Considérons la matrice

Son évanouissement représente une courbe Cg du huitième ordre, formant, avec une droite (ce'), la base d'un faisceau de surfaces cubiques,

al bl c. c=0.

a;* b': ci

La droite (ce') est une quadrisécante de Cg, et c'est la seule, car toute autre quadrisécante devrait se trouver tout entière sur chaque surface du faisceau.

La courbe Cg est le lieu des points communs aux éléments homologues de deux faisceaux de quadriques et d'un faisceau de plans, projectifs entre eux. Ou bien, si l'on donne deux réseaux projectifs de quadriques, tels que deux surfaces homologues dégénèrent, tune en un plan c, et un plan p, l'autre en un plan c^ et le même plan p ; si c^ est la courbe d'intersection de deux quadriques variables du premier réseau et Ci l'intersection des quadriques homologues de l'autre, le lieu des points communs à des courbes C4 et C4 est la courbe Cg.

Les surfaces homologues des faisceaux a| + Xb^, a, + ^b^' se coupent suivant des biquadratiques ayant chacune douze points sur Cg.

La courbe Cg est de genre 7 ef a quatorze points doubles appa^ rents. Par tout point de Cg, on peut mener huit trisécantes.

Les droites situées sur les surfaceè cubiques circonscrites à Cg sont des trisécantes, sauf celles qui rencontrent (cc^) et qui sont bisécantes. Réciproquement, si une surface cubique circonscrite à Cg passe par un point situé hors de la courbe et sur une trisécante, elle contient cette droite tout entière. Ainsi, toute surface cubique circonscrite à Cg contient la quadrisécante (ce^)y dix bisécantes rencontrant (ce') et seize trisécantes,

La surface des trisécantes contient Cg comme courbe octuple; elle est du vingt-huitième ordre; en effet, elle coupe une surface cubique circonscrite suivant seize lignes droites, outre la quadri» sécante qui doit être comptée comme une trisécante quadruple; donc, si X est l'ordre de la surface des trisécantes, on a 3a; = 64 + 16 -h 4, d'où x => 28.

On trouve de même que les bisécantes rencontrant (ce') engendrent une surface du quatorzième ordre ayant c^ comme ligne triple et (ce') comme ligne octuple.

Plus généralement, le symbole

représente une courbe de V ordre mn + m + n, formant, avec une droite (ce'), l'intersection complète de deux surfaces , Fune d'ordre m -+- 1, l'autre d'ardre n -♦- 1. On énoncera sans peine diverses propriétés de cette courbe, surtout dans le cas où Ton a m = »•

Courbe du neuvième ordre.