Sans qu'il soit nécessaire d^insister^ on voit comment
tout ceci se généralise et pourquoi les extensions analytiques portent plus loin que les figures auxquelles peut atteindre la géométrie synthétique quand elle se restreint à l'espace ordinaire.
Si, dans la matrice, il y al lignes etl -*• i colonnes de formes linéaires, la courbe représentée est d'ordre — ^ et de genre î (1 — 2) (1 — 1 ) (21 -H 3) ; le nombre de ses points doubles apparents est^(l — ^)l(l + i) (31 — 2).
La courbe est sur oo^ surfaces d'ordre l ; deux de celles-ci se coupent encore suivant une courbe d'ordre -^ — rencontrant la courbe donnée en^(\ — i) 1(1 -f- i) points.
Sur la courbe considérée, il y a oo*"* groupes de-^(l — 1 ) 1 (1 -♦- 1 ) points, dont chacun peut être réuni, par une surface d'ordre l, à une des courbes d'ordre -^ — définies ci-dessus.
On peut envisager, 9ur une surface d'ordre I -^ 1 , deux systèmes conjugués de courbes d'ordre ^ 1(1 + 1) : deux courbes de même système se coupent en^(l — 1) 1(1 -4- l) points; deux courbes de système opposé on^ g (I h- 1)1 (21 -4- 1) points communs (*).
Courbe du ein^nièma ordre.
19. Dans ce paragraphe et les suivants, nous examinerons des tableaux rectangulaires contenant des formes non linéaires. Conftine premier exemple, posons
(*) [M. C. Sbarb a publié un article Sur la génération profeetive des surfaces cubiques (Archiv dbr Math. u. Pbvs., 3* série, t. X, 4906, fasc. .3 et i) ; Tauteur appelle Pattention sur les variétés algébriques qui peuvent être représentées par des matrices à éléments linéaires et cite une large étude de M. Rbyb, Ueber linearc Mannigfalttgkeiten, etc. (Jouryt. f. Math., t. CIV à CVIII, i889 et suiv.); dans ce dernier travail, l'exposé est constamment synthétique, sauf dans un des derniers paragraphes, où 4}u«lqttes-uns des résultats obtenus sont traduits sous- forme algébrique.]
Ces relations représentent une courbé gatêche c^ du einqutëme ordre et de genre 2, ayant donc quatre points doubles apparents.
M. Timerding a étucNé cette figure surtout au point de vue de ses relations avec les fonctions abéliennes (*).
Lm courbe e^ est k Keu des mterseçfUms des ilimevUs homologues de deux faisceaux profectifg de plans ei d*un faisceau de quihdriques projectif aux précédents, EHe est done aussi le lieu des imierseetions d^un faisceau de quadriques et d*un système réglé profectifs entre eux.
Si Ton multiplie bj^, V^ par une ménae forme linéaire m^^, et c^, éje par une autre forme linéaire n^, rarrangemeol en lignes eu tab^ea» ei-dedaus donne un mode de génération de c^ acses pénible à énoneer; mai» sf Ton multipfie les quatre éléments ftr, fr^f c^, (4 P^r «ne même forme linéaire m^^ on voit qite ki courbe c^ est engendrée de la manière suivante : on a deux réseaux projectif de quadriques ayant chacun une conique commune et ces deux coniques étant dans un même plan (a]^, m^^ et ^x9 n^x); deux quadriques quelconques du premier réseau se coupent encore suivant une conique c^ ei les quadriques homotogues du second réseau se coupent encore suivant une conique c^; le lieu des points communs aux coniques Ct et c, est la courbe C5. Si Wjf est le plan de Pinfini, on a deux réseaux projectifs de quadriques semblables.
La courbe C5 est Tintersection partielle de la quadrique M^ — ^J^x =« el de la surface cubique a^fr^ — a'*bj^ -» 0, qui ont encore en commun la droite, intersection des plans b^ ei b'jg.
Réciproquement, si deux surfaces du deuxième et du troisième ordre se coupent suivant une droite et une courbe du cinquième ordrCy celle-ci annule une matrice comme ci-dessus. En effets la droite commune étant prise comme arête arior^ du tétraèdre de référence, les équations dea surfaces peuvent être mises sous la forme
ocif— x,y -* 0, x,p ~ x^ = 0,
(*) Joum.f. Math., 4901.
fei<f étant du second degré, p et 9 du premier. D*où
f p x^ f q Xi
La quadrique b^c, — b^e, «» est évidemment la seule surface du second ordre circonscrite à C5. Ses génératrices rencontrent C5 aux points où elles percent la surface a^6^ — a'^bj^^' sans y rencontrer la droite (66'); donc toutes les génératrices de même système que (bb') sont des trisécantes et les autres des bisécantes.
Toute trisécante de C5 rencontre en trois points la quadrique bjgc'j, — ft^c^esaO et se trouve tout entière sur cette surface, c^est- à-dire que l'un des systèmes réglés de cette quadrique con-stitue le système complet des trisécantes de la courbe. Les génératrices de l'autre système, étant des bisécantes, donnent sur C5 une correspondance unidéterminative et involutive de points. Appelons G2 un couple quelconque de ces points correspondants; nous y reviendrons bientôt.
20. En appelant a^^ une forme linéaire quelconque, ^ ei y des constantes, on a les oo^ surfaces cubiques circonscrites à C5
al
ai*
Chacune des surfaces cubiques circonscrites à C5 contient une trisécante de la courbe, savoir la droite représentée par
Deux de ces surfaces cubiques, caractérisées respectivement par a^ ^, y et par a^, ^^ /, complètent leur intersection par la courbe
D'après nos préliminaires, cette courbe coupe c^ en huit points. C*est d'ailleurs une biquadratique, intersection de deux surfaces du second ordre,
ij 6, e.
<* 6i ci
Lorsque ^ : p'>» y : y'^» A, ces deux quadriques ont en commun la droite que voici^ trisécante de C5,
elles dégénèrent alors en deux plans {olJ^' — ^x^){px -f) ^^
(a;rP' — «iP) {p'x — ^)> et Tun de ces plans est commun. Quant aux deux surfaces cubiques, elles peuvent alors être représentées par
kai
aï
al
elles déterminent un faisceau dont un élément a pour équation
(«.-fca:)(6^:-6ic.)«0;
la base de ce faisceau comprend, outre C5, la trisécante en question et une cubique plane intersection du plan a^^ — A:â^B>0 avec une des surfaces cubiques. Cette cubique plane perce six fois la quadrique 6^(4 — A^;r "=^0, savoir cinq fois sur C5 et une fois sur la trisécante.
21. Trois surface» cubiques circonscriles à c^ ont générale^ ment quatre points coifiiiiuBSy ear la matriee
Ag ag etg Qg
bL
s'annule quand on a simultanément
«, «i al
r r' ci
L'inégalité est satisfaite, siâuf si Ton a ^ : p' «=» y: y'. Écartons cette hypothèse pour un instant. Quant aux trois égalités, elles représentent un plan et deux quadriques, figures qui ont quatre points comnauns.
Toutefois le plan peut couper les deux quadriques suîvut une même conique c^, celle-ci perce alors la quadrique ft^^c^ — 6^c^ = en quatre points; donc c^ rencontre c^ en quatre points. Ou bien le plan peut couper le» deux quadriques suivant une même droite g et en un point extérieur P; g perce la quadrique bja'jg — * Vjfijp en deux points Q et Q'; l'un au moins de ces points est sur c^; si Tautre n'est pas sur Cg, il est sur une trisécante, qui est alors commune aux trois surfaces cubiques (ainsi que la droite g). Enfin, dans le cas, exclu ci-dessus, où l'on a Ç>:^f ^=y : y\ deux des surfaces cubiques ont en commun une trisécante de Cg et ufie cubique plane coupant la troisième surface cubique en neuf points, dont cinq sur Cg et quatre en dehors.
En résumé, {rots surfaces cubiques circonscrites à Cg ont, ou bien une conique commune coupant quatre fois C5 et pouvant dégénérer, ou bien une bisécante commune et un autre point commun, ou enfin quatre points communs, hors de c^et situés dans un même plan.
Un tel quadruple de points est déterminé par trois de ses éléments ; car, par trois points hors de C5 on peut, en général.
faite pûsêer tm rèsmu de surfaces cubiques myani un quatrième point commun. Seulement^ si les trois points donnés sont sur une aiéme conique quadriséeante, ou sur une même droite unisécante, le réseau contient cette droite ou cette conique tout entière; et si deux des points donnés soni sur une même Usécante» le réseau contient cette droite.
Par qtuitre points hors de c^ et n*appartenant pas à un même quadruple, on peut mener un faisceau de surfaces cubiques ctrconscrites; ou par quatre points pareils on peut mener une bfquadratique octosécante de C5. Enfin, par cinq points hors dec^ et non situés sur une même biquadratique octosécante, on peut mener une surface cubique circonscrite.
22. Le faisceau des quadriques ayant pour base une biquadralique octosécante est représenté par
Cette équation est vérifiée, queh que soient a^, a^, par tes points qtii annufent la matrice
C«s points sont les appuis, sur c^, d^une bisécanle génératrice de bjfi'jc — b'jfijc\ ils forment donc ce que nous avons appelé précédemment un couple de points G^ sur la courbe c^. Ainsi, une biquadratique octosécante et un couple de points C^ sont toujours sur une même quadrique.
Les quadriques qui unissent deux biquadratiques octosécantes fisDes à un couple mobile de points C^ engendrent deux faisceaux projectifs.
Signalons en passant deux autres formes représentant la courbe c^ :
» et al' 6: cl d' »
La seconde de ces formes se rencontrera plus tard. Pour d, d'y d'^ variables, elle représente oo' courbes c^ situées sur une même surface du quatrième ordre. Deux de ces courbes se coupent encore en deux points, qui forment, sur chacune d'elles, un couple C^.
La théorie esquissée ci-dessus de la courbe c^ peut recevoir rextensipn suivante : Chaque fois qu'une quadrique et une surface d'ordre n -+- 1 «e coupent suivant une droite et une courbe gauche c^+o d'ordre 2n -+- 1, cette dernière annule une matrice de la forme
«i- b: ci
Cette courbe coupe n fois les génératrices de l'un des systèmes de la quadrique el n + 1 fois celles de l'autre. Elle est l'intersec* tion partielle de deux surfaces d'ordre n -«- 1 dont l'intersection se complète par une courbe d'ordre n^ coupant c^^^en 2n^ points; cette courbe d'ordre n^ est la base d'un faisceau de surfaces d'ordre n dont chacune coupe encore c^^^ aux n appuis d'une génératrice du premier système de la quadrique circonscrite à c^+4.
On sait que les courbes de ce type s'étudient aussi par la représentation plane des quadriques.
Goarbe du septième ordre.
23. Dans le chapitre III de notre Étude de quelques surfaces algébriques engendrées par des courbes du second et du troisième ordre (Gand, Hoste, et Paris^ Gauthier-Villars, 1903), nous
avons rencontré une courbe gauche du septième ordre, lieu des contacts des tangentes menées d*un point aux cubiques gauches d*une gerbe déflnie par deux points et trois bisécantes. M. Humbert (*) avait déjà étudié la flgure plus spéciale, analogue pour le système de cubiques gauches par cinq points.
Ces deux lignes sont des cas particuliers d*une courbe c^ étudiée, au moyen de considérations géométriques, par M. Montesano (**); elle peut se représenter par
al <«
L*arrangement en lignes et en colonnes donne les deux modes de génération suivants :
Étant donnés un réseau de quadriques et une gerbe projective de planSy C7 est k lieu des points où la biquadratique intersection de deux quadriques du réseau rencontre la droite commune aux deux plans correspondants de la gerbe.
La courbe C7 est le lieu des intersections des surfaces homologues de trois faisceaux projectifs de quadriques, faisceaux spécialisés par ce fait que trois surfaces homologues dégénèrent en deux plans et que ces trois couples de plans ont un plan commun.
D'après son mode de représentation, la courbe C7 passe par les huit points A^ communs aux quadriques du réseau Xa^ + pLa!^ + va^' et par le point B commun aux plans h, b', b''.
Elle est située sur les 00' surfaces cubiques
et
al
Deux de ces surfaces se coupent encore suivant Une conique,
II« P o; 6. ||î«o,
(*) Joum. de V^c. polyt, t. LXIV.
(•*) AttiAccad. Torino, t. XXVH, iS9%.
dtmi k plan (« P bj^ •» paue par B eê qui eoupmi c^ en sim pùinU, Chacune de ces coniques peut être réunie aux huit pointe A^ par une quadrtque.
Puisque les éléments d*une colonne du tableau initial peuvent être remplacés par Xa^ -«- (la^ *t- va^' et ïbjg •«- |x6^ -4- v6^« on voit que iout plan mené par B coupe encore c^ en six poini$ d'mie conique et que toute quadrique par les pointé Ai coupe encore Cj en six points d'une conique.
Par un point hors de c^, on peut mener un faisceau de surfaces cubiques circonscrite^^ donc aussi une conique sexasécante de C7. Par deux points hors de C7 et non situés sur une telle conique, on peut mener une seule surface cubique circonscrite^
S4. Il suffira d^énoncer encore quelques résultats dont la démonstration est une suite immédiate de nos préliminaires*
La courbe c^ n'a pas de quadrisécante. Elle est de genre dnq et possède donc dix points doubles apparents. Par tout point de la courbe^ il passe cinq trisécantes, de sorte que la surface des trisécantes a la courbe C7 comme ligne quintuple.
Voici comment on peut déterminer Tordre de la surface des trisécantes. Le plan
B, s a6. -♦- A«ft; -*- v6;' —
coupe la quadrique correspondante
a; s AoJ -♦- fia^ f- voi
tt%
suivant une conique qui dégénère en deux droites quand le plan touche la surface, c'est-à-dire quand on a
Ali Au A|5 Ai4 B|
Aji Ajj An An Bs
Aji Ajj Ass Aw Bj
Aii kn A45 A44 B^
Bt B, B, B,
La surface engendrée par ces coniques dégénérées, c'est-à-dire
pariw tméeantes de €7, 8*olMienK en éliminant X, {a, v entre les trois équations précédentes. Dont^JestmécantesdecTengmdrmt une surface du quinzième ordre.
La matrice
ai»
ai"
s'annule pour un grmtpe Gg de huit points siHtés sur e^ et pouvant être réuni, par une quadrique, à toute conique sexaséeante. Comme P et les coefficients de ax peuvent être des paramètres arbitraires, il y a, sur c^, oo* groupes 6g.
La matrice
al
tft
s'annule pour une courbe ç^ eu type éâudié ci dessus. Elle est située sur une surface du quatrième ordre, Pour (3, y et ol, variables, on a 00^ courbes c^ sur cette même surface. Deux de ces courbes se coupent en huit points, formant, sur chacune d'elles, un grmipe Gg. Sur ceite même surface, on a un système conjugué oonsHtué par oo^ courbes
ce tmtt des courbes e^ étudiées au paragraphe précédent. Chaque courbe e^ coupe chaque courbe C7 en treize poinis.
De^ développetnenÉs analogues à ee qui précède se trouvent sans pdae pour la courbe d^ordre fi(n •«- 1) + 1 annulant la BMÉiiee
fn
Gomme cas particulier, on a ce résultat, en coordonnées cartésiennes rectangulaires : les pieds des normales abaissées d'un
point sur une surface f d'ardre n sont sur la courbe gauche d'ordre n (n — 1) ^- 1 définie par
dx
y— y' ày
dz
Courbe du huitième ordre.
