Les terrains qui avoisiuent et sont bornés d'un côté fr
par les sinuosités d'un chemin ou d'une rivière, etc., pré- \ <£-^"X
sentent souvent au calcul des figures de cette sorte ; ou, /f>Zj .' \û
s/] ' ^~^J i\ après avoir déterminé par la méthode du dernier problème **j-l v> — -0\ .
la superficie du polygone rectiligne ABCDE qui fait partie ,,/ / \ ..-■*"'
du pol. irrégulier A/yBCDEtc?A, on se servira de la méthode l ; H:.--'" « \
du problème actuel pour obtenir les parties secondaires et ïfx- •&.
irrégulières Aubc'B, AdeE. ^^-*^-~—^~^^-
Soit AEra une figure Lrrégulière ayant pour
base la droite AE. Aux points A, B, C, D, et S ,
E, également éloignés l'un de l'autre, élevez • ; s^-"-"! — ~^,c
les perpendiculaires Aa, r>/>, Ce, IV, Ec et ! ; j j
désignez ces perpendiculaires par les lettres A B C J) jjj o, 6, c, </, c.
Alors (325 C) la surface du trapèze AB ba= — g— x AB,
& 4- c la surface du trapèze BCcb= — 5- x BC,
la surface du trapèze CD de — — 5 — x CD,
et la surface du trapèze DE ed= — ^ — x DE ;
donc, leur somme, ou la surface de la figure entière est égale à fa+ 6 6 + ce + cl cl + e\ .„
puisque AB, BC, etc., sont égales entre elles. Or, cette somme est égale à f- + 6 + c + d x e-\ + AB.
expression qui s'accorde avec l'énoncé de la règle.
(24) Si Aa devient très petit, on n'en aura
rt + 6 pas moins surf. AB6rt = — ~ — x AB et si a
et A se confondent en un même point, ou que A B ■ XJ le trapèze AB6a devienne le triangle AB6 ou
aura — — = . dans ce cas il est clair que l'expression pour la sur-
(b , 6 + c , c + d , d + e\ face de la figure AEec76 A devient l^ + ~~2 — ~~2~ — 2~ ) x '
ou, ce qui est la même chose, (6 + c + d 4- £e) x AB. Et si Ee devient aussi, = 0, l'expression pour la surface AEdbA prendra la forme (6 + c+eZ)x AB.
Ex. 1. Les largeurs d'une figure irrégulière en 5 endroits également éloignés l'un de l'autre, étant 8.2, 7.4, 9.2, 10.2, et 8.0 et la longueur de la hase = 40 ; quelle est la surface ?
La base entière = 40= Une des parties égales= 40-4-4 = 10 Somme des largeurs — 35.2 Multipliée par 10
= surface voulue = 352
Une des largeurs extrêmes =8.2 L'autre largeur extrême =8.6
Somme des largeurs ext. =16.8
Demi-somme = 8.4
le Largeur intermédiaire = 7.4 2e Largeur intermédiaire = 9.2 3e Largeur intermédiaire =10.2
Somme des largeurs. =35.2
3. La longueur d'une figure irrégulière étant de 84 mètres et les largeurs, en six endroits équidistants, 17.4, 20.6, 14.2, 16.5, 20.1, et 24.4, mètres ; on demande la surface ? Rep. 1550.64 m. c.
3. La longueur d'une lisière de terre est de 125 perches et sa largeur prise en 15 endroits différents et équidistants, est de 5.2, 4.6/ 7.2, 8.3, 9.4, 8.1, 7.3, 7.9, 6.6, 7.2, 7.3, 8.4, 7.4, 6.5, et 5.8 perches Quel en est le contenu *?
Rep. La somme des demi-largeurs extrêmes et des largeurs intermédiaires = 101 . 7, la longueur 125 4- 14 = 8 . 92857 et 8 . 92857 x 101 . 7 — 908 . 0356 perches carrées. x
(25) REM. Certains auteurs enseignent à déterminer la surface de la figure de ce problème en faisant le produit de la base entière AE par la moyenne des largeurs que l'on obtient en ajoutant ensemble toutes ces largeurs pour diviser ensuite leur somme par le nombre de ces largeurs. Cette règle est fautive, et cela, d'autaut plus, qu'il y a un moindre nombre de hauteurs ou de divisions dans la figure à estimer. L'erreur de cette méthode, dans le cas ou il n'y aurait que trois parties composantes et par conséquent quatre hau-
1. Si la perche linéaire dont il s'agit ici est de 18 pieds français, c'est-à-dire, le dixième d'un arpent, la surface qu'on vient de trouver équivaudra à 9 arpents carrés 8 .0356 perches carrées, car, comme on l'a déjà fait remarquer, l'arpent carré est de , 10 x 10 perches = 100 perches carrées, et comme la perche carrée est de 18 x 18 = 324 pieds carrés (ou l'arpent carré de 324 x 100 = 32400 pieds carrés) on réduira au besoin la décimale .0356 de perche carrée en pieds carrés en multipliant par 324, ce qui donne dans cet exemple 11 .53 pieds carrés. Si, au contraire, lu perche linéaire, était de 16^ pieds anglais, c'est-à-dire celle de la chaîne de Gunter, on aurait en divisant par 160, 5 acres, 108 . 0356 perches, et si l'on voulait ensuite traduire en pieds carrés, la décimale de perche, il est clair que la percne carrée étant de 16^ x lo^:= 272 . 25 pieds oarrés (ou l'acre — 272 . 25 x 160 ou 66 x 660 pieds = 43560 pieds carrés) il n'y aurait qu'à multiplier . 0356 par 272 . 25 pour avoir 9 . 69 pieds carrés anglais.
tours ou largeurs, pourrait aller jusqu'à 25 pour cent en défaut de la surface exacte. Elle donne pour largeur moyenne, dans cet exemple, 107.2^-15^7.1466 et 7.1466 x 125=893.325 perches canes au lieu de î.>08.035 ; soit un défaut de près de 15 perches carrées de terrain.
PROBLÈME VII
Trouver la surface d'un polygone régulier. *
(26) REGLE I. Multipliez (663 G.) le périmètre du polygone par son demi-rayon droit, et le produit sera la surface voulue.
RE HI. Si le polygone n'est connu que par son côté, déterminezen d'abord le rayon droit de la manière suivante : Divisez 3G0° par le nombre des côtés du polygone proposé, et le quotient sera (620 G.) l'angle au centre ; c'est-à-dire, l'angle sous-tendu par l'un des côtés égaux. Maintenant les rayons droit et oblique du polygone forment avec le demi-côté un triangle rectangle dans lequel on connaît la base, c'est-à-dire, le demi-côté, et l'angle aigu opposé, c'est-à-dire, le demi-angle au centre, pour trouver la perpendiculaire ou le rayon droit du polygone.
Ex. I. Soit à trouver l'aire d'un hexagone régulier dont le côté est de 20 pieds ?
Rep. 360^6 = 60 et 60-^2 = 30° angle AOG, moitié de AOB. On a aussi OAG=90°— AOG=60°et AG=10; alors (1325 G.) sinus AOG : AG :: sin. OAG : OG; d'où,
Sin. AOG 30°... comp.ar.log 0.301030
est à sin. OAG 60° 9.937531
comme AG 10 1.000000
esta OG 17.32052 1.238561
Maintenant comme il y a 6 côtés, chacun égal à 20, on aura le périmètre =20 x 6 = 120 et la surf. = 1 20 x £(17.32052) ou ce qui est la même chose= 17.32052 x £ (120=17.32052 x 60= 1039.23120 p. c.
Ex. 2. Quel est le contenu superficiel d'un octogone dont le côté est 20 ? Rep. 1931.368.
1. Voir les bases parallèles des prismes droits et prismoïdes du Tableau et leurg sections ou coupes parallèles.
Car l'angle au centre = 360°-=-8 = 45° dont la moitié 22° 30' est l'angle AOGr adjacent au rayon droit, et son complément OAG en conséquence = 90°-22°30' = 67°.30 ; or on a (1231, 3° G.) OG = AGx tang. nat. OAG = 10 x 2.41421 = 24.41421 et surf. =24 . 41421 x 80 (demi-pér.) = 1931 . 368.
3. On demande l'aire d'un monagone dont le côté mesure 8 pieds et la perpendiculaire menée du centre = 10.99 pieds? Rep. 395.64 p. c-
4. Trouver l'aire d'un heptagone dont le côté = 19.38 et le rayon droit = 28? Rep. 1899.24.
5. Le côté d'un pentagone = 25 mètres et la distance du côté au centrer 17 . 2 mètres ; quel est le contenu *? Rep. 1075 m. c.
(27) A l'aide de cette règle, on obtient aisément l'aire d'un poly gone quelconque, 1 c'est-à-dire d'un polygone d'un nombre quelconque de côtés. Ayant donc calculé et disposé sous la forme du tableau suivant, les aires relatives des divers polygones ayant pour côté l'unité ou 1 ; savoir :
-fl- Rayon du cercle circous.
Côtés.
Hayon du cercle ins.
Aire.
L'angle OAB.
Triangle
Carré
Pentagone
Hexagone
Heptagone. . .
Octogone2 . . .
Ennéagone . .
Décagone
Undécagone. .
Dodécagone. .
Et parce que (565 G.) les aires des polygones semblables sont entre elles comme les carrés de leurs côtés homologues, l'aire d'un polygone donné quelconque aura au carré de son côté le même rapport que l'aire du polygone de même nom et dont le côté est 1, au carré de l'unité ; d'où on a :
(2S) REGIME II. Carres le côté dit polygone donné ; multipliez alors ce carré par Vaire du polygone de même nom dont le côté est 1 ; le produit sera la surface voulue.
1. Voir le3 bases et sections paralèlles des prismes et priïmoïdes, etc., du Tableau.
2. Dans le cas de l'octogone régulier ou même symétrique on obtient de suite la surface en retranchant du carré du double rayon droit ou apothème sur l'un 8es côtés, le carré de l'autre côté, comme on le verra plus tard daus le toisé des solides.
TOISÉ PfiS SURFACES. 37
Ex. 1. Quelle esl la surface d'un hexagone régulier, dont le côté
Rep 208=400, l'aire de l'exagone du tableau =2.5980762, ei
