surf. ACBD

2. Si les axes d'une ellipse sont 35 et 25, quelle en est l'aire %

Rep. 687.225.

3. On demande l'aire d'un ovale dont la longueur est 70 et la largeur 50 ? »«P- 2748.9.

4. L'axe majeur d'une ellipse mesure 840 chaînons, l'axe mineur 612 chaînons : on demande le nombre d'acres dans cette enceinte ?

Rep. 4 acres 6 perches.

(58) REM. Puisque la règle donne pour surface de l'ellipse l'expression AB.CDx.7854 ou ce qui est (87 G.) la même chose

1. Les faces composantes de plusieurs des modèles du "tableau" présentent des ellipses de divers degrés d'excentricité ou dont les diamètres sont entre eux dans des rapports variés.

( VAB.CD j x .7854, il suit évidemment que Vellipse est égale en surface à un cercle dont le diamètre serait moyen proportionnel entre les deux diamètres de Vellipse. Soit d ce diam. moyen, on a AB : d : : d : CD et puisque (104 G.) AB uV ::d2: CD2 il est clair aussi que la surface de Vellipse est moyenne proportionnelle entre celle des cercles inscrit et circonscrit, c'est-à-dire, entre celles de deux cercles ayant pour diamètres respectifs les deux diamètres de Vellipse.

(59) REM. Aidés des deux règles qui enseignent à déterminer la circonférence et la surface d'une ellipse ; on pourra les substituer avec avantage à la méthode moins précise et plus longue du par. (437 G.) dans l'estimation des périmètres et surfaces des bases curvilignes, c'est-à-dire, (4'7 T.) elliptiques, du cylindre oblique et du tronc de cylindre (SS7 et 1099 G.) ainsi que celles du cône oblique et du tronc de cône (1055, 1065, 1007, 1140, etc. G.)

PROBLÈME XIX

Trouver la surface d'un anneau elliptique.

(60) *?EGEE I. Déterminez séparément les surfaces des deux ellipses concentriques, et prenez-en la différence qui sera la surface voulue.

REGLE II. Multipliez la demi-somme des circonférences parallèles des deux ellipses limitatives par la largeur de Vanneau.

Ex. 1. Quelle est l'aire d'un anneau el- C

liptique dont les diamètres intérieurs sont 10 et 20 et les diamètres extérieurs 12 et 22 ?

ReP. 10 + 20 + .7854= 157.08, 12 x 22 x .7854=207.3456 ; la différence 50.2656 de ces deux résultats est la suaface voulue de l'anneau. •"

2. La circonférence extérieure d'une ellipse est 100, la circonférence intérieure 90, la largeur de l'espace intermédiaire étant de 3.5.; on demande la surface de l'anneau "? Rep. 332.5.

3. Déterminer la superficie d'un demi-anneau elliptique, dont les périmètres parallèles mesurent 93 et 77 pouces et la largeur 10 pees ?

Rep. 850 pouces carrés ou 5.9028 pieds c.

4. Evaluer l'aire d'une partie quelconque Aa cC d'un anneau elliptique, dont l'arc extérieur AC est 15, l'arc parallèle «c 12, et la largeur 3 ? Kep. 40 5.

RUJI. Il est à peine nécessaire (l'observer que si la largeur de l'espace annulaire n'était pas partout égale, ou même si l'ellipse intérieure avait une position quelconque par rapport à son enveloppe extérieure, ou un rapport quelconque entre ses diamètres, on n'en obtiendrait pas moins la surface voulue parla première des deux règles de ce problème.

PROBLÈME XX

Trouver la surface d'un segment d'ellipse dont la base est parallèle à l'un o à l'autre axe de l'ellipse. x

(61) SSE&EE. Divises la hauteur du segm ')it par celui desdeux, diamètres dont cette hauteur fait partie, et trouvez dans la table annexée à ee traité le segment de cercle dont le sinus-verse est égal au quotient. Faites alors le produit continu du segment ainsi trouvé et des deux axes de Vellipse ; ce produit sera la surface couine.

Ex. 1. Evaluer l'aire du segment ^

elliptique AGH dont la hauteur AK = ^-— ni-— ^ rtZ^J^N

10, et les deux axes AB, CD, 34 et 23 ? 1>(~ f^Xp [\\

Rep. 162. 02 A. o b C 01,

2. Quelle est la surface d'un segment d'ellipse, dont la base GH est à 36 du centre O, les axes étant 120 et 40. Rep. 536. 75.

3. Déterminez la surface d'un segment d'ellipse, dont la hauteur CL est 8 pouces; les deux axes étant 4 et 3 pieds. Rep.

(62) REM Si les segments d'ellipses ACD, aed, ace, de la fig du par. (1140 G ) répondent à la définition de l'énoncé de ce prob* on pourra au besoin faire l'application de la règle ici donnée pour en exprimer les surfaces. On estimerait de même au besoin la superficie du segment d'ellipse qui forme la surface supérieure de l'onglet fig, 2 du par. (1143 «.) Et si le segment à estimer était la zone ou partie AEFI3, CGHD, on aurait la surface voulue égale à la- différence entre les denii-ellipses ACB, CAD et leurs segments respectifs ECF, GAH.

1. Plusieurs des onglets de cylindre, de cône et de sphéroïde du tableau présentent dans leurs coupas ou sections d^s segments d'ellipse, les uns plus grands, les autres plus petits que la demi-ellipse ; d'autres, des demi-ellipse3; d'autres enfin, des zones d'ellipse.

PROBLÈME XXI

Trouver la surface d'une parabole. 1

(63) Cette figure est relie que présente la coupe d'un cône par un plan parallèle à son côté'incliné. (ADC, fig. du par. (11-lOG.) en donne une idée). Elle a ceci de particulier que tout point E, H? etc., de la courbe est également éloigné d'un point F qu'on appelle foyer et d'une droite M N perpendiculaire à l'axe CD) qu'on appelle directrice et dont la distance S C du sommet C delà parabole est égale à la distance FC du foyer au sommet; c'est à dire que l'on a toujours EF = EM, HF = HN, etc; or on démontre que l'endroit F du foyer se trouve en bissectant BD eu T, joignant CT, et menant TE perpendiculaire à CT pour avoir DR = CF = CS. Le foyer F trouvé et la position de la directrice MN déterminée, on trace la courbe en menant un série de droites indéfinies GH (appelées ordonnées) parallèles à AB ou perpendiculaires à l'axe CD; puis, du foyer F comme centre et avec un rayon US égal à la distance entre les parallèles GH, MN on intercepte GH en G et H, ce qui détermine deux points dans le périmètre de la parabole. Cette opération suffisamment répétée donnera une sérié de points, par lesquels on fera passer une courbe qui sera la figure voulue.

(64) On trace encore la parabole à l'aide d'une équerre abc, dont la branche bc est égale à la distance de la directrice MN à la base KL de la parabole proposée. A l'extrémité c de l'équerre et au foyer F, l'on attache un fil cGF égal en longueur à cb. On glisse alors la brandie ab de l'équerre le long de la directrice MN en tenant feu même temps le fil tendu le long de la branche be, au moyen d'une pointe ou crayon dont le mouvement décrit la parabole voulue.

(65) &E€SliE. Multipliez la base par la hauteur et prenez les deux tiers du produit pour la surface voulue.

Es. ï. Trouver la surface de la parabole ACB dont la base AB est 20 et la hauteur CD 18? Rvp. 240

2. La base d'une parabole est 13.5, et la hauteur 11 .2> : quelle en est l'aire ?

Hep 101 .25.