PE0BLÈME XXV
Trouver la surface d'un tronc de cône droit ou régulier à bases parallèles. — (Voirie tableau.)
(109) REGLE. Multipliez (1043 G.) la demi-somme des circonférences des deux bases par la hauteur inclinée du tronc : vous aurez la surface convexe ; à laquelle ajoutez les aires des deux bases, pour aroir la surface entière.
Ex. 1. Le côté d'un tronc de cône est 12|, et les circonférences de ses bases 8.4 et 6 ; quelle en est la surface latérale 1 Rep. 90.
2. Quelle est la surface entière d'un tronc de cône dont le côté est de 16 pieds et les rayons des bases 3 et 2 pieds ?
Rep. Surf. lat.=251.328, surf, base inf.=28.2744, surf, base sup. = 12.5664, surf, totale = 292.1688.
3. La partie conique d'un entonnoir a pour grand diamètre 10 pouces, pour petit diam. 1 pouce, et pour côté incliné 15 pouces; quelle en est la surface latérale ?
Rep. 259.2 pouces carrés=1.8 pieds carrés.
4. Le toit incliné (rime tour circulaire dont le diamètre est de 30 ]>icds et le côté de 20 pieds est terminé au haut par une plateforme dont la ciicoiif'érence est de :>:{ pieds; on demande combien il a fallu de carres de zinc pour le recouvrir, y compris la platefo.uur .'
Rop. Surf. lat.=1272.48, surf, base sup.=(33) x .07958=86.66, surf. requise= 1359.1 1 pieds carrés=13i carrés 9 pieds carrés.
5. Combien faudra-t-il «le pouces carrés de dorure pour recouvrir l'intérieur d'un goblel dont la circonférence inférenee est (i pouces, la cire. sup. ? pouces et le côte 'SI p0UC(
Kep. La paroi latérale = 3.V x i(G + 7)=22.75 pouces carrés, le fond = 6 x 0.07958 =2.805, le tout=25,615 pouces carrés.
PROBLEME XXVI
Déterminer la surface d'un cône ou d'un tronc quel..
conque de cône oblique ou irrégulier. — (Voir le tableau.)
(110) REGLE. Divises la surface latérale du eôue, par des lignes menées du sommet à la luise eu triangles ou secteurs, et la sur/ace latérale du troue de eôue par des lignes menées entre les deux bases, eu trapèzes, etc. ; estime:' séparément la superficie de chacune des parties composantes et prenez eu la somme pour la surface voulue.
PROBLÈME XXVII
Déterminer le volume d'un cône droit ou oblique.
(Voir les modèles.)
REM. La formule générale se réduit pour le eôue droit, comme pour la pyramide régulière à l'expression simplifiée suivante, car ao=-l AO et par conséquent surface médiane o=J suif. O et comme io=0, il s'en suit que4o + Ox *SO=0 x £SO.
(111) REGLE. Multiplie: (1030 G.) la surface de la base par le tiers de la hauteur, et le produit sera le volume repus.
1. Lire la formule générale et la remarque qui a trait au volume de la pyramide, problème XIV.
Ex. 1. Quelle est la solidité d'un cône dont la hauteur est de 27 pieds et dont la base est un cercle de 10 pieds dd diamètre ?
Rep. 706.86.
2. La circonférence de la base d'un cône droit est 9 pieds, sa hauteur étant de 10| pieds; quel en est le volume 1 Rep. 22.56.
3. La surface de la base d'un cône oblique est de 1000 mètres et sa hauteur 30 mètres; quel en est le contenu solide ?
Rep. 10.000 mètres cubes.
4. Un rocher ou monticule en forme de cône irrégulier a pour base une figure dont la surface est de 5300 verges carrées, la hauteur du corps étant de 105 verges ; combien aurait-on à enlever de verges cubes de matière pour le faire disparaître ? Rep. 185.500
5. Quel est le volume de l'espace compris sous un toit conique dont la hauteur est de 30 pieds et le diamètre 30 pieds ?
Rep. 7068.6 pieds cubes.
G. Combien de pouces cubes de dragées peut contenir un cornet de 3 pouces de diam. et 9 pouces de longueur ? Rep. 211
H. La circonférence du fond conique d'une chaudière est de 10 pieds et la hauteur du cône de 1 pied ; combien de gallons contiendra cette partie du vaisseau.
Rep. 10 x 10 x .07958 x £=2.652666 pieds cubes, x 1728 et^23] = 19.843 gallons.
PK0BLÈME XXVIII.
Déterminer le volume d'un tronc de cône droit ou oblique, e.-à-d. d'un tronc de cône quelconque, à bases parallèles. (Voir les modèles.)1
(112) REGLE I. A la somme des surfaces des deux bases, ajoute: quatre fois la surface d'une section à mi-distance entres elles, c'est-à-dire d'une section dont les facteurs linéaires soient moyens arithmétiques (1265 G.) entre ceux des deux bases; multiplies alors la somme ainsi obtenue par un sixième de la hauteur du tronc ; le pro (luit sera le volume requis.
REGLE II. Trouver (1063 G.) d'abord une moyenne proportionnelle entre les deux bases ; faites ensuite Vaddition
1. Voir la remarque qui a trait au tronc^de pyramide, problême XV.
continue de cette moyenne et des deux bases du tronc ; multipliez alors cette somme par le tiers de la hauteur du tronc et le produit sera le volume requis.
Ex. 1. On demande la solidité d'un tronc de cône droit, dont La hauteur esl 18, le diam. de la base inf. H, et celui de la base sup. 4?
Rep. Base inf. ="8x8 x. 7854 = 50.2656, base 8up.=4~x~4x .7854 =12.5664, le facteur moyen arith. entre 8 et 4 = i(8 + 4) = 6, 6x6 x .7854 x 4=113.0976, l;i somme de ces surfaces= 175.9296, multipliant par 3 (le sixième de la hauteur 18) on a 527.7888.
2. Combien de pieds cubes d'eau pourra contenir un réservoir en tonne de tronc de cône renversé dont le plus grand diamètre est de 200 pieds, le plus petit diam. 100 pieds, et la profondeur 25 pieds?
Rep. 458,153 pied cubes.
3. Un tuyau conique relie deux conduits de 10 et 20 pouces de circonférence, sa longueur ou la distance perpendiculaire entre ses deux bases est de 25 pouces ; cpielle est la capacité de cette partie du conduit ?
Rep. Surf, petit bout=(31 T.) (10) x .07958 = 7.958, surf, gros bout=(20)2 x. 07958 =31. 832, la circonférence moy. arith. = *(10 + 20) = 15, (15)3 x .07958 x 4=71.622, la somme= 111.412, cette somme x J (25) = 464.51066 pouces cultes.
4. Quelle est la capacité d'une tinette dont la hauteur est de 20 pouces, le diam. inf. 10 pouces, et le diam. sup. 16 pouces ?
Rep. 2701.776 pouces cubes -7-1728= 1.55 pieds cubes.
5. Un vaisseau qui présente la forme de deux troues de cônes réunis par leur plus grandes bases, mesure 40 pouces de longueur, 28 pouces à la bonde ou au centre et 20 pouces à la tête ou aux extrémités ; combien côntiendra-t-il de gallons ?
Rep. 20 x 20 x .7854=314.16, 28 x 28 x .7854=615.7536, 24 x 24 x .7854x4=1809.5616, la somme des surfaces =2739.4752, x i(20) = 9131.584 pouces cubes=le contenu d'un des troncs composants, x 2= 18263.1680 pouces cubes,^231 =79.06133 gallons. Rep. Par la 2nde règle on a :
surf, moindre base= .7854 x 202 =314.16
surf, grande base = .7854 x282 =616.7536
suf. moy. prop. = (98 REM. T.) .7854 x 20 x 28=43!>.^24
1 31 i! (.7376 multipliant par le, tiers de la hauteur du tronc 6f
on obtient pour vol. du tronc 2
doublant, on a pourvoi, total comme auparavant 18263.1680
REM. Il est à peine nécessaire de dire qu'au lieu de multiplier séparément par .7854 ou par .07958, suivant le cas, les carrés des diam. ou des cire, des bases opposées et 4 fois le carié du diani. ou de la cire, de la base intermédiaire, pour en prendre ensuite la somme ; on se sauvera du travail en faisant tout d'abord la somme de ces carrés pour n'avoir à multiplier qu'une fois par les facteurs .7854 ou .07958.
PROBLÈME XXIX
Trouver le volume d'un tronc de cône quelconque à
bases non parallèles. — (Voir le tableau.)
(113) RISCJEE I. Décomposez le tronc donné en nu tronc de cône à bases parallèles et un onglet de cône, par un plan de section parallèle à l'une des bases et passant par le point le plus rapproché de l'autre brsc. Calcule: alors le volume du tronc de cône à bases paràltèles par la règle du problème XXVIII, puis celui de Vonglet de cône par problème suivant ; la somme de ces volumes sera celui du tronc proposé.
(114) KEGLE If. Déterminez séparément (lOCT O.) les volumes respectifs des cônes entier et partiel ; la différence de ces A./ volumes sera la solidité requise.
Ex. Les surfaces inf. et sup. d'un tronc de cône à bases non parallèles sont 30 et 20 mètres, les hauteurs respectives des cônes entier et partiel sont 33 et 17 mètres ; quel est le volume du tronc.
. (30 x 133) - (20 x il7) = 330- 113i=21Gf mètres cubes.
