L'évanouissement de la matrice
Il a 6. c, d, e, ||},
où les éléments de la première colonne sont des constantes et les autres des formes linéaires, représente aussi la courbe c^ que nous venons d'étudier dans les numéros précédents. Ici cette courbe est située sur la surface S4 du quatrième ordre
I *. Cs rf, e, \ ^0.
Si les paramètres a, a', a'', a'^' sont variables, on a un systènjie
de 00^ courbes Cg sur la même surface S4. Une de ces courbes est encore située sur les oo^ surfaces cubiques
ei"
qui coupent S4 suivant les oc^ courbes du sixième ordre
lesquelles forment le système conjugué du précédent.
Deux courbes Cg de même système, caractérisées par les paramètres a y a\ o!\ a'" et n^ ai, a[\ a[" ont des points communs vérifiant les relations
a ai 6. c, dg e, ||} =» 0.
D*après nos préliminaires, ces relations équivalent aux suivantes :
a 6. c. d. e. Il = 0, j a ai 6, e, j = 0,
d*où il faut défalquer les solutions communes à
a 6, c, d, e-. Il « et || a 6, a, || = 0.
Les premières de ces relations sont vérifiées par douze points; les dernières représentent Cg et une de ses cubiques octosécantes ; il ^este donc quatre points. Ainsi, deux courbes Cq de même système sur S4 se coupent en quatre points^ formant un quadruple sur chacune de ces courbes.
Deux courbes Cq de système opposé ont aussi des points communs, annulant la matrice angulaire déduite du déterminant R5 par suppression de l'élément 0. D'après nos préliminaires, le nombre de ces points e^^uatorze.
CSonrbe du dixième ordre et courbe d'ordre ^ t" ■ •
17. On généralise sans peine les points principaux de la théorie exposée au paragraphe précédent. L'évanouissement d*une matrice à quatre lignes et cinq colonnes de formes linéaires représente une courbe gauche du dixième ordre, C|o, rencontrée aussi par M. Schur. C'est le lieu des points communs aux plans homologues de cinq espaces projectifs superposés. L'arrangement en lignes de la matrice ne donne pas de génération géométrique^ si Ton se limite à l'espace à trois dimensions.
La courbe C|o est sur oo^ surfaces du quatrième ordre; tinter* section de deux de ces surfaces se complète par une courbe Ce (du paragraphe précédent), coupant C|o en. vingt points. Trois de ces surfaces du quatrième ordre ont en général quatre points com* muns; ces quatre points sont sur oo* courbes cq et forment, sur chacune d'elles, un quadruple. Le genre de la courbe C\q est onze; elle a vingt-cinq points doubles apparents; par tout point de la courbe passent sept trisécantes.
Il existe, sur la courbe C|o, oo^ groupes de dix points dont chacun peut être réuni, au moyen d'une surface cubique, à une quelconque des courbes c^ qui coupent vingt fois C|o ; chacun de ces groupes de dix points est déterminé par trois de ses éléments. Ces groupes de dix points sont les intersections de c^q avec des courbes c^ situées sur les surfaces quartiques contenant c^q et conjuguées, sur ces surfaces, des courbes Cq qui coupent vingt fois CiQ.
Sur une surface du cinquième ordre représentée par un déterminant de vingt^cinq formes linéaires, on a deux systèmes conjugués de oo* courbes c^q. Deux courbes d'un même système se coupent en dix points, formant sur chacune d'elles un groupe défini ci-dessus. Deux courbes de système opposé se coupent en trente points.
