («18 -^ «22)^3 -*- «1« = ><Xt X^Xj,

«53^1 âOjjôs -♦- a« = AX5 AÔ5X4 .

u faudrait encore éliminer > et O3 ; mais ce calcul est superflu : nous ne cherchons que les points triples de F^ s'il y en a; à cet effet, nous devons écrire les conditions pour que les trois dernières égalités soient satisfaites par trois systèmes de valeurs déterminées de ^ et O3. Or ces égalités sont, dans un plan rapporté à des axes cartésiens X et Ô3, les équations de trois coniques

ayant Taxe des 85 comme direction asymplotique commune. Pour que ces courbes aient trois points communs à distance finie, il faut qu'elles forment faisceau ou que Ton ait

«Il -♦- «M ^2

En général, ces conditions sont incompatibles. Mais elles représentent une droite quand on a

ait On

an -* a»

Telle est donc la condition pour que la surface F4 ait une droite triple. Elle exprime, entre la surface donnée S4 et sa cubique double, une relation invariante que nous allons interpréter. Observons d'abord que, si la condition se réalise, la droite triple de F^ est une bisécante de la cubique double de S4, car ses équations prennent la forme

^1 •♦- f*Xz -+- vXi ~ 0.