CD = 10, AD = 8 ; quelle est la surface ? Itep. 106L

1. Cette figure, comme toutes les autres figures dont traite le " toisé des surfaces" se trouve parmi les faces constituantes des modèles du Tableau, voir à cet efi'et, les onglets de cône et de conoïde.

(66) REM. T! sui! de la définition de la parabole que toute partie GCH, ECV de la parabole ACB terminée par une base <;il, EV parallèle à AB, est encore une parabole, et non un simple segment, comme dans le cas de L'ellipse ; car le cône peut être sensé coupé par un plan parallèle à sa hase et cela tant en deçà qu'au delà de c< tte base en KL sans cesser d'être un cône et par conséquent, sans que la définition de la section KCL ou ECV, etc., en soit aucunement altérée.

D'où il résulte que pour arriver à la suif ace d'une zone, d'un segment AEVB de parabole par une ligne quelconque EV parallèle à sa base, on n'aura qu'à prendre la différence des paraboles entiè partielle ACB, ECV.

(67) Il y a encore, l'hyperbole » (section d'un cône par un

1. 1- ICB se voit à l'endroit des coup ions do certains onglets de

cône et de ci ni ï le [ue I' n trouvera parmi l< s a odèles du Ta<

Cette courbe est, mais dans un sens inve se, analogue à l'ellipse. Ainsi, pendant que dans l'ellipse C'tï T")> c'est la somme des rayons menés

Mx foyers qui est constai te ou inva dans l'hyperbole, au contraire, c'est la différence de ces mêmes rayons qui demeure ci n-tante ; ce qui fait que les deux moitiés, p irties ou brandies de la courbe (hyperboles eonjugées comme on les appelle) présentent l'une àl'.utre, non leur.- ô'és concaves comme dans l:ellip e. mais .eurs ex: émiti , sommets ou côtés convexes. Pour tracer eette courbe sans conditions de dimensions, c'est à-dire, san< conditions quant aux dimensions du cô e ou quant à la position du plan de section, ayant pris à volonté deux points, F, F, éloi nés l'un de l'autre d'une distance arbitraire, puis de l'un de ces points ou foyer.- avec un rayon queleoe [ue ayant décrit de chaque côté de l'axe, (c'est-à-dire, de la ligne qui relie les loyers) un arc, l'on décrira de l'autre foyer comme centre et avec un rayon excédant le premier d'une diàérence donnée deux autres ares qui à l'endroit de leur intersection avec les deux piemiers arcs déti rmineront 2 points dt la coui be v< raine. L'on repétera cette opération avec deux nouveaux rayi ns, prenant garde toutefois que le second rayon ex sede toujours le premier de la aiffnence donnée, (laquelle comme on l'a vu doit demeurer constante) «e qui fournira deux autres points dans la courbe à décrire; et l'on coi tinuera à déterminer ainsi d'autres points de la couibe jusqu'à ce que leur suite et uiection rendei t évident le parcour.- de l'hyperbole. Si, maintenant, l'on transpose les rayons, il est cla^r que l'on aura une nouvelle série de poii.ts, celle de l'nyperbole coDJugée. On appelle centre de l'hyperbole, comme de l'ellipse, le point 0 qui est à mi-chemin entre les doux foyers.

L'on peut encore, comme pour la parabole et l'ellipse tracer l'hyperbo'e par vu inoy n mécanique. Prenant une îègle que l'on assujettira par un lotit, à l'un des foyers de la courbe à décrue, et de manière que la règ e .-oit mobile autour du ait loyer l'on reliera l'autre extrémité de la règle au second foyer par une corde ou ligne qui devra être m ins longue que la règle, de la différence voulue entre les rayons; a crayon ou une pointe qui tiendra la corde tendue et en m^me temps en contact avec la règle déi i t que la règle tournera autour du premier foyer, l'hype b :

lue et la transposition de la règle et de la corde' permettra de décrire à volonté l'autre branche de la courbe.

plan qui en rencontre la base sous un angle plus grand que celui que f.iit le côté du cône avec cette hase) la «-ycloide, (que l'ait décrire à un point situé sur la circonférence d'un cercle maintenu dans un même plan, une révolution entière du dit cercle le long d'une droite qu'on appelle base de la courbe, laquelle ressemble fort à une demiellipse, fig. du paragraphe (OS; e; plusieurs asatres figu . es curv.'Bigsies, dont on peut avoir à évaluer les surfaces et périmètres, et pour lesquelles il existe des règles spéciales qui permettent d'en établir avec toute la précision voulue les aires et circonférences relatives ou absolues : niais on remarquera ici comme on l'a déjà fait (11SO G.) qu'il y aura généralement à s'enquérir tout d'abord de l'espèce même de la figure proposée; et le travail seul qu'exigerait celte opération préliminaire serait souvent suffisant pour décider de recourir de suite à la méthode du problème suivant.

(08) Un œil même exercé aura souvent peine à se rendre compte de la nature de la figure à estimer, et Fou commettra parfois d'assez graves erreurs en s'y méprenant. Il y a C

par exemple la courbe AECFF3, dite anse- ^^**~ ] ~"^::=^I, tle-pauier et d'autres de cette sorte qu'on fe [ «r\

retrouve souvent dans la coupe d'une •"- Q B

voûte et dans la tête cintrée d'une ouverture, et qu'on serait peut être quelquefois tenté de prendre pour une ellipse, afin d'en évaluer le contenu superficiel d'après la règle applicable à cette figure ; or, l'on voit que dans le cas actuel la différence AECe + BFC/' (ou 2 AECe) entre les deux figures, peut être trop considérable pour permettre de la négliger.

PROBLÈME XXII

Déterminer la surface d'une figure curviligne quelconque.

(09) Rî'.CwLE. Divisez la figure entière, si elle est irrégulière, [c'est à-dire, si les parties correspondantes ne sont pas symétriques) la moitié ou le quart, si elle tst régulière, en trapèzes de \\ème largeur ou hauteur, et procédez ensuite à In manière du problème VI. doublant ou quadruplant au besoin la surface ainsi trouvée pour avoir faire entière de la figure.

TOiSÉ DES SURFAc ',B.

tr rf

(70) La méthode d'évaluation par trapèzes, sera d'autant plus exacte qu'il y aura dans la figure à estimer des concavités et convexités arô&,&ec,compensatoires l'une de l'autre, comme l'on en remar-

t (*) Parmi ces figures, a est l'ove ou ovale ; (telle est la coupe verticale de l'œuf, etc.,) 6 est l'ellipse, (tel e est la coupe du melon, etc.,) ou toute autre figure analogue, l'oeil-de-bouc, la coupe du sphéroïde, l'amphithéâtre, etc.; c est la demi-ellipse, ansede-panier, cycloïde, tête cintrée surbaissée d'une ouverture, coupe d'une voûte, etc. ; d, une figure curviligne irrégulière quelconque; e, une parabole ou autre figure analogue, hyperbole, tête cintrée surhaussée d'une ouverture, coupe d'une voûte, coupe verticale d'un cocoïde, d'un dôme, etc.; /"est l'arche rampante ou la coupe d'une voûte inclinée; g est la surface latérale ou convexe développée d'un onglet de cylindre droit; h, la surface latérale développée d'un onglet de cône droit ; m le développement de la surface d'un onglet de cylindre ou de cône oblique. Les lunettes ou intersections de voûtes, dont on a fait déjà mention à l'article (11-43 G.) présentent aussi des surfaces dont le développement offre à la considération du mesureur les trois dernières figures que l'on vient de définir. La surface latérale développée d'un tronc de cylindre droit présente la firme I; et il suit du par. (997 G.) et de la dérn. du par. (1099 G) qu'il suffit de multiplier la demi-somme de sa moindre et de saplu3 grande hauteur ar la longueur op perpendiculaire à rs ou -vt, cette largeur étant évidemment égale à la circonférence développée d'une section du cylindre par un plan perpendiculaire à son use ou côté. Le développement de la surface latérale d'un cylindre oblique (997) pré-ente la figure n, dont la hauteur rs qui est celle du côté incliné du cylindre, est partout uniforme, l'aire de l'enveloppe étant par conséquent égale au produit de rs par la largeur ap, périmètre d'une section perpendiculaire à l'axe ou au côté du solide.

Il est utile de dire aussi que si l'onglet de cylindre droit dont la fig.^/ est l'enveloppe, au lieu d'être partiel comme K.LNE ou KLRF page 409, est entier ou complet comme ADd, page 3SS Gr. on aura la superficie de g en faisant le produit de op par la moitié de rs, car dans ce cas g ne sera autre qu'une enveloppe k de tronc de cylindre dont la moindre hauteur -et serait égale à zéro. En ajustant à la paroi latérale d'un onglet ou tronc de cylindre et de cône du tableau, une feuille de papier, pour ensuite le tracer ou découper à volonté, l'élève se fera une excellente idée de la nature des surfaces

développées dont il est ici question.

que dans les figures g, h, m, Je, puisque alors le segment bec qu'on néglige en considérant comme trapèze la partie BCceb de l'aire à évaluer, sera compensée par le segment adb qui est de trop dans le trapèze ABba.

(71) Mais quand la figure sera toute convexe on ajoutera à la précision en faisant entrer en compte la somme des segments abd, bce, etc., dont on fixera à l'œil ou autrement la largeur moyenne que l'on multipliera par le périmètre correspondant adbec pour en avoir la surface.

(72) Observons aussi que au lieu de regarder comme nulle la hauteur initiale de la figure, à l'endroit A de la naissance de la courbe, ce qui donnerait pour aire de la partie ABbdaA de la fig. le triangle ABb, on obtiendra plus d'exactitude en regardant comme ligne droite la partie presque verticale Aa de la courbe, ce qui donnera alors pour surface plus approximative de cette partie composante de la fig. le trapèze AabB au lieu du triangle AbB.

Il est clair aussi qu'une subdivision continue T>d, Ee, et suffisante pour permettre de considérer comme étant sensiblement des lignes droites les parties ad, bd, be, etc., de la circonférence convexe ou concave de la fig. aura aussi l'effet d'ajouter singulièrement à l'exactitude du résultat.

(73) Il est encore un moyen assez correct et expéditif d'arriver à la surface d'une figure irrégulière ABCD, celui de la réduire en une figure régulière ou rectiligne équivalante quelconque par des lignes compensatoires ab, bc, c'est à-dire, telles que la somme des parties excluses par ces droites soit égale en surface à la somme des parties comprises dans leur enceinte, opération graphique ou mécanique pour l'exactitude de laquelle on s'en rapportera souvent à une appréciation oculaire.

(74) Enfin, pour ce qui est de l'évaluation des longueurs déve-' loppées des périmètres des figures dont il s'agit ici, remarquons encore comme on l'a fait, page 596 G, que la manière souvent la plus expéditive et non la moins exacte d'y arriver, consistera dans l'emploi d'un fil ou ruban ou de tiges ou triangles en bois ou en métal assez minces pour permettre de les ajuster au périmètre à estimer, afin d'en déduire de suite les dimensions voulues.