PROBLÈME XXX

Trouver le volume d'un onglet de cône.

(Voir le tableau.)

(115) REM. Soit l'onglet DAd à bases entières ABDEA ou AbdeA, c'est-à-dire, dont chacune des bases est une ellipse, ou l'une un cercle et l'autre une ellipse ; ou l'onglet ABC-D à bases partielles c'est-à-dire, dont chaque base est un segment d'ellipse ou l'une un Segment de cercle et l'autre un segment d'ellipse, une parabole ou une hyperbole, suivant que l'onglet dans chacun des deux cas est ce-

lui d'un cône droit ou d'un cône, oblique. Imaginez un plan de section parallèle à l'une ou à l'autre des deux bases et mené à mi-chemin entre telle base et le sommet D ou d, B ou D, suivant le cas, de l'onglet, c'est-à-dire, passant par le milieu de Dd ou de BD ; la coupe scia dans le premier cas un demi-cercle si la base à laquelle elle est parallèle est un cercle, une demi-ellipse si la base à laquelle elle est parallèle est une ellipse, et cette demi-ellipse sera aussi semblable à celle à laquelle elle est parallèle ; dans le second cas la coupe de l'onglet ABC-D sera un segment de cercle si la base qui lui est parallèle est un cercle, ou un . segment d'ellipse si le plan de section est ~" parallèle à une base elliptique ou enfin une parabole ou une hyperbole. Le sommet de l'onglet n'est évidemment qu'un point d ou D, ^ ^tj

D ou B et sa surface est en conséquence nulle ou = 0. Donc la formule générale '• somme des surfaces des deux bases ou extrémités opposées, plus 4 fois la surface de la section médiane, multipliée par la sixième partie de la hauteur de l'onglet " se réduit comme pour le cône ou la pyramide à l'expression suivante :

(116) REGLE I. A la surface de la base ajoutez quatre fois celle de la section médiane parallèle à telle base et multiplies la somme de ces surfaces par la sixième partie de la hauteur du solide ; le résultat sera le volume près de V onglet proposé. (Voir les problèmes qui ont trait aux surfaces des segments de cercle et d'eUipse, à celle de la parabole, etc., problèmes XX et XXI, etc.

Ex. 1. Soit un tronc de cône droit dont la hauteur =20, le diamètre inférieur=15, diam. supérieur =9.6, diarn.

intermédiaire (15 + 9.6)^2=12.3. Imaginez un plan de section passant entre les extrémités opposés des diamètres inférieur et supérieur ; ce plan partagera le tronc donné en deux onglets, l'un ayant pour base la base inférieure du tronc de cône, l'autre, la base supérieure du tronc. La section intermédiaire de l'onglet dont le diamètre de la base est 15, sera un segment de cercle dont le sinus- verse = 15-+-2 = 7.5 et la section intermédiaire de l'autre onglet sera aussi un segment de cercle ayant pour sinus- verse 12.3 — 7.5 = 4.8. La surface de ce dernier

segment = (41, T.) 42.94 et celle de l'autre segment égale celle du cercle dont le diam. est 12.3 moins 42.94 = 118.82—42-94=75.88.

Maintenant, volume onglet inférieur = 75.88 x 4 + 176.71 (surface du cercle dont le diam. est 15) x 20+6= 1600.75, le volume réel =1596.98. la différence = 3.77 = inoins que le quart de un pour cent en surplus.

(117) L'autre onglet a pour volume 42.94 x 4-^72.38 (superficie du cercle dont le diam. est 9.6) - 171.766+72.38=244.1486 x 20-f-6 = 813.829. Ce volume ajouté à 1600.75 donne pour somme des volumes des deux onglets 2414.579. Le volume du tronc = surf, cercle diam. 9.6 + surface, cercle, diam. 15 + 4 surf, cercle, diam. 12.3, le tout multiplié par 20-^6=2-114.63376 qui ne diffère du dernier résultat que parce qu'on a négligé de faire entrer en compte toutes les décimales.

Ex. 2. Avec le même tronc de cône que dans le dernier exemple, supposons que le plan de section passe par l'extrémité de la base supérieure et coupe la base inférieure à 5 de l'extrémité opposée de cette base ; alors (4.1, T.) pour surface du segment de base dont le sinus-verse est 5 on aura 51.5637, et comme la surface du cercle à diam. 15 est 15 x 15 x .7854=176.715, on aura, en en déduisant 51.5637, la surface de l'autre segment de la base dont le sinus-verse est 10= 125.1513. Maintenant pour les bases intermédiaires respectives des deux onglets, on obtient pour celui dont le sinus-verse est 5 (moitié de 10) 45.3492 et pour l'autre segment dont le sinus-verse est 12.3 — 5=7.3 on a surf., cercle à diam. 12.3—45.3492 = 118.8232—45.3492 = 73.474. On obtient en conséquence pour volume de l'un des deux onglets (celui qui a pour base la base inf. du tronc) 125.1513 f 4 fois 45.3492 = 306.548 et 306.548x20+6 = 1021.8267; le volume réel = 1015.701, la différence est de 6 + , soit des 6 dixièmes à peu près de 1 pour cent en surplus.

Ex. 3. Un autre tronc dont la hauteur=40 et dont les diam. inf. et sup. sont 60 et 38.4 et le diam. intermédiaire en conséquence = 49.2 = 60 + 3874 -H 2, le tronc divisé en deux onglets à bases non tronquées comme dans l'exemple No. 1, donne pour surfaces respectives des segments qui constituent les bases intermédiaires des deux onglets dont les sinus-verses sont 19.2 et 30, 687.050251 et 1214.120405 dont la somme = 1901.170656 (surface du cercle qui forme la coupe intermédiaire du tronc); surface base sup. = 1158. 119424, surface base inférieure =2827.44, volume onglet inf. = 51,226, le volume de l'onglet supérieur =26,042, la somme des deux =77.268 = volume du tronc. Le premier volume 51.226 excède de 123 le volume réel qui est 51 , 103, l'erreur étant de 0.24 ou de £ pour cent près, le second volume

36.042 est moindre que le volume réel qui est do 2(5.165, de .123 ou de près d'un demi de un par cent en moins.

Le volume de l'autre onglet=51 5637 + 4 fois 73474+72.3825, le tout ■ 20 6=1392.80706, ce qui ajouté à 1021.8267 volume de l'autre onglei donne pour volume entier <lu tronc 2414.63376. Or le tronc séparément Calculé = comme dans le dernier exemple 2414.63376.

(118) RE ML Puisque la formule appliquée au tronc de cône donne un résultat exact , et que le volume de l'onglet qui a pour base inférieure la base du tronc, excède le volume réel, comme on vient de le voir, de | pour cent (plus ou moins) à peu près, il s'en suit que le volume de l'autre onglet est moindre que le volume réel précisément de la quantité qui est de surplus dans le premier onglet, ce qui est? évident.

Ce qui est certain, c'est que dans la pratique l'on préférerait perdre ou gagner suivant le cas, le demi pour cent d'erreur dont il est question que de se donner la peine, pour arriver à un résultat plus exact, de faire un calcul long et difficile que comporte la formule exacte et en cela faisant perdre un temps, qui d'ordinaire vaudrait beaucoup plus que l'enjeu d'une demi unité sur cent unités, ou de une unité sur 200.

Ex. 4. Les segments d'ellipses qui servent de bases à un onglet de cône, sont (61 T.) respectivement de 20 et 15 pieds en superficie, et les hauteurs des cône entier et partiel perpendiculaire à ces bases sont (1O07 G.) de 30 et 23 pieds; quel est le volume de l'onglet ?

Rep. (20 x J3Ô)-(15 x 423) = 300 -115 = 185 pieds cubes.

PROBLÈME XXXI

Déterminer le volume d'un onglet de cylindre. (Voir les divers onglets de cylindre du Tableau Sterëomêtrique.)

(119) WOTE. L'onglet de cylindre, comme l'onglet de cône se rencontre quelquefois dans la pratique du mesureur à l'endroit des intersections de voûtes, etc. ; et dans la pratique du jaugeur qui a quelquefois à évaluer la quantité de liqueur dans un vase cylindrique ou conique incliné à l'horizon. Les parties composantes de certains corps peuvent aussi offrir au calcul des solides de cette sorte, comme quand on décompose pour les fins du toisé, un tronc de cylindre ou de cône à bases non parallèles en un tronc à bases parallèles et un onglet, pour en déterminer séparément les volumes et faire ensuite la somme de ces volumes.

(120) REUI I. Si la base de l'onglet est entière ou non tronquée, c'est-à-dire, si cette base est, ou un cercle ou une ellipse,, suivant que l'onglet ou le cylindre dont l'onglet fait partie est droit ou incliné, alors l'onglet peut être considéré comme un tronc de cylindre à bases non parallèles et dont la moindre hauteur =0, et dont le volume, comme on l'a vu (107, T.) est égal au produit de la surface de sa base par la moitié de la hauteur du solide ; car la surface de la coupe médiane parallèle à la base est dans ce cas égale à la moitié de la base, étant évidemment un demi-cercle ou une demi-ellipse suivant le cas j or 4 fois le demi-cercle ou la demi-ellipse en question = 2 fois la base, et 2 fois la base plus la base, (c'est-à-dire 3 fois la base) multiplié par la 6ème partie de la hauteur du solide équivaut à multiplier la base par la moitié de la hauteur. L'expression générale se simplifie donc, dans le cas actuel et donne pour.

REGLE. Multiplies la base de V onglet par la moitié de sa hauteur, le produit sera le volume demandé.

(121) REM. II. Si l'onglet est tronqué par un plan parallèle à sa base il faudra avoir recours à la formule générale.

REGLE. A la somme des surfaces des bases opposées du tronc d'onglet ajouter 4 fois la surface d'une section ou coupe à mi-chemin entre les deux extrémités du solide et le produit de cette somme par la 6ème partie de la hauteur du solide sera le volume requis.

NOTE. Les bases seront suivant le cas, un cercle et un segment de cercle, ou une ellipse et un segment d'ellipse et la coupe ou section médiane sera suivant le cas un segment de cercle ou un segment d'ellipse.

(122) REM. III. Quand l'onglet de cylindre à évaluer est un onglet proprement dit, c.-à-d., à base partielle, on le toise absolument comme l'onglet de cône (prob. XXX) c.-à-d., en ajoutant à la surface de sa base 4 fois la surface de la coupe médiane pour multiplier ensuite le tout par la 6ème partie de la hauteur du solide. Si l'onglet est celui d'un cône droit, la base est un segment de cercle et la coupe parallèle aussi un segment de cercle. De même si c'est un onglet de cylindre oblique, la coupe médiane parallèle à la base sera, comme la base, un segment d'ellipse. Dans chacun des deux cas, la hauteur ou le sinus-verse du segment dont on a à évaluer la surface est moitié de celui de la base. Quant à la corde du segment si ce segment est d'un cercle on aura (539, G.) la demi-corde— la racine carrée du produit du sinus-verse par le reste du diamètre et si le segment est d'une ellipse, on aura la demi corde en faisant l le grand axe ou diam. de l'ellipse est à ( : ) son petit axe ou diamètre

1. Voir, à ce sujet, ce qui a trait ci après à l'ellipsoïde et au fuseau elliptique.

ooniino (:■) la racine carrée du sinus-verse du segment multiplié par le reste du grand axe est à ( ) la demi-corde. D'ailleurs, l'on peut aussi dans la pratique obtenir directement la corde du segment en traçant et mesurant celte corde sur le solide même.

(12») REM. IV. Si l'onglet du dernier paragraphe est tronqué par un plan parallèle à sa base, formant ainsi ce qu'on peut appeler un tronc d'onglet de cylindre à bases parallèles, on aura encore facilement soit par mesurage direct du modèle ou du solide à toiser, ou par le calcul, la corde et le sinus-verse de la coupe intermédiaire, le sinus-verse étant la demi somme de ceux des segments de cercle ou d'ellipse des basses opposées.

(134) REM. V. Si l'onglet est central, son sommet, diamètre du cylindre, sera une simple ligne et la surface = 0. Dans ce cas, la coupe centrale ou médiane sera une zone centrale de cercle ou d'ellipse suivant que l'onglet est droit ou incliné. Si l'onglet est excentrique, sou sommet, corde d'un coupe de cylindre, sera encore une ligne et sa surface=0. Dans ce cas sa coupe médiane sera une zone excentrique de cercle ou d'ellipse suivant le cas.

(12->) REM. VI. Si l'onglet, central ou excentrique, est tronqué par un plan parallèle à la base, ce sera alors le tronc d'un onglet central ou excentrique de cylindre droit ou oblique dont l'une des bases, si elle est entière sera un cercle ou une ellipse, l'autre base une zone centrale ou excentrique de cercle ou d'ellipse et la coupe médiane aussi une zone de cercle ou d'ellipse soit centrale soit excentrique suivant le cas. Si la base de l'onglet n'est pas entière, ce sera ou une zone centrale ou excentrique de cercle ou d'ellipse ou un segment de même non de cercle ou d'ellipse, ce segment étant suivant le cas, plus ou moins que la moitié de la base totale du cylindre dont l'onglet fait partie.

Ex. 1. Soit à cuber un onglet latéral de cylindre droit, sa hauteur =24, le sinus-verse du segment de cercle qui en constitue la base =2 et le diam. du cylindre dont l'onglet fait partie=10.

La surface de la base = (41, T.) 2-=- 10 =.2 = sinus-verse de la table à la fin de ce volume, et la surrace tabulaire correspondant à

ce sinus=. 111823 laquelle étant multipliée par 10 ou par 100 donne pour surface voulue 11.1323. L'on obtient de même la surface du segment à mi-hauteur de l'onglet =1 -f- 10=. 1 = . 010375= surf, tabulaire laquelle x 100 = 4.0375 et celle-ci < 4 = 16.35, ajoutant 11.1823, on a 27.5323= somme des surfaces de la base et de 4 fois la section médiane, cette somme x 4 ( = 24 4- 6) donne pour volume de l'onglet proposé 110.1292. Le volume réel est 109.4334, la différence .6958 =

.636, c-à-d. que le taux d'erreur est de moins que les | de 1 par cent en surplus.

Ex. 2. La hauteur d'un onglet latéral de cylindre est 24 et le diam. du cylindre 10 comme dans le dernier exemple. La base de l'onglet est un demi-cercle. Ou demande le volume. Suri', base = 10 x 10 x .7854 -=-2 =39.57, le sinus-verse du segment médian =5 -=-2 = 2.5, 2.5 -f- 10= .25 qui correspond dans les tables à .153546 ce qui x 15.3546. Maintenant 15.3546 x 4 = 61.4184. ajoutant 39.27 on a 100.6884, multipliant par 4. im sixième de la hauteur, on a pour volume prismoïdal 402.7536 ; le volume exact est 400. la différence est 2.7536 qui équivaut à un taux d'erreur de .688 ou de un peu plus que les deux tiers de un pour cent en surplus.

Ex. «3. Avec le même diam. (10) de cylindre et la même hauteur it (24) que dans les deux 'derniers exemples, la hase de l'onglet qui dans le 1er exemple est moindre qu'un demi-cercle, dans le 2ème exemple égal à un demi cercle, est dans ce 3ème exemple plus grand qu'un demi-cercle, son sinus-verse étant =8=10 — 2; or on a vu que la surface du segment ayant 2 pour sinus-verse ou hauteur = 1 1.1823 et comme la hase entière du cylindre = 10 x .7854 = 78.54 on aura la surface du segment voulu=78.54 — 11.1823 = 67.3577. La coupe médiane à mi-hauteur a pour flèche ou sinus-verse 8-f-2=4, 4-f-]0=.4=s. v. tab. = . 293369= surf, tab., x 100=29.3369 et x 4 = 117.3476. 117.3476 - 67.3577 =184. 7053 = somme des surfaces, laquelle y. 4. 6ème partie de la hauteur, ou obtient î 33.8212 pour le volume par la formule générale, le volume réel = 734.21S. la différence est 4.6032 qui équivaut à un taux d'erreur de .627 par cent ou de moins que les deux tiers de un par cent.

Ex. 4. Un onglet latéral d'un cylindre dont le diam. = 25. a pour hauteur 60 et pour base un segment de cercle dont le sinusverse = 5. Quel est le volume de l'onglet ?

Puisque 5 : 25 et 2} : 25 dans cet exemple comme 2 : 10 et comme 1: 10 dans l'exemple Xe 1. on a pour surf. tab. comme dans le premier exemple .111823 et .040875 lesquelles multipliées chacune par 25 ou par 625 donnent pour surface de la base 69.89 et pour surface de la section médiane 25.546875. Cette dernière x 4 fois = 102.1875, ajoutant 69.89 on a 172.077 ce qui x 10 (la hauteur ^-6) = 1720.77. Le volume réel= 1709.90, La différence = 10.87 = . 635 = moius des deux tiers de 1 par cent.

Ex. 5. Calculons maintenant l'onglet complémentaire de celui de l'exemple 4, c'est-à-dire, l'onglet qui avec celui du dernier exemple forme le cylindre dont chacun d'eux fait partie.

Toi-f; des corps nr bolides. 95

La surface de la base du cylindre =25 25 .7854=491 cette base ■ la hauteur 60= 29452.5= volume du cylindre. ! à évaluer ;i pour base inférieure la base du cylindre moins la 1 ase de l'onglet déjà évalué, c'est-à-dire, 4! 0.875—69.89=420.985, la base supérieure étant entière =490.875 et la coupe médiane =490

surf, du seg. dontle s. v.=2.5)=465.; H. - Cette der nière surface piise 4 fois = 1861.3125, ajoutant les surfaces opposées, on a 2773.1725 pour somme des surfaces, multipliant par I me de la hauteur) on a pour vol. de l'< 7731.725, s

vol. l'on ajoute 172Q.77 vol. du 1er onglet on a 29,452 durne

du cylindre tel que ci-dessus déterminé, la différence entr< étant due à ce que l'on a pris 6 2.89 pou: 69.889375 pour la surface du segment inférieur du 1er onglet.

Si 13 ît le vol. réel du 1er onglet : alors, comme 29452.5

e vol. réel du cylindre, il s'en suit que le volume exact de l'onglet complémentaire que l'on vient d'évaluer dans cet exemple à 27731.- 725 est de 29452.5 — 1709.9=27712.6. Donc le vol. de i'onglel plémentaire est dans cet exemple trop faible de 11 à peu près =.01

= xfa pour cent ou -.:. de 1 pour cent.