PROBLÈME .XVII

Trouver ‘ la circonférence d’une ellipse.

(47). Cette figure que fait voir toute coupe FI, AD (8997 Gr.) ou FE, RN (4099 G.) d’un cylindre, ou be (1055 G.), ac (1056 G.) d'un cône par “in plan qui étant incliné à l’axe de ces solides en rencontre les deux côtés, se présente fréquemment à la considération du mesureur, 2 On la retrouve dans le cirque, l'amphithéâtre, le parterre, ete., et sur une plus petite échelle dans l’œil-de-boue, etc., mais c’est surtout la demi-ellipse que l’on rencontre, dans la coupe des voûtes ue toutes sortes, dans la tête cintrée d’une porte ou fenêtre, ou d’une ouverture arquée entre deux appartements, ete.

(4S) On ser-*. ‘eut-être tenté de croire, au premier abord, que la circonférence + l’ellipse dût ètre une moyenne arithmétique entre les ciscontérenc 6e deux cercles ayant ponr diamètres respectifs les grand et petit diamètres de l’ellipse, où ce qui est la même chose, que cette circonférence dût être égale à celle d’un cercle dont le ayon serait égal à la demi-somme des grand et petit rayons de l’ellipse, c’est-à-dire dont le rayon serait moyen arithmétique entre les demi-diamètres de Pellipse ; et il en est à peu près ainsi pour les ellipses dont les diamètres ne diffèrent, l’un de lPautre que de 25 à 20 pour cent; mais pour se persuader qu’il n’en est pas toujours ainsi, on n’a qu'à recourir à un cas extrême (comme on l’a déjà fait au par. (Sszs G.). En effet, supposons que pendant que le petit axe de l’ellipse est 1, le grand axe soit 1,000,000 ; il est évident que la circonférence d’une telle ellipse sera sensiblement égale au double de son grand diamètre, c-à-d. 2,000,000 pendant que la demi-somme 500000 +.5 ou 500000 (car on peut négliger le 5), des axes x 3,1416=- 1,570809 ; et si le petit diamètre était infiniment petit relativement au grand supposé égal à 2, la circonférence exacte serait 4, (double du grand axe) pendant que la circouférence moyenne arithméthique ne

1 Quoiqu’on ne puisse à l’aide des principes dont il a été question jusqu'ici, donner une démonstration de cette :eglo el des quatre suivantes ; on a cru cependant devoir les insérer ici pour compléter les règles nécessaires au toisé ” 4 surfaces planes, ou de celles (AAA4O G. D'ail.) qui étant à simple courk :2, peuvent se développer en surfaces planes.

2 Voir parmi les modèles du tableau, les bases et coupes des cylindres, cônes et

conoïdes, ete. obliques et des troncs de ces corps. Ces ellipses sont do divers degrés d'excentricité ou ont leurs diamètres dans des rapports variés.

serait que de 314159, ete,, l'erreur étant dans ce cas de 4—3 1416= 8584 ou près d'un quart. Müis, si l'on ne peut correctement obtenir la cireonférence d’une ellipse, de cette manière, il est démontrable qu'on y arrive exactement par la méthode suivante :

(49( REGILIE K. Mullipliez la racine carrée de la demi-somme des carrés des deux diamétres de l'ellipse par 3.1416, et le produit sera la circonférence voulue.

Ex. 1. Le grand diamètre AB d’une ellipse est 15 et le petit diamètre 12; quelle en est Ja circonférence ?

32 \ 2 : à and REP. (ES CD. j4 (89 G)=VI8L5= 13

583 et 3,416 x 13.583= 42.672358.

2. Les grand et petit axes étant respectivement 95 et 20; déterminer Ja périphérie de l’ellipse ? Rep. 69.3079,

3. Les demi-diamètres d'une ellipse sont 124 et 74; quelle est le périmètre ? Rep. 64.7667.

(5@) Il est clair que la demi-ellipse CBD est égale en périmètre et en surface à la demi-ellipse ACB, et que chacune d'elles à pour mesure la demi-circonférence et la demi-surface de l’ellipse ertière. Cette règle et la suivante qui enseignent à trouver la circonférence et la surface de l’eillipse entière fournissent donc aussi le moyen d'arriver au périmètre ACB ou CBD ou à la surface de la demi-ellipse de même nom.

1l est de plus évident que tout autre diamètre EH divise l'ellipsé en deux parties de même surface et de même périmètre.

(51) JL est une propriété importante de l'ellipse qui nous permet de la tracer avec facilité ou de découvrir si une fiqure curviligne qui ressemble à une ellipse en est une ou non ; c’est que la somme FC + FC, EG +F'G, des rayons menés de deux points F, F’ situés sur le grand diamètre et qu'on nomme foyers ou centres de l’ellipse, à un troisième point quelconque C ou G, ete., sur sa cixconférence, est constante et égale au grand diamètre AB ; or il est clair que cette propriété là mème nous permet d'établir les foyers. En effet, les deux diamètres d’une ellipse quelconque étant donnés, du point C ou D extrémité du petit axe, comme centre et avec un rayon CF=CF'=OA ou OB= + AB on intersectera AB en F et F’ les foyers voulus ; puis, des points F et F’ comme centres, avec des rayons FG, F/G dont la somme = AB, c’est-à-dire, avec un rayon quelconque F% moindre que FB et un autre rayon F’G égal à la différence entre le premier

rayon FG et le diamètre AB, l’on tracera des ares dont les intersections en G donneront un point, et en répétant l'opération une suite de points par lesquels on fera passer une courbe qui sera l’ellipse voulue.

(52) Ou, l’on fixera en F et F’ des aiguilles auxquelles on attachera les extrémités d’un fil d’une longueur telle que Pon ait FC + F'C ou FG + F’GZ= AB ; il suffira alors de tenir le fil tendu au moyen d’un crayon ou d’une pointe que l’on promènera tout autour des deux foyers pour compléter le tracé de l’eilipse.

(53) Pour faire la même opération sur une grande échelle ; après avoir pris FG ou F’G à volonté, moindre que AF” ou BF, mais plus grand que AF ou BF’, connaissant l’autre rayon =AB— FG ou AB — F'G, suivant le cas, et FF’ étant aussi connu=2 OF=2VGF2— CO? =2 YOA2— OCZ on aura qu’à calculer l’un FF’G ou F’FG des deux angles à la base du triangle GFF' et mener l’un des deux rayons de la longueur voulue et sous l'angle requis pour donner un point G de la circonférence proposée ; cette opération répétée donnera une série de noints par lesquels on fera passer une ligne qui sera la circonfé rene: demandée. Observons aussi que l’on s’exempterait le mesurage du rayon GF ou GF’, en calculant chacun des angles en F et en F’ pour opérer ensuite une intersection G des directrices FG, F'G.

(54) Ajoutons qu’une construction géométrique ou graphique sur une petite échelle aurait l'avantage de donner d'une manière plus expéditive et souvent assez exacte tous les angles GFF’, GF'F, etc., nécessaires à le détermination des intersections ou points G du périmètre voulu.

(55) On trace encore l’ellipse comme suit : Soit ac= AO ou BO le demi-grand axe, ab = CO ou DO demi petit axe. En faisant mouvoir la droite ac de manière à tenir le point c sur le diam. DC et le point b sur le diam. AB, le point a décrira l’el'ipse voulue. Dans la pratique la droite ac est une tige ou tringle quelconque, avec des aiou points saillants en a, b et ce, et l’on dispose à l'endroit des diamètres AB, CD des tringles, raïnures ou coulisses pour servir de guides aux points b et c.

(56) REGLE II. Quand les diamètres ne sont pas très inégaux, on obtient assez correctement la circonférence de l’ellipse en fuisant le produit de la demi somme de ces diamètres par 3.1416.

Ainsi les trois derniers exemples calculés de cette manière donnent respectivement pour réponses 42.41 au lieu de 42,67, 69, 11 au lieu de 69,40, et 62.83 au lieu de 64.76 ; c’est-à-dire, que quand la

différence entre les diamètres n'excède pas +? ou + ou quand le rapports entre les diamètres sont ceux de 5:6 ou de 4:5, l'erreur dans le résultat ne va pas au-delà de :k5 ou 145, et lorsque la différence entre les diamètres est de # ou que ces diamètres sont entre eux comme 15:95 l’erreur devient 4}; à peu près du résultat entier. Quand les diamètres sont entre eux comme 1:2, les circonférences obtenues par les deux règles sont entre elles comme 47.12 : 49.66, l'erreur étant dans ce eas ;} près. Les diamètres étant comme 1 :3 les circonférences sont à peu près :: 63 : 70, l'erreur étant dans ce cas de -;; près. Quand les diamètres sont :: 1:5, les circonférences sont ::94:113 et l'erreur de & près. Enfin si les diamètres étaient entre eux ::1:10 les périmètres seraient :: 173 :223, et l'erreur de ; ou de + près. Ce qui mettra en mesure de faire choix de l’une ou l’autre règle suivant le degré d’exactitude voulue dans le résultat.

REM. D'ailleurs il est clair qu’on pourrait aussi, après avoir trouvé la circonférence voulue, d’après cette seconde règle, la corriger par l’addition du taux d’erreur ou de défaut proportionné au rapport entre les diamètres, et tel qu'établi plus haut.