L'évanouissement de la matrice

Il a 6. c. rf. Ilî

représente aussi une cubique gauche. Donc le lieu des points de rencontre des rayons homologues de (rois espaces projectifs ayant un plan correspondant commun est une cubique gauche.

Cette courbe est située sur la surface cubique {b^Cj^^c) «==» et sur le réseau de quadriques

Ces quadriques coupent encore la surface cubique suivant les 00^ cubiques gauches

qui constituent, sur la surface du troisième ordre, un réseau, tandis que la matrice initiale || a b^ c^ d^ || "=" 0, où a, a\ a'^ sont des paramètres variables, représente le réseau conjugué (^). Si les équations

/6, -♦- mc^ -♦- iirf,= 0, IV, -¥• mc'j, -t- fidi= 0, Ib'J -+- mc'J -+- nd'J==^

(*) Comp. Reti, Math. Ânn,^ t. LV, p. 261, en note.

représentent trois plans passant par une même droite, ùù voit iras peine que cette droite est biséeante de toutes les cubiques du réseau || a bj^ c^. d^ || et qti^elle est tout entière sur la surface eubique (bj^Cjgdjg) =» 0.

L'élimination de x^, x^^ ^5, x^ entre les trois dernières relations, c'est-à-dire la condition pour qu'elles soient vérifiées par ooi systèmes de valeurs des œ, conduit à l'évanouissement d'une matrice à trois lignes et quatre colonnes de formes linéaires en /, m, n. Nous savons qu'une telle matrice s'annule pour six systèmes de valeurs de l, m, n. D'où ce théorème connu : Sur une êurfacê du troisième orêrê, toutes les cubiques d'un même réseau ont en commun six bisécantes formant la moitié d'un double-six de la surface.

Deux cubiques d'un même réseau, caractérisées respectivement par les valeurs a, a', a" et a^, a|, a,'' des paramètres, ont un seul point commun, défini par les relations

Il a (ï| 6, c, d, llî = 0,

lesquelles équivalent aux trois équations de plans

\ a fli 6, I = 0, \ a 04 c, I ate 0, \ a a^ d, j = 0.

Ce que nous avons dit au n*" 6 de la matrice angulaire conduit à cet autre résultat connu, que deux cubiques de deux réseaux conjugués ont cinq points communs, définis par les relations

et que deux cubiqu»* de deux réseaux conjugués sont sur une même quadrique, dont voici l'équation :

Les oofididérations oi^deséos 6*éténd6m èfsémmt. Arnsi, ta mmke

Il a 6 c, d, c. ||}

8*annule pour une cubique gauche située sur un réseau de quadriques dont on obtient Inéquation en faisant précéder la matrice d*ane ligne d^éléments 0, 0, \ (x, v.

Elle est aussi située sur un réseau de surfaces cubiques, oomme on verra plus loin. Le système de ses bisécantes est

Il a 6 te, -f- md, -♦- ne, ||| == 0.

Plus généralement, toute matrice à 1 lignes etl -v- i cùtonnes représente une cubique gauche sil — 2 colonnes sont formées de constantes et les trois autres de formes linéaires.

Goui^be du sixième ordt*e.

11. Étudions la courbe annulant tine tn&triûe à trois lignes et quatre colonnes de formes linéaires. Ses propriétés ont été exposées par M. Schur (*), et nous ne démontrerons guère de VéHtés nouvelles. Pôtirtant, les développements qui suivent sont plus qu'une paraphrase algébrique des recherches de M. Schuf : une bonne partie de nos raisonnements s'applique à la matrice de / lignes et / + 1 colonnes, si bien qu'il suffira d'énoncer les résultats.

L'évanouissement de la matrice

rf.

représente une tmrbè gauche eg, d'ordre 6 et de genre 3. Elle a

n Math. Ann., t. XVIH.

donc sept points doubles apparents; en d*autres termes, ses bisecantes forment une congruence d'ordre 7 et de classe 15. Diaprés une formule connue, le rang de la courbe est 16. Pour tout point de c^, la relation

et les trois analogues sont compatibles en \ V^ X''. Donc, ta courbe est le lieu des intersections des plans homologues de quatre gerbes collinéaires.

Un système de valeurs de X, X', X'' ne donne un point de Cg que si Ton a la relation suivante, obtenue en éliminant x^, x^, x^, X4 des quatre égalités ci-dessus,

I So,A SM Sc,A Srf,A |} = 0,

Sa^X désignant a^X -♦- a/V + a/^V\ etc. Si X, X', X'' sont des coordonnées homogènes dans un plan, Téquation précédente représente une courbe du quatrième ordre. Donc, la courbe Cg a une correspondance unidéterminative avec une quartique plane.

12. En faisant précéder la matrice d'une ligne de constantes ^} P, Y> ^9 on a réquation

I a a, a; ai' I «

représentant oo^ surfaces cubiques S3 qui passent par Cg.

D'après nos préliminaires, les équations de deux de ces surfaces, caractérisées par les paramètres a, p, y, 5 et a', P', y', S', équivalent à

||« «' a, a; «;'||ÎX|| a. a^ a'J ||} « 0.

Donc deux de ces surfaces Sg se coupent suivant Cg et suivant une cubique gauche (n° 10). Chacune de ces cubiques gauches coupe Cq en huit points (n^ 5).

La relation

ma, 4- nb, 4- pc, -i- qd, =*

et les deux analogues sont vérifiées, pour tout point x non situé sur la courbe Cg, par un seul système de valeurs de m, n, pi q. Or la forme maj^ -♦- nb^^ ■+• pCj^ -♦- çd^ et les deux analogues peuvent remplacer une colonne quelconque de la matrice représentant Cg. Donc, dans le mode de génération du numéro précédent, un point quelconque de l'espace peut être pris pour sommet d'une des quatre gerbes projectives engendrant Cq.

Au contraire, pour un point x de la courbe Ce, la relation ma^p -♦- nb^ -^ pCj^ -^ qd^ c= et les deux analogues sont satisfaites par un faisceau de systèmes de valeurs de m^ n, p, q. Donc, la courbe Cq est le lieu des points de rencontre des rayons homologues de trois espaces profectifs superposés.

La courbe Cq n^apas de quadrisécantey parce qu*une telle droite devrait être sur toutes les surfaces cubiques S5 et Tintersection de deux de ces surfaces ne se compléterait pas par une cubique gauche.

Nous allons nous occuper des trisécantes de la courbe. Elle en a une infinité simple. Le cône perspectif à Cg et ayant son sommet sur la courbe est du cinquième ordre et de genre 3; il a donc trois génératrices doubles. Ainsi, par tout point de Cg, il passe trois trisécantes. Les trisécantes engendrent une surface qui admet Cg pour courbe triple.

Soit P un point quelconque hors de Cg. En écrivant qu*une des surfaces 85^ | a a^^ a^ a^' | =0 passe par ce point, on établit une relation, non identique, entre a, ^, y, 8. Donc, par un point non situé sur la courbe^ on peut mener un réseau de surfaces S5.

Prenons, dans ce réseau, trois surfaces n*appartenant pas à un même faisceau et caractérisées par les valeurs a', p', y', 8' ;

a", P", r"» S"; a"'i P'". T'"> S'" des paramètres a, p, y, 8. Les points, hors de Cg, communs à ces trois surfaces sont fournis par les relations

lesquelles équivalent aux trois équations de plans

^n général, trois plans n*ont qu*i}o point comoiun, Dow iroù surface Ss, n'appartenant pas à un même faisceaUf n^ont gmérolement qu'un point commun hors de la courbe.

Mais si le point P a été choisi sur une trisécante, celle-ci est tout eotièri^ sur les oo^ surfaces S3 passant par Ce e| par P» donc aussi sur les trois phm dont on vient d'écrire les équations*

Ces équations sont de la forme

ma.

nb.

-^pc, -t-

qd,=-=

nta^

nb'.

+ pc;-«-

qdl^

ma'J

nh'.

' -¥ pc'J

^qd'J

Réciproquement, si trois égalités pareilles représentent trois plans passant par une même droite g^ ce qui peut arriver pour 00* systèmes de valeurs de m, n, p, 9, cette droite est une trisécante.

En effet, la matrice initiale peut se remplacer par

Il ma, -4- nb, -4- pc, -4- çrf, 6, c, rf, ||J

et les trois points où la droite g rencontre la surface cubique \ bje Cjc dx\ '^^ ^ annulent la matrice et sont donc sur c^.

Les trois plans dont les équations viennent d*étre écrites ci-dessus passent par une même droite quand m^ n, p, q vérifient les relations suivantes, obtenues par élimination des x :

Il Haim YàO^m ^a^m YàO^m || f «= 0,

^a^ désijgnant a^i -^ bfii -^ Cip •+- d,q. Or, on peut regarder m, n, p, q commd les coordonnées tangeptielles d'un plan variable dans un des espaces collinéaires qui engendrent Cq. Donc, dans chacun des trois espaces projectifs qui engendrent Cq, les plans qui coupent leurs deux homologues suivant une même droite

( Si )

ewehppent u$u! développabU de sixième classe, réciproque de c^ et les droites en question forment le système des trisécanles de Cq. La reLation

ma^, -♦- nbg -♦- pc^ -+- qd, =

et les deux analogues établissent une correspondance uniditerminalive entre les points de eg et ses triséeantes.

Une droite quelconque, intersection de deux plans Uj^ et Vjgy rencontre une trisécante (m, n, p, q) si l'on a

Ij I,a/n J^aim Jio'/m u, v, \\[ ^ 0,

et, puisque la droite (;», n, p^ q) est une trisécante, on a

Il lla^m Jla'tm Jla'/m \\\ = 0.

D'après nos préliminaires, ces deux matrices s'annulent pour huit systèmes de valeurs de m, n, p, q. Donc une droite quelconque rencontre huit triséeantes, ou la surface des triséeantes est du huitième ordre.

13« Trois surfaces S5 ont, avons-nous dit, généralement un point P commun hors de Cq. Une de ces trois surfaces coupe chacune des deux autres suivant une cubique gauche. Ces deux cubiques gauches, ayant un point commun P, ont six bisécantes communes, situées sur la première des trois surfaces S3, et coupant encore une fois les deux autres, évidemment sur c^.

Il n'y a point de conique coupant Cg en six points, car, par un point hors de Cg, situé sur une conique pareille, on pourrait mener un réseau de surfaces S^ ayant en commun la conique considérée; alors des plans tels que

devraient coïncider, ce qui s'expriiperait par six conditions, entre lesquelles on pourrait éliminer m, n, p, 9, et il resterait des*

relations entre les coefficients des formes de la matrice initiale, circonstance qui ne se réalise que dans des cas particuliers.

Un raisonnement analogue montre que deux trisécantes ne peuvent pas se rencontrer hors de la courbe Cq,

D'après ce qui précède, pour que deux points hors de Cq déterminent un faisceau de surfaces S^, il faut et il suffit que ces points ne soient pas sur une même trisécante. En d'autres termes, par deux points extérieurs à la courbe, il passe ou bien une trisécante, ou bien une cubique coupant huit fois Cg.

De là résulte que l'équation {ctaj^a^j^a'^) =» représente toutes les surfaces cubiques passant par Cq. Soit, en effet, T5 une surface quelconque du troisième ordre passant par la sextique. Par deux points de T5, non situés sur c^ ni sur une de ses trisécantes, on peut mener une cubique octosécante c^; celle-ci, ayant dix points sur T3, est tout entière sur cette surface; les courbes Cq et c^ forment la base d'un faisceau de surfaces S5; T5 appartient à ce faisceau et, par suite, au système des surfaces S3.

Par trois points hors de c^, non situés sur une même cubique octosécante et dont deux ne sont pas sur une même trisécante, on peut faire passer une surface S5 et une seule.

Par deux points hors de Cq et situés sur une même bisécante, on peut mener un faisceau de surfaces S5. La base de ce faisceau ne peut se compléter par une conique, car celle-ci devrait couper six fois c^; donc cette base se complète par deux trisécantes qui rencontrent la bisécante. Ainsi, toute bisécante est rencontrée par deux trisécantes; ceci confirme que la surface des trisécantes est du huitième ordre.

Réciproquement, par deux trisécantes on peut faire passer un faisceau de surfaces S5 dont la base se complète par une bisécante rencontrant les deux trisécantes.

Deux surfaces S5 passant par une même trisécante se coupent encore suivant une conique qui s'appuie sur la trisécante et qui coupe cinq fois Cg. Réciproquement, toute conique coupant cinq fois Ce est rencontrée par une trisécante.

14. Faisons précéder la matrice définissant c^ d'une colonne de constantes déterminées X, V, X'\ Le tableau

Il ^ a« 6. c. Il

s'annule pour quatre points de Cg. Ces quatre points vérifient aussi réquation suivante, quels que soient a, ^^ y, 8 et

y a', 6; c; di

ci' di'

Or cette équation représente une quadrique circonscrite à une cubique gauche variable coupant huit fois c^,

||« «' a. «: fli'||î-»0.

En faisant varier 1, V, X'\ on a donCy sur Ce» oo^ quadruples de points tels que chacun de ces groupes peut être réuni, par une quadrique, à toute cubique gauche coupant huit fois Cg.

Un quadruple est déterminé par deux de ses points.

Un quadruple est aussi Tintersection de Cg avec la courbe

ci'

Celle-ci est une cubique gauche de la surface cubique

1 « a. oi ai' 15 — et est conjuguée, sur cette surface^ de la cubique octosécante

Il a «' a, ai a'J g = 0,

ce ^ui est évideiït géoœélriquemeot, puisque sur une surlace du troisième ordre, deux cubiques gauches de systèmes conjugués appartiennent à une même quadrique.

Une cubique gauche odesécante peut dégénérer en deux trisécantes accompagnées de la bisécante qui les coupe. Donc, les droites menées des points d'un qiuidruple et s' appuyant sur deux trisécantes quelconques sont hyperboloïdiques et marquent, sur les deux trisécantes^ des rapports anharmoniques égaux. Par suite aussi, le rapport anliarmonique des plans qui projettent un quadruple donné d'une trisécante quelconque est constant.

Soient A et B deux points d'un quadruple A, B, G, D; soit t une des deux trisécantes rencontrant AB, et soit V une trisécante quelconque ne rencontrant ni AB, ni CD. La quadrique menée par t, t', A, B, G, D contient tout le plan ((y AB) et comme, par hypothèse, t' et CD ne sont pas dans un même plan, Tun des points G ou D est dans le plan (/, AB). Donc, les points qui complètent le quadruple contenant A et B se trouvent de la manière suivante : chacune des deux trisécantes qui coupent AB détermine, avec AB, un plan qui coupe encore Cq en un des points cherchés C, D.

Une cirbique octosécante peut dégénérer en trois trisécantes se rencontrant en un point de Cg. Donc, les trois trisécantes issues d'un même point de la courbe et quatre points d'un quadruple sont toujours sur un cône du second ordre.

Chaque quadruple étant défini par un système déterminé de valeurs de X, X', X", les quadriques Q qui unissent deux cubiques octosécantes fixes à tm quadruple variable engendrent deux réseaux projectifs,

15. Lorsque les éléments de chaque ligne de la matrice représentant Cq sont des dérivées partielles d^une forme quadratique, on a un cas particulier, donnant la solution de la Question 1954 des Nouvelles Annales de mathématiques :

La courbe e^ est alors le lieu des sommets des cônes contenus dans un réseau de quadriques; la conjuguée d'une droite fixe L relative aux quadriques du réseau décrit la congmence des

Sisécantes d'une des cubiques gauches coupant huit fois e^. Si leê conjuguées cCune droite A fassent par un même points eelui-^i décrit la sextique c^ et A en est une trisécante.

De la question corrélative, nous ne retiendrons qu'un cas particulier, à titre d'exemple : celui d'un réseau tangentiel de surfaces de seconde classe, dont Tune est le cercle imaginaire de rinfini, c'est-à-dire un faisceau tangentiel F de quadriques accompagnées de leurs homo focales. Les plans principaux enveloppent une dévehppable de sixième classe y^. Les conjuguées d'une droite A par rapport à toutes ces surfaces sont des droites dans deux plans d'une développable de troisième classe y^. Chacune de ces Y3 touche huit plans tangents de y^. Lorsque toutes ces conjuguées de A sont dans un plan^ nécessairement perpendiculaire à 1^, ce plan enveloppe y^; toutes les droites à jouissant de cette propriété engendrent une surface réglée du huitième ordre.

La représentation analytique de Cg soulève des questions nouvelles, notamment la recherche Aes formes invariantes de douze formes linéaires propres à représenter des figures liées à la courbe c^; par exemple on peut chercher l'équation de la développable osculatrice ou celle de la surface des trisécantes. Nous sommes obligé de différer ces développements pour ne pas faire de digression dans le présent travail.