C. Maintenant, (428 G.) A E : a c : C F

cire. A B: cire, a b : cire. C D; donc a c est moyenne arithmétique entre AE, CF ; et puisque l'arc AE, indéfiniment petit, peut être considéré (430 G.) comme étant sensiblement une ligne droite, la partie A E F C de l'anneau circalaire peut être regardée comme un trapèze; or, surf, trapèze A E F C = (347 G.) a c x AC ; donc aussi, surface anneau AC = cire, a b x A C.

Ex. 1. Combien y a-t-il de pouces carrés dans la surface d'un anneau circulaire dont le diamètre extérieur est 30 pouces et la largeur 2£ pouces ? Kep. 215 . 985.

2. Les diamètres de deux cercles concentriques sont. 15 et 10 : quelle est l'aire de l'anneau que forment ces cercles ? tfc«p. 98 . 175.

1. Tel serait une alléo autour d'un jardin circulaire, la coupe horizontale d'une colonie plan par-terre du mur d'une tour, une coupe perpendiculaire !i l'axe

d'un tuyau ou c onduit, etc., etc. Voir les bases parallèles du cylindre évidé du Tableau.

3. On demande la surface de l'anneau dont les cercles contenants ont pour diamètres 9 et 5 ? Kep. 43 . 9824.

4. Les deux diamètres d'un anneau circulaire sont 21.25, et 9.75 ; quel en est le contenu superficiel *? Rep. 279 . 9951.

5. Déterminer la superficie de l'espace compris entre deux cercles concentriques dont les diamètres sont 15 et 16? Rep. 24.3474.

(33) Si les cercles A B, a b, n'avaient pas le même centre, comme c'est le cas pour une roue excentrique, il est clair qu'on aurait tout de même la surface de l'espace annulaire compris entre les cercles en faisant (Règle I) la différence de surface de chacun d'eux.

PROBLÈME Xi:

Trouver la longueur d'un arc de cercle. 2

(34) REGLE I. Multiplies le nombre de degrés dans Tare proposé par .0087206 et ce produit par le diamètre du cercle.

REM. I. Puisque la circonférence est 3 . 1416 quand le diamètre est 1, il suit que 3 . 1416-^-360 = 0 . 0087266 = longueur 3 de l'arc d'un degré, sous un diamètre égal à l'unité. Ce quotient multiplié par le nombre de degrés dans un arc, sera la longueur de cet arc dans le cercle dont le diamètre = 1 ; et ce produit multiplié par un diamètre quelconque donnera la longueur de l'arc dans un cercle de ce diamètre.

1. Coupe ou section centrale de l'anneau excentrique du Tableau ; projection sur un plan dos bases opposées d'un tronc de cône oblique.

2. Voir parmi les modèles du Tableau. les arcs limitatifs des segments et secteurs de cercle, bases des onglets de cylindre, cônes et troncs de cônes droite, faces latérales, des pyramides sphériques et des sections de spbère évidée, etc.

3. On a déjà eu occasion de faire remarquer et il est d'ailleurs clair que l'exactitude d'un résultat est limité par celle des éléments qui y concourent ; il est donc à peine nécessaire de rappeler que suivant le degré de précision qu'on se propose, il peut devenir nécessaire de faire entrer en compte un nombre plus ou moins grand des décimales de l'unité de tel élément; ainsi il est clair que la solution du problème dont il s'agit ici peut exiger que l'on remplace le rapport^ = 3 . 1416 dont on se sert d'ordinaire par le rapport plus exact 7T = 3 . 14159, ou par le rapport encore plus approximatif Tt — 3 . 141592, 71— 3 . 1415926, 7T = 3 . 14159265, etc., avec une décimale additionnelle du terme ou facteur 71 pour chaque décimale additionnelle de l'unité du résultat.

REÏVI ». Puisque la.minute est le 60ème du degré, et la seconde la 60ème de la minute ou Le (60 60) 3600ème du degré ; si l'arc proposé contient des minutes, on réduira ces minutes en les divisant par 60, à la décimale d'un degréet si Ton a aussi des secondes, on réduira d'abord les minutes en secondes pour diviser ensuite le tout par 3600 j ce qui traduira comme auparavant en décimales d'un degré la partie fractionnaire de l'arc.

Ex. 1. Le diamètre étant de 18 pieds, quelle est la longueur de l'arc de 30° ? Rcp. 4.712364.

S. Trouver la longueur d'un arc de 12°. 10' ou 12^°, sous un diamètre 20? Rep. 2.123472.

3. Dans un cercle dont le diamètre est de 68, quelle est la longueur de l'arc de 10°. 15' ou 10.25° ? Rep. 6.082396.

4. On demande la longueur d'un arc de 57° 17' 44" ; le rayon du cercle étant 25 pieds ? Rep. 25 pieds.

Car 57° 17' 44" est la 3.1415926ème partie de 180°, c'est-à-dire, la longueur du rayon en termes de la circonférence.

5. Déterminer, dans un cercle dont le rayon est 20, la longueur d'un arc de 50° 30' 3" ? Rep. 15.885.

REM. 3. Si le nombre de degrés dans l'arc voulu n'était pas connu, on y arriverait facilement par la méthode du par. (785 €r.) où la corde et la flèche de l'arc sont données pour trouver le reste.

(35) REGLE II. Déterminez (785 G.) la longueur delà circonférence entière dont Varc donné fait partie et établisses alors la proportion suivante, savoir: 360° : la longueur de la circonférence :: le nombre de degrés dans Varc : la longueur de Varc.

Ex. 1. Sous un rayon 1 4, quelle est la longueur de l'arc de 60° ?

Rep. 14.6607720.

2. La corde AB d'un arc A C B est de 30 pieds et la hauteur ou sinus- verse EC est de 8 pieds ; trouver la longueur de l'arc ?

Rep. 35| pieds, près.

3. Quelle est la longueur de l'arc dont *a corde est 48i et la flèche 18J î

Rcp. QL7&7 près.

4. Si la corde d'un arc mesure 20.386 perches, et son siuus-verse 4 perches ; quelle est la longueur de l'arc ? Rep. 22.402 père. près.

5. On demande la longueur d'un arc de cercle djnt la corde est 40 et la hauteur 15 ? K«P 53.33 près.

(36) REGEE IIÏ. On démontre ainsi que : Von obtient, à peu de chose près, la longueur d'un arc, en soustrayant de huit fois la corde de la moitié de Tare, la corde de Parc entier, pour prendre ensuite le tiers de la différence.

Ex. 1. La corde d'un arc est de 36.75 et la corde de la moitié de l'arc 23.2 ; quelle est la longueur- de l'arc ! Rep- 49.616 près.

2. Quelle est la longueur d'un arc dont la corde est 50.8 et la corde du demi-arc 30.6 ? Rep. 64.66 près.

REM. Quand on ne connaît que la corde et la flèche de l'arc entier, on obtient au besoin la corde de la moitié de l'arc égal (365 G.) à la racine carrée de la somme des carrés de la flèche et de la demicorde.

PROBLÈME XII

Trouver l'aire d'un secteur de cercle. 1

(37) REGLE I. Multipliez (430 2° G. )l'arc da secteur (c'està dire, la longueur de l'arc) par le demi-rayon.

REGIME II. Faites Faire du cercle entier, et établissez ensuite la proportion: 360 degrés: degrés dans F arc du secteur :: l'aire du cercle entier: Faire du secteur-

Ex. 1. On demande l'aire d'un secteur, dont l'arc est de 18 degrés et le diamètre du cercle 3 pieds ? Rep. 0.35343.

S. Quelle est la surface d'un secteur dont l'arc est 20 et le rayon 10 ? Rep. 100.

3. L'arc d'un secteur est 147° 29' et son rayon 25; quel est le contenu superficiel ? Rep. 804.3986.

4. Déterminer la surface d'un secteur, quaud la corde de l'arc = 28 et la corde de la moitié de l'arc=16 ? Rep. 275.39.

5. Le rayon du cercle étant 10, quelle est la superficie du secteur dont la corde.de l'arc est 20 % Rep. 157.08.

6. La corde de l'arc est 16 et sa hauteur 6; quelle est l'aire du secteur? ReP 88.873 près.

7. Trouver le contenu d'un secteur dont la hauteur de l'arc=4 et le rayon = 8 1 Rep. 66.858 près.

1. Voir, parmi les modèles du tableau, les faces latérales des pyramides sphériques iri-acutuDgles, tri-rectangles et tri-obtusangles.

PROBLEME XIII

Trouver l'aire d'un secteur d'anneau circulaire ou

l'espace compris entre deux arcs de cercles

concentriques. *

(3S) REGLE I. Multiplies (déni, de 32, K. III. T-) la demi-somme des arcs intérieur et extérieur du secteur par sa largeur ; c'est-à-dire pur la largeur de Vanneau dont le secteur /ait partie, ou, ce qui est la même chose, par la différence des rayons des ares concentriques

qui le contiennent.

REGLE II. Trouvez par le dernier problème les surfaces dès deux secteurs concentriques ; leur différence sera la surface voulue.

Ex. 1. L'arc AEB ou CFD d'un secteur AB d'anneau circulaire est de 3°, la largeur AC de l'anneau de 2£ et le rayon AD de l'arc extérieur de 15 pouces ? Rep. La surface = 17.99875, soit 18 p. c

2. Les deux rayons d'un secteur d'anneau circulaire sont 10.625

et 4.875 et l'angle au centre 0 ou AOB c'est-à-dire l'arc AEB est de

270° ; on demande l'aire du secteur %

Rep. 209.996, soit 210.

3. Les arcs qui comprennent un secteur d'anneau circulaire sont 11 pieds 9 pouces et 10 pieds 3 pouces, et la largeur de l'anneau 13 pouces j quelle en est la surface ? Rep. llfl P- c.

4. Déterminer la superficie de l'espace compris entre deux demicercles ayant un centre commun, et dont les diamètres mesurent 20 et 30 ? Rep. 39.270 x 5=196.35.

(39) REM. Si les secteurs composants ABO, CDo n'avaient pas le même centre ; on ferait d'abord la surface de l'espace CFDO en ajoutant au secteur CFDo, ou en lui retranchant, suivant le le cas, la somme des triangles COo, DOo, pour prendre ensuite la différence entre AEBO et CFDO ; ce qui est clair.

1. Voir sur le tableau l'anneau concentrique, base du cylindre évidé. Voir aussi les faces latérales des sections de sphère évidée.

PROBLÈME XIV

Trouver la surface d'un segment de cercle. *

(40) REGLE I. Trouves (433 G,) par Vavant dernier problème, Vaire du secteur de même arc. 2° Trouvez ensuite V aire du triangle formé par la corde du segment et les rayons du secteur. 3° La somme de ces surfaces sera (434 G.) celle du segment, si le segment est plus grand qu'un demi-cercle, et si le segment est moindre qu'un demi-cercle^ sa surface sera égale à la différence de ces surfaces.

Ex. 1. Trouver l'aire du segment AEB dont la corde AB est 12 et le rayon AC = 10. AD 10 conip. ar. log. 9.000000

: AD = iAB 6 0.778151

: : Sin. D 90° 10.000000

: Sin. ACD 36° 52' = 66. 87° 9.778151

= 73 . 74° = les degrés dans l'arc AEB.

Alors 73.74 x (34 REM. 1. T.) 0 0087266 x 20 = 12 . 87 = longueur (près) de l'arc AEB et AEB x £AC = 12 . 87 x 5 = 64 . 35= surf, secteur AEBC.

Maintenant CD = VAC3— AD2=V100— 36=v64 = 8 et 6 x 8 = 48 surface du triangle ACB. De là, sect. AEBC- ABC=64 . 35-48= 16 . 35=seg. AEB.

2. On demande l'aire du segment dont la hauteur est 18 et le diamètre du cercle 50 ? Rep. 636 . 3138.

3. La corde d'un segment = 16, le diamètre =20 ; quelle est la surface? Rep. 44.764.

4. L'arc d'un segment contient 90° sous un rayon =9 ; quelle est la surface ? Rep. 23 . 1174.

5. Déterminer l'aire d'un segment dont la corde de l'arc est 24 e^ la corde de la moitié de l'arc=13 ? Voyez (536 ou 539 G.)

Rep. 82 . 53332.

(41) REGLE II. 1° Divises la hauteur ou le sinus-versé par le diamètre et trouves le quotient dans la table des sinus-verses à la fin de ce volume. 2° Multiplies alors le nombre à la droite du sinus-verse par le carré du diamètre, et le résultat sera la surface demandée.

1. Voir parmi les modèles du tableau les bases et coupes parallèles de certains onglets de cylindre, cône, sptière, fuseau, etc.

( 12) La table dont il est question contient les surfaces <>n aires des segments d'un cercle dont le diamètre est 1 el que l'on suppose divisé en 1000 parties égales. <>n y trouvera donc la surface d'un segmenl avant pour hauteur la millième partie du diamètre, celle d'un segmenl dont la hauteur égale les deux millièmes «lu diamètre, celle du segment ayant pour hauteur ou sinus-verse le.s 1(;!()TTdudiam. et ainsi de suite jusqu'au segment dont la hauteur est de ftffo du diam. c'est-à-dire jusqu'au demi-cercle en entier.

(43) Il est clair que cette règle est, analogue à la règle II du problème VII et qu'elle n'exige pas une démonstration spéciale ; car il suffit de rappeler, pour en l'aire comprendre l'exactitude, que dans deux cercles différents les segments semblables sont (ail Ci.) ceux qui correspondent à dc^ angles égaux au centre et dont les cordes (double-sinus (1216 G.) des moitiés de ces angles) et les sinus-verses ont en conséquence entre eux le rapport des diamètres de ces cercles et que (557 <*.) ces figures semblables sont entre elles comme les carrés de ces diamètres.

(44) Il est à peine nécessaire d'ajouter que s'il s'agissait d'un segment plus grand que le demi-cercle on n'aurait qu'à opérer sur l'autre segment, pour le retrancher ensuite du cercle entier, et si le quotient du sinus-verse donné par le diamètre ne se trouve pas dans la table, il sera facile de déterminer par une simple proportion la différence de surface correspondant à la partie fractionnaire de tel sinus.

Ex. 1. Le sinus-verse d'un segment de cercle étant 10 et le diamètre 50 : trouvez l'aire du segment ?

Ktîp. 10 -=-50 = H= 5 = .2 = sinus-verse de la table; l'aire qui correspond à ce sinus-verse est .111823 laquelle multipliée par 2500 carré du diam. donne pour surf, du segment proposé 279.5575.

2. On demande la surface du segment dont la hauteur est 6 et le diam. du cercle 21 ?

Rep. 6-f-21=26T=f-=.285|=.sinus-verse de la table,

auquel correspond surf. 184521

La surface qui correspond au sinus-verse plus grand suivant est 185425

La différence entre ces surfaces est 000904

Cette différence x f , c'est-q,-dire x 5 et-j-7 donne pour surf.

cor. à f 000646

A laquelle j'ajoute la surf, qui cor. à 285 184521

Pour avoir la surface entière du segment 2851 de la table. . 166167 Maintenant, multipliant par le carré du diam. 21 x 21 = . . 441

On obtient pour surface du segment proposé: 81 . 6ôS(>A7

3. Trouver l'aire d'un segment dont la hauteur est 2 et le diam. 52 ? ISep. 26 . 88.

4- Le sinus-verse est 5 et le diam. 25 ; quelle est l'aire du segment? Rep. 69.889375.

5. La hauteur d'au segment est 9 pouces et le diam. S} pieds ; trouvez la surface ? Rep. 205 . 4118 pouces carrés.

PROBLÈME XV

Trouver la surface d'une zone de cercle, ou l'espace compris entre deux cordes parallèles quelconques et leurs ares interceptés. 1

(45) REGLE ï. Trouvez d'abord par la méthode du par- (574 G.) etc., le diamètre ou rayon du cercle et les autres éléments du calcul à faire. Déterminez ensuite (425 Cî.) séparément par les problèmes déjà donnés les surfaces des secteurs et des triangles composant*, pour en prendre la somme, si la zone est centrale ; ou si la zone est soit centrale ou latérale, déterminez par le dernier problème les surfaces des deux segments ayant pour cordes les cordes de la zone ; la différence entre ces segments, ou entre le cercle entier et la somme de ses segments sera la surface voulue.

Ex. 1. Les deux cordes parallèles d'une zone sont 12 et 20 et leur distance perpendiculaire est 13 ; quelle est la surface ? Rep. 252.87859.

2. Trouvez l'aire d'une zone de cercle dont les cordes parallèles mesurent 12 et 16 et la distance entre elles 2 ?

3. Déterminez le contenu superficiel d'une zone dont les côtés sont 96 et 60 et la largeur 26 ? Rep. 2136.82

1. Voir, parmi les modèles du tableau les bases et coupes parallèles de certains onglets de cylindre, cône, sphère, etc.

•1. Si deux cordes parallèles d'une zone circulaire sont 20 et l~> et leur distance perpendiculaire I7..">; quelle estlasurfai

Mlcp. 395.4369.

5. On demande l'aire d'une zone dont chacune des cordes parallèles est 40 et la largeur 36 !

G. L'une des cordes parallèles d'une zone de cercle est de .'30 et passe par le centre du cercle, l'autre es1 t K- l(i ; on demande la surface.

RlSiMl. (Mi pourrait aussi considérer le segment donné comme compose'' du trapèze ABFD et des deux segment ('-aux Al), BF pour en déterminer de cette manière la surface.

PROBLÈME XVI

Trouver la surface d'une lunule, ou l'espace compris

entre les arcs de deux cercles excentriques

qui s'interseetent. *

(46) REG1LE. Trouves (436 $».) par Vavant dernier problème les aires des deux segments qui vont à former la lunule : leur différence aéra la surface requise.

Ex. 1. La corde AB d'une lunule AEBLA est 20 et les hauteurs des segments composants AEB, ALB sont 5 et 8 ; quelle est la surface de la lunule ? Bep. 49.302704.

2. La corde = 29, et les hauteurs des segments 10 et 12; quelle est l'aire de la lunule ? Rep. 130.204.

3. Déterminer la surface d'une lunule dont la longueur de la corde est 48, et les hauteurs des segments 18 et 7? Kep. 408.608.

4. La base AB d'une lunule est 10 et les rayons AC, AD des deux arcs contenants AEB, ALB sont 7 et 6 ; trouvez la surface.

5. La corde d'une lunule étant 10 et les hauteurs des segments 15 et 13 ; quelle est la surface ?

1. Voir parmi les modèles du tableau les beses opposées et la c lire parallèle de l'onglet de cylindre évidè.

PROBLÈME XVII

Trouver 1 la circonférence d'une ellipse.

(47) Cette figure que fait voir toute coupe FI, AD (©97 G.) ou FE, EN (ÏO©9 G.) d'un cylindre, on be (1055 G.), oc (1056 G,) d'un cône par un plan qui étant incliné à l'axe de ces solides en rencontre les deux côtés, se présente fréquemment à la considération du mesureur. 2 On la retrouve dans le cirque, l'amphithéâtre, le parterre, etc., et sur une plus petite échelle dans l'œil-de-bouc, etc., mais c'est surtout la demi-ellipse que l'on rencontre, dans la coupe des voûtes de toutes sortes, dans la tête cintré d'une porte ou fenêtre, ou d'une ouverture arquée entre deux appartements, etc.

(48) On serait peut-être tenté de croire, au premier abord, que la circonférence de l'ellipse dût être une moyenne arithmétique entre les circonférences de deux cercles ayant pour diamètres respectifs les grand et petit diamètres de l'ellipse, ou ce qui est la même chose, que cette circonférence dût être égale à celle d'un cercle dont le rayon serait égal à la demi-somme des grand et petit rayons de l'ellipse, c'est-à-dire, dont le rayon serait moyen arithmétique entre les demi-diamètres de l'ellipse ; et il en est à peu près ainsi pour les ellipses dont les diamètres nejdiffèrent, l'un de l'autre, que de 25 à 20 pour cent ; mais pour se persuader qu'il n'en est pas toujours ainsi, on n'a qu'à recourir à un cas extrême (comme on l'a déjà fait au par. (838 G.) En effet, supposons que pendant que le petit axe de l'ellipse est 1, le grand axe soit 1,000,000 ; il est évident que la circonférence d'une telle ellipse sera sensiblement égale au double de son grand diamètre, c-à-d., 2,000,000 pendant que la demi-somme 500000

+ .5 ou 500000 (car on peut négliger le 5), des axes x 3.1416 = 1 ,570809 ; et si le petit diamètre était infiniment petit relativement au grand supposé égal à 2, la circonférence exacte serait 4, (double du grand axe) pendant que la circonférence moyenne arihméthique ne

1. Quoi qu'on ne puisse à l'aide des principes dont il a été question jusqu'ici, donner une démonstration de cette règle et des quatre suivantes ; on a cru cependant devoir les insérer ici pour compléter les règles nécessaires au toisé des surfaces planes, ou de celles (1140 G. D'ail.) qui étant à simple courbure, peuvent se développer en surfaces planes.

2. Voir parmi les modèles du tableau, les bases et coupes des cylindres, cônes et conoïdes, etc., obliques et des troncs de ces corps. Ces ellipses sont de divers degrés d'excentricité ou ont leurs diamètres dans des rapports variés.

Berail que de 3.1 U59, etc., l'erreur étanl dans ee cas de 4—3. 1416 = 8584 ou près d'un quarti Mais, si l'on ne peut correctement obtenir La circonférence d'une ellipse, de cette manière, il est, démontrable qu'on y arrive exactement par la méthode suivante:

(-!!>) RS«»LE I. Multipliez la racine carrée de la demi-somme îles ran-és des deux diamètres de l'ellipse par 3.1 110, et le produit sera la circonférence voulue.

Ex 1. Le grand diamètre AB d'une ellipse est 1.") et le petit diamètre 12; quelle en est la circonférence ?

CP ' A,r + CD" 11(39G.) = V184.5=13.

583 et 3.416 x 13.583=42.6723528

2. Les grand et petit axes étant respectivement 25 et 20; déterminer la périphérie de l'ellipse? Kep. 69.3979.

3. Les denii-dianiètres d'une ellipse sont 12| et 7£; quelle est le périmètre ? Rep. 64.7667.

(50) Il est clair que la demi-eUipse CBD est égale en périmètre et en surface à la demi-ellipse ACB, et qne chacune d'elles a pour mesure la demi-circonférence et la demi-surface de l'ellipse entière. Cette règle et la suivante qui enseignent à trouver la circonférence et la surface de l'ellipse entière fournissent donc aussi le moyen d'arriver au périmètre ACB ou CBD ou à la surface de la demi-ellipse du même nom.

Il est de plus évident que tout autre diamètre EH divise l'ellipse en deux parties de même surface et de même périmètre.

(51) Il est une propriété importante de l'ellipse qui nous permet de la tracer avec facilité ou de découvrir si une figure curviligne qui ressemble à une ellipse en est une ou non ; c'est que la somme FC + F'C, EG + F'G, des rayons menés de deux points F, F' situés sur le grand diamètre et qu'on nomme foyers ou centres de l'ellipse, à un troisième point quelconque C ou G, etc., sur sa circonférence, est constante et égale au grand diamètre AB ; or il est clair que cette propriété là même nous permet d'établir les foyers. En effet, les deux diamètres d'une ellipse quelconque étant donnés, du point C ou D extrémité du petit axe, comme centre et avec un rayon CF = CF' = 0A ou 0B = \ AB on intersectera AB en F et F' les foyers voulus ; puis, des points F et F' comme centres, avec des rayons FG, F'G dont la somme = AB, c'est-à-dire, avec un rayon quelconque FG moindre que FB et un autre rayon F'G égal à la différence entre le premier

rayon FG et le diamètre AB, l'on tracera des arcs dont les intersections en G donneront un point, et en répétant l'opération une suite de points par lesquels on fera passer une courbe qui sera l'ellipse voulue.

(52) Ou, l'on fixera en F et F' des aiguilles auxquelles on attachera les extrémités d'un fil d'une longueur telle que l'on ait FC -t- F'C ou FG + F'G= AB ; il suffira alors de tenir le fil tendu au moyen d'un crayon ou d'une pointe que l'on promènera tout autour des deux foyers pour compléter le tracé de l'ellipse.

(53) Pour faire la même opération sur mie grande éclielle : après avoir pris FG ou F'G à volonté, moindre que AF' ou BF, mais plus grand que AF ou BF', connaissant l'autre rayon = AB — FG ou AB — F'G, suivant le cas, et FF' étant ainsi connu=2 OF = 2VGF2— CO2 = 2VOA3 — OC2 on n'aura qu'à calculer l'un FF'G ouF'FG des deux angles à la base du triangle GF'F et mener l'un des deux rayons de la longueur voulue et sous l'angle requis pour donner un point G de la circonférence proposée ; cette opération répétée donnera une série de points par lesquels on fera passer une ligne qui sera la circonférence demandée. Observons aussi que l'on s'exempterait le niesurage du rayon GF ou GF', en calculant chacun des angles en F et en F' pour opérer ensuite une intersection G des directrices FG, F'G.

(54) Ajoutons qu'une construction géométrique ou graphique sur une petite échelle aurait l'avantage de donner d'une manière plus expéditive et souvent assez exaete tous les angles GFF', GF'F, etc., nécessaires à la détermination des intersections ou points G du périmètre voulu.

(55) On trace encore V ellipse comme suit: Soit «c=AO ou BO le demi-grand axe, a6 = CO ou DO demi petit axe. En faisant mouvoir la droite ac de manière à tenir le point c sur le diam. DC et le point b sur le diam. AB, le point a décrira l'ellipse voulue. Dans la pratique la droite ac est une tige ou tringle quelconque, avec des aimants ou points saillants en a, b et c, et l'on dispose à l'endroit des diamètres AB, CD des tringles, rainures ou coulisses pour servir de guides aux points b et c.

(56) REGIME II. Quand les diamètres ne sont pas très-inégaux, on obtient assez correctement la circonférence de V ellipse en faisant le produit de la demi-somme de ces diamètres par 3.1416.

Ainsi les trois derniers exemples calculés de cette manière donnent respectivement pour réponses 42.41 au lieu de 42.G7, 11 au lieu de 60.40, et 62.83 au lieu de 64.76 ; c'est-à-dire, que quand la

TOISÊ DES SURFACES. 51

différence entre les diamètres n'excède pas i ou | ou quand les rapporta cuire les diamètres sont ceux de 5 : 6 ou de 4 : 5, l'erreur dans le résultat ne va pas au-delà de ,',,, on , ,',,,. et lorsque la différence entre les diamètres est de f, ou que ces diamètres sont entre eux comme 15:25 reneur devient ^ à peu près du résultat entier- Quand les diamètres sont entre eux connue 1 : 2, les circonférences obtenues par les deux, règles sont entre elles comme 47.12 : 49.66 l'erreur étant dans ce cas -^ près. Les diamètres étant comme 1 : 3 les circonférences sont à peu près : : 63 : 70, l'erreur étant dans ce cas de ,' , près. Quand les diamètres sont : : 1 : 5, les circonférences sont : : 94 : 113 et l'erreur de \ près. Enfin si les diamètres étaient entre eux: : 1 : 10 les périmètres seraient : : 173 : 223, et l'erreur de -£% ou de i près. Ce qui mettra en mesure de faire choix de l'une ou l'autre règle suivant le degré d'exactitude voulue dans le résultat.

REM. D'ailleurs il est clair qu'on pourrait aussi, après avoir trouvé la circonférence voulue, d'après cette seconde règle, la corriger par l'addition du taux d'erreur ou de défaut proportionné au rapport entre les diamètres, et tel qu'établi plus baut.

PROBLÈME XVIII

Déterminer la surface d'une ellipse. 1

(57) REGLE. Multipliez le produit des deux diamètres par .7854 ; le résultat sera la surface voulue.

Ex. 1. Quelle est l'aire d'une ellipse dont les diamètres sont 24 et 18 % Rep 23 x 1S=432=AB x CD, et 432 x .7854=