THÉORÈME

(126) Expression générale pour la surface latérale, convexe ou concave ) d'un solide de révolution quel3onque, ou d:un segment ou tronc de tel solide à une seule base ou à deux bases parallèles, et dont le plan de section est perpendiculaire à l'axe de la courbe génératrice.

Divisez la courbe génératrice en parties égales assez petites pour que chacune d'elles soir >ensiblement une ligne droite; fai par chaque point de division une circonférence parallèle à la 1 perpendiculaire à l'axe du .solide. Ces circonférences parallèle- diviseront la surface à estimer en zone^ d'égale largeur: chacune de ces zones sera un trapèze continu dont on aura la surface en multipliant la demi-somme de ses bases ou circonférences parallèles par la hauteur ou largeur de la zone, et la surface entière du solide pi sera égale à la somme^des su] mescomp

(ht aura donc la surface voulue en ajoutant à la demi-somnu circonférences des bases ou extréviiti - du solide, la somme des

circonférences intermédiaires de toutes les zones composantes, pour multiplier ensuite le tout par la largeur d'une de ces zones : expression analogue à celle du par. (23 e» 69 T.) pour la surface plaue d'une figure quelconque.

Ainsi AB-C étant un conoïde quelconque, un demi-fuseau, une hémisphère, un demi -sphéroïde ou un segment quelconque de sphère, de sphéroïde ou de fuseau, à une seule base AB, on en aura la surface latérale=(i cir. AB + cire, ab ■,- cire, ed) x Aa=ac=cC.

Si le segment ou tronc donné ABdc a deux bases AB, cd, la surface sera =(i cire. AB + cire, ab + cire. etc. + i cire, cd) x Aa ou ac. Si les moitiés opposées du solide sont symétriques comme dans la futaille ou barrique AB ou autre tronc ou segment central de fuseau ou de sphéroïde, il est à peine, nécessaire d'observer qu'il suffira d'opérer sur l'une des moitiés symétriques pour doubler ensuite le résultat.

Si le le solide AB-C dont il s'agit est à surface concave, c'est-à-dire, engendrée par la révolution d'une courbe AC ou Ag qui présente sa

convexité à l'axe CD du solide, il est clair qu'on aura tout de même cette surface =(i cire. AB + cire.

ab + cire, cd +■ cire, ef) < Aa ou ac, etc., dans le cas du conoïde ou segment à une seule base, on= '"

(i cir. AB + circ. afc + circ. etc. + i cire, gh) x Aa ou ac, etc. dans le cas du tronc ou segment à deux bases parallèles AB, gh.

11 suit évidemment «le ce qui précède que si la ligne génératrice de la surface à estimer est mixte, c'est-à-dire en partie convexe et en partie concave, ou si cette ligne est en partie droite et en partie courbe, le même procédé conduira tout aussi simplement ;ï la détermination tic cette surface OU superficie.

REilI. 11 est à remarquer que la formule générale qu'on vient d'établir donnera d'ordinaire, pour toute surface convexe, un résultat qui sera en défaut de la superficie voulue du solide, et de même, le résultat qu'on en obtiendra dans le cas d'une surface concave, sera en ex.ès de la surface réelle du corps proposé.

En effet, dans la pratique, la largeur A«C de l'une des zones composantes de la surface à déterminer, sera plus ou moins éloignée de la droite AcC, suivant que AC sera une partie plus ou moins grande de la courbe génératrice. Au lieu donc de considérer AC comme ligne droite avec une longueurs AcC, on ajoutera à l'exactitude du résultat en prenant pour largeur de la zone la largeur développée AaC de cette zone, que l'on obtiendra assez exactement à l'aide d'une échelle de parties égales suffisamment subdivisée et assez mince pour pouvoir s'ajuster à la direction convexe ou concave de l'arc à estimer.

Cependant, malgré qu'on aura ajouté à la précision de l'opération en substituant à la largeur rectiligne AcC de la zone, sa largeur réelle AaC ; on n'en sera pas moius encore en défaut ou en excès de la surface voulue, quoique d'une quantité très petite relativement à la superficie totale. Cette quantité sera, à très près, égale à (ac + bd) (ou 2 ac) x 3.1416 x $ AaC ou à 3f fois le double de la surface de l'espace AcCaA, ou à 12£ fois la surface de l'espace triangulaire ayant ac pour base et pour hauteur la longueur développée de l'arc aC ; car 2ac x 3.1416 est évidemment la différence entre la circonférence ab et la moyenne, crf, des circonférences AB, CD, et c'est précisément du produit de cette différence par la longueur de l'arc «C ou a A, ou ce qui est la même chose, du produit de la demi-différence ac par l'arc entier AaC que la surface convexe demandée est faible ou en défaut, ou que la surface concave à déterminer est forte ou en excès ; mais à cause de AC très petit, la différence, soit en plus ou en moins, entre la surface exacte et la surface obtenue, par la formule, ne sera toujours, comme on vient de le dire, qu'une quantité relativement petite et insignifiante, ce que d'ailleurs on verra bientôt à l'endroit des quelques problèmes et solutions que l'on se propose de soumettre

afin de pouvoir eu comparer l'exactitude avec celle des résultats que fournissent les règles ordinaires, et pour juger en même temps de la somme de travail nécessaire pour y parvenir.

THÉOEËME.

Expression générale pour le volume d'un solide quelconque.

(Voir les modèles du tableau stéréométrîque.)

(127) De tout prisme ou cylindre droit ou oblique — de toute pyramide régulière ou irrégulière, ou de tout cône droit ou oblique — de tout tronc de pyramide ou de cône compris entre bases parallèles — delà sphère — de tout secteur ou pyramide sphérique — de tout sphéroïde —de tout segment de sphère ou de sphéroïde à une seule base ou de tout tronc de ces corps à deux bases parallèles inclinées d'une manière quelconque aux axes du solide — de tout paraboloïde ou candide parabolique droit ou incliné — de. tout hyperboloïde ou conoïde hyperbolique droit ou incliné — de tout segment de paraboloïde ou d' hyperboloïde à une seule base ou de tout tronc de ces corps à deux bases parallèles inclinées d'une manière quelconques aux axes du solide — de tout coin ou autre tronc de prisme triangulaire — de toute partie de tel coin ou de tel prisme tronqué séparée du solide entier par un plan parallèle à l'une quelconque de ses faces latérales — de tout autre prismoïde ou cylindroïde quelconque — de tout onglet de sphère ou de sphéroïde compris entre des plans de section passant dans une direction quelconque par le centre du solide — de tout onglet de prisme ou de prismoïde, de cylindre ou de cylindroïde, de pi/ramide, de cône ou de conoïde compris entre des plans de section ayant leur commune intersection dans l'axe du solide et de tout segment de tel onglet à une seule base ou de tout tronc de tel onglet entre bases para llèles (et approximati veinent du demi fuseau ou demi tronc central de fuseau r futaille) compris entre plans parallèles perpendiculaires d Vaxe iixe du solide, de tout onglet quelconque de prisme ou de prismoïde, de cylindre ou de cylindroïde, de pyramide, de cône ou de conoïde — de sphère ou de sphéroïde et de fuseau, et de tout tronc d'onglet comprit entre bases parallèles) : le volume est équivalent à la somme de la surface de sa base, s'il n'y en a qu'une ou de ses bases parallèles, s'il y en a deux, et de quatre fois la surface d' une section à demi-distance entre les bases, entre la base et le sommet, ou entre les sommets opposés, suivant le cast multiplié par un sixième de la hauteur du solide.

Soient A ci B les bases opposées, base et sommet, ou sommets

ORPS OU 80LID1 99

opposes de l'un quelconque des corps qu'on vient d'énumérer, soit S une section parallèle à demi-distance entre A et B, ei II la hauteur du solide; on aura suivani le cas, volume = (surf. A + surf. B + 4 surf.

S) l !!. ou (sur!'. A l I surf. S) < ,'; il, ou (I surf. S) x < II, suivant que surf, sommet P> = I) ou que suif, sommet A • suri', sommet 15 = 0.

(12S) Maintenant, «les cinq polyèdres réguliers, le tétraèdre est

pyramide, l'exaèdre esi un cube c'est-à-dire un prisme, ei chacun des trois autres est nn composé de pyramides égales entre elles; tout tronc de prisme polygone est un composé de troncs de prismes triangulaires ayant chacun pour hase Tune des faces latérales du tronc donné et dont les arêtes ou sommets se réunissent tous et se confondent à l'endroit d'une des arêtes parallèles du solide oit sur une droite quelconque parallèle aux cotés du tronc, situé à son intérieur et qu'on peut regarder comme axe du prisme dont le tronc fait partie-, tout tronc de cylindre peut aussi être regardé comme un composé de troncs de prismes triangulaires, puisque le cylindre luimême n'est qu'un prisme infinitaire 1 ; tout fuseau circulaire, elliptique, parabolique, etc., allongé ou aplati, suivant le cas. se décomposera, comme on l'a déjà fait voir par des plans de section perpendiculaires à Taxe fixe du solide (1138 G.) en cônes et troncs de cônes, ou, s'il est possible, en troncs et segments de sphère ou de sphéroïde, de conoïdes paraboliques ou hyperboliques, subdivisions auxquelles l'on ajoutera au besoin le cylindre et le segment sphérique. Le conoïde ou le sphéroïde dont la courbe génératrice ne serait pas celle d'une section de cône, se décomposera (1139 CW) comme le fuseau, en troncs de cônes ou de conoïdes, segments ou calottes sphériques, segments de sphéroïdes, de paraboloïdes ou d'hyperboloïdes, etc. : l'onglet de cylindre, de cône ou de conoïde etc., sera regardé comme un composé de pyramides rëctilignes ou sphériques, et tout autre corps se subdivisera, suivant le cas, en éléments (1143 G.) de l'espèce de ceux qu'on vient d'énumérer.

L'expression est donc générale, comme on l'a dit en titre de cet article, et servira à volonté à déterminer le volume d'un solide quelconque.

(139) Habitué jusqu'ici (1103 G.) à la considération d'un nombre si varié d'expressions pour le volume des divers solides dont

1. Nous avons vu d'ailleurs (83 à SS T.) que pour ce qui regarde le tronc de prisme régulier, c'est-à-dire dont les bases soDt des polygones réguliers ou à moitiés symétriques, et (105 à 807 T, ) pour ce qui est du tronc de cylindre, cette subdivision ou décomposition imaginaire par plans de section n'est aucunement nécessaire, puisqu'on toise aisément ces corps sans cela.

il s'agit, et cela, sans même y comprendre le sphéroïde, le paraboloïde et les segments de ces corps, qui donnent lieu encore à des formules additionnelles, l'élève s'étonnera peut-être tout d'abord et doutera même de l'existence d'une formule qui puisse s'appliquer à la fois, à des corps aussi dissemblables entre eux que le sont le prisme ou cylindre, la sphère, le segment de sphère, la pyramide ou le cône, et le coin, etc., et dont les surfaces limitatives sont indifféremment planes ou courbes ou les deux ; mais il suffira des réflexions suivantes pour faire foi de l'exactitude de l'énoncé de la proposition.

(130) En premier lien, le prisme ou cylindre a pour volume (1103 1° et 6° G.) la surface de sa base multipliée par sa hauteur ; or les bases opposées d'un prisme ou cylindre sont égales et toute section de ces solides parallèle à la base est (©43 G) égale à la base ; la somme des 2 bases plus 4 fois la section à demi-distance entre elles, équivaut donc à six fois la base, et c'est la même chose de multiplier 6 fois la base par un sixième de la hauteur ou de multiplier tout simplement la base par la hauteur entière.

(131) En second lieu, le volume de la pyramide ou du cône (pyramide inflnitaire) est (1103 2° et 7° G.) le tiers du produit de sa base par sa hauteur ; mais la section parallèle à demi-distance entre la base et le sommet vaut le quart de la base, puisque les côtés ou autres lignes homologues de cette section sont moitiés de ceux de la base et que les surfaces sont comme les carrés des côtés homologues, c'est à-dire, :: 1 : 4 quand les côtés sont :: 1 :2. Donc dans ce cas la base plus 4 fois la section entre la base et le sommet équivaut à 2 fois la base, et c'est la même chose de multiplier deux fois la base par un sixième de la hauteur ou de simplifier la formule en multipliant la base par le tiers de la hauteur.

(132) D'ailleurs, comme le fait voir (1102 G.) la déf. du prismoïde, le tronc de pyramide est en même temps un prismoïde et le tronc de cône (tronc de pyramide inflnitaire) est encore un prismoïde, et ces troncs, en supposant que leur hauteur soit indéfiniment augmentée, finiront par devenir les solides mêmes dont ils ne formaient d'abord qu'une partie ; or la formule (surf. A + surf. B + 4 suif. S) vaudra toujours, quelle que soit la surface du sommet ou de la base supérieure B, et quand B ne sera plus qu'un point et que sa surface sera par conséquent devenue égale à 0, la formule deviendra (surf. A + 4 surf. S) x £ hauteur.

(133) En troisième lien, le volume de la sphère est (10"Ï5 G.) égal à sa surface multipliée par le tiers de son rayon ; or cette surface est précisément égale à quatre de ses grands cercles, c'est à-dire à quatre fois la surface d'une section de la sphère à distances

i OLIDES.

égales de deux sonunets ou points opposés quelconques de sa surface convexe; de là donc l'exactitude de la formule, puisque le sixième de la hauteur <lc la sphère, c'est-à-dire de son diamètre, esl 1 du rayon ou demi-diamètre.

(131) Pour ce qui est de Vhémis-phère, son volume est égal (14)77 Go à la surface convexe par le tiers du rayon ; mais sa surface convexe esl égale à deux grands cercles, puisque la surface de la sphère entière est égale à 4 A ï1 o

grands cercles, el l'on a (4 grands cercles x } EP)=(2 grands cercles x IKV) : or surf, section aVb (où ED=FD)=f surf, base AB, puisque D62=6T2-DF2=FB2-(iFB)2=l-l=î et comme quatre fois £ = 3, on a 4 surf, ab + surf. A 13 = 4 surf. AB ; donc 4 surf. AB I

ou 2 surf. ÀBxi EF=(surf. AH + 4 surf, ah) x \ EF ; donc, i

(133) Et en général, s'agit-il d'un segment quelconque l'A) de la sphère, le volume en est égal(I08§€S.)à la somme des volumes du cône tronqué El) et du segment BD ; or le volume de BD, c'est-à-dire du solide engendré par la révolution du segment BD est (1089 G-) la différence entre le secteur sphérique engendré par la révolution du secteur BCD ei le solide engendré par la révolution du triangle isocèle BCD ; cette différence vaut ■ (10§9 G.)

t« (CB 2- CVZ ) EF=*vr (Ce - Cd ) EF ; or Ce" - Cd* = Cb*- Cd =

ab — ad à cause de aC commun aux triangles rectangles abC, adC ', donc le volume du solide engendré par BD (et qui avec le cône tronqué engendré par la révolution du trapèze EBDF forme le segment sphérique dont il s'agit) — \k (ab —ad ) EF. Maintenant, n ab — (1024 G.) surf, cercle ab, - ad =surf. cercle ad et par conséquent n (ab —ad )- surface de l'anneau circulaire db. Il est clair aussi

qu'on peut écrire n (ab - ad ) % EF ou 4 n (ab —ad ) | EF, puisque.

f-h4=i; donc le volume de BD = (4 surf, db) x £ EF ou 4 fois la surface de l'anneau engendré par la révolution de db. multipliée par un sixième de la hauteur EF du segment. Or le volume du cône tronqué composant est = (112 T) (surf, base FD f surf, base E 15 + 4 surf. section parallèle ad) <£EF; donc le volume entier du segment de sphère = (surf, base FD + surf, base EB + 4 surf, section ab également éloignée de EB et de FD) | EF ; donc, etc. *

102 CL! F DU TABLF ' U.

(îffi<3) IKn «jiia-trième lien. Après avoir démontré l'exactitude de " l'expression générale "dans le cas de la sphère et du cône, solides engendrés par la révolution du cercle et du triangle, les deux sections extrêmes du cône (et les plus dissemblables) Tune par un plan parallèle à sa base, l'autre par un plan perpendiculaire à sa base et passant par le sommet du cône. ■ »rté à croire qu'il en sera.

de même par analogie, des corps engendrés par la révolution des trois autres .sections coniques proprement-dites, savoir: l'ellipse (génératrice de l'ellipsoïde ou sphéroïde), la parabole (g< : du paraboloïde) et l'hyperbole, (génératrice de l'hyperboloïde), et cela ;'t «•anse de la position intermédiaire qu'occupent ces trois sections entre les deux autres, chacune de ces dernières ayant à passer successivement à l'état d'hyperbole, de parabole et d'ellipse, ou vice versa, pour, de triangle devenir cercle, ou pour, de cercle devenir triangle ; ou ce (pii est la même chose, le cône ayant à passer successivemenl à l'état d'hyperboloïde, «le paraboloïde et d'ellipsoïde pour devenir sphère, ou la sphère par le chemin contraire pour devenir cône.

Et en effet, les expressions que fournit le " calcul différentiel et intégral " pour les volumes respectifs du sphéroïde, et des conoïdes parabolique et hyperbolique ou des segments de ces corps, se traduisent et se réduisent facilement à celles contenues dans l'énoncé de cet article et dont elles ne diffèrent que par la forme.

(137) Enfin. Il reste à démontrer que quand le segment KO d'un fuseau, par exemple, ou de tout antre solide de révolution, etc.. n'est pas celui d'une sphère, d'un sphéroïde, d'un conoïde régulier ou d'un cône, on n'en obtient pas moins le volume, au moins à très près, par la formule (E + F + 4o&) < -JEF. En effet, on a toujours vol. cône tronqué AC = (surf. E + surf. F + 4 surf, ed) x i EF, ce qui d'ordinaire offre déjà une approximation assez peu éloignée du volume désiré.

On a encore (par la formule) pour le volume du solide engendré par la révolution du segment BbC autour de l'axe EF, 4 fois la surface de l'anneau, dont la largeur est db, multipliée par un sixième de la hauteur EF ; or, menant les droites bC, 6B, les solides engendrés par la révolution des triangles bdB, bdC, en les considérant comme prismes triangulaires continus, auront pour volume la surface de l'anneau bd, leur base commune, par la moitié de la hauteur EF, ou ce qui est la même chose, trois fois la surface de la base annulaire db-ae par un sixième (Je la hauteur EF, ou vol. F>frC = 3 surf, bd x * EF, lequel ajouté à celui du cône tronqué composant AC du solide à

TOISÉ DKS COUPS OD SOLIDKS. 103

estimer, fournil ane uouvelle approximation encore plus voisine que la première du volume requis, il reste encore pour compléter Le volume que donne la formule (E H F 4 aô) . \ EF, le produit de ,', EF par une t'ois la surface de l'anneau décrit" par Ixl, et pour couvrir ou rencontrer ce dernier produit on a les solides engendrés par la révolution des segments bcC, bgB. Maintenant, il est clair que la somme de ces derniers est au solide engendré paï le segment BÔC, dans le rapport près, des surfaces respectives de la somme des segments M5, bC au segments BC : or ces surfaces sont Tune à l'autre, à très près, comme I est à -1 ; d'où il suit que le reste (suri'. Ixl x }. EF) dont on .vient de pat 1er, correspondra sensiblement au volume de la somme des solides />!!, bC qui vont à compléter le segment donné ABCD; donc. etc.

(13S) ï£eiiia.x-<jvioiis que la différence entre le vol. exact

du segment proposé et son volume approximatif par la formule (E - F + 4aô)£EF, est toujours en plus, ce qui est dû en partie à ce que en considérant le solide engendré parla révolution du segmeut BÔC autour de l'axe EF connue un prisme continu, (ou comme un anneau solide ayant pour coupe le segment BbC) avec une longueur moyenne égale à la demi-somme des circonférences ah, ed, on prend cette longueur un peu trop grande, puisque le prisme continu dont il s'agit perd plus de sa longueur en C qu'il n'en gagne en B ; ce qui nous porte à observer aussi que puisque l'anneau solide engendré par la révolution du segment B6C est plutôt un troue de prisme continu ou une suite de troncs de prismes, on en aurait assez correctement le volume en faisant (1095 Ci.) le produit de la surface génératrice B&C (coupe du prisme par un plan perpendiculaire à ses côtés ou arêtes) par le tiers de la somme des circonférences en B, b et C (longueurs respectives des arêtes de L'anneau ou du tronc) et Ton ajouterait encore à l'exactitude du volume à obtenir eu multipliant la surface génératrice BAC de l'anneau par le cinquième de la somme des cinq circonférences en B, g, b, e et (' ou par la somme d'un nombre quelconque de circonférences (prises à des distances égales l'une de l'autre) divisée par Le nombre de ces circonférences.

(139) La règle qu'on vient de donner pour obtenir le volume d'un segment de solide à surface convexe, s'applique également au segment dun solide il surface concave, la même démonstration pouvant servir dans les deux cas. comme l'indiquent les lettres dans la figure : avec cette &] Ê"

réserve seulement que la différence entre le vol. exact et Le volume rapproché sera évidemment en moins au lieu d'être en plus, cardans

CLEF DU TABUOAU.

ce ras la longueur moyenne du tronc <le prisme continu ou de l'anneau solide engendré par la révolution du segment B6C est moindre que la moyenne à obtenir en faisant entrer en compte les circonférences en B et en C. On aura donc le volume, près, du segment AC, égal à la différence des volumes du tronc de cône AC et de l'anneau solide dû à la révolution du segment B6C, c'est-à-dire, en faisant le produit du sixième de la h tuteur EF par la somme des surfaces des bases AI>, DC et de quatre fois la section ab à demi-distance entre ces bases.

(1-40) La même règle donnera encore avec une exactitude suffisante dans la pratique, le volume du le AEB à surface concave, et souvent on ajoutera indéfiniment à l'exactitude du volume à obtenir par une subdivision continue du corps à estimer, en segments parallèles, de plus en plus petits et de hauteurs égales entre elles. Cependant dans la majorité des cas, il ne sera pas nécessaire de porter le nombre des subdivisions au delà de 3 ou 5 pour s'assurer d'une précision suffisante dans le résultat.

(141) En général ou obtiendra à très près le volume d'un corps régulier ou irrégulier quelconque OT en le divisant en tranches ou segments, par des plans parallèles à distances égales l'un de l'autre. L'on fe /■meut par la formule prismoïdale (0 + AB

+ 4 ab) i OP, le volume de chacune de ces tranches dont la somme sera le contenu solide du corps proposé. On aura de cette manière pour volume du segment OAB, (surf. 0 +- surf. ÇJLE

AB t-4 surf, ab) \ OP, pour volume de la tranche suivante BC on aura (AB + CD + Acd) J PQ, et ainsi de suite ; d'où il est clair que le vol. entier du solide— 0-4 ab + 2 AB f 4 cdr-2 CD + 4 ef+2 EF + etc. + MX) xi OP ou PQ, etc., c'est-à-dire : à la somme des surfaces des extrémités 0, T, du solide donné, pu des bases extérieures de la première et de la dernière franche, Ton ajoutera deux fois la somme des autres bases AB, CD, etc., de ces deux tranches et des autres tranches composantes, plus quatre fois la somme des sections ab, vd, ef, etc., de ces tranches, pour multiplier ensuite le tout par la sixième partie de la hauteur OP ou PQ, etc., de l'une d'elles; le résultat sera le volume du corps proposé, (formule analogue à celle, du par. (2î£, T.) pour obtenir la surface d'une ligure plane quelconque.

bTd^eX2

(I 12) 11 6Sl clair aussi que pour arriver au volume d'un tronc ou segment quelconque AJ&àb. de sphère, de sphéroïde oudeconoïde àbasesnon parallèles AB, ab, on n'aura «pi'à faire séparé-

îm ni le volume <lu solide entier Alî-K et celui du solide partiel ab-e pour prendre ensuite la différence de ces volumes. Un aura de celte

sorte vol. AH &a=(surf. AB + 4 surf, section interméd. entre AB et E x l EF) moins (surf, ab + 4 surf, section interna, entre ab et e x £ ef). (1-lîî) Faisons maintenant l'application de cette formule générale à la solution des divers problèmes qui y ont trait, (sauf cependant, le prisme ou cylindre, la pyramide ou le cône, le tronc de pyramide ou de cône, et le prismoïde, dont on a déjà traité), et prenons aussi occasion de mettre en regard, dans certains cas, les résultats ainsi obtenus et ceux que fournissent les règles ordinaires, afin de pouvoir en comparer l'exactitude et la somme de travail nécessaire pour y arriver.

PROBLÈME XXXÏI.

Trouver la surface d'une sphère.

(144) REGLE ï. Multipliez (1071 G.) la circonférence d'un de ses grands cercles par son diamètre AF.

REGLE II. Multipliez (1072 G.) le carré de son diamètre ou quatre fois le carré de son rayon par .7854 et par 4, ou de suite par 3.1416.

Ex. I. Quelle est la surf, d'une sphère dont le diamètre est 7 ?

Rep. 153.9384.

2. Le diam. d'une sphère est de 24 pouces ; quelle en est la surf. ? Rep. 1809.5616.

". Combien faudra t-il de pouces carrés de dorure pour recouvrir une boule sphérique dont la cireon- , d 78.54 pouces?

Rep. 78.54-^ 3. 1416 =25= diam. et 78.54 x 25=1963.4 p. c.

4. Quelle est la surf, de la terre si le diam. en est 7912 miles ?

Rep. 196,663,355.7504.

5. Combien faudra-t-il de pieds superficiels de plomb ou autre métal pour couvrir un dôme hémisphérique dont le diamètre est de 33 pieds 4 pieds 1

Rep. 33£ x 33£ x 7854 x 2=1755 pieds carrés) car, si la surface de la sphère entière vaut 4 grands cercles, il est clair que celle de l'hémisphère vaut 2 grands cercles.

6. La voûte du rond-point d'une église est en forme d'un quart de sphère dont le rayon est de 15 pieds ; on demande le nombre de verges d'enduits nécessaire pour en revêtir la surface ?

Rep. 30 x 30 x .7854-^-9=78.54 ou 78£ verges; car, puisque la sphère entière vaut 4 grands cercles, le quart de sphère n'en vaut qu'un.

~i. Quelle sera, à raison de 5 livres au pied carré, le poids d'une chaudière hémisphérique en cuivre dont la circonférence est de 188£ pouces ?

Rep. 188.54-3.1416= diam. = 60 et 188.5x60 = 11310 pouces carrés dont la moitié 56554-144 = 39.27 pieds carrés, cette surface multipliée par 5 (le poids par pied c.) donne 196.35 livres.

(!45) REGLE III. Considérez la surface de la sphère comme un composé de trapèzes continus ou de zones d'égale largeur AB=B(J =zCD=DE=UF et procédez à la manière du paragraphe. (126, T.)

Ex. 1. Quelle est la superficie d'un hémisphère dont le diamètre est 263 ?

Rep. La circonférence=263 x 3.1416=826.2408, le quart de circonférence 206.5602 divisé en 5 parties égales, donne pour largeur développée d'une des zones composantes. 41. 31204. Les diamètres intermédiaires de ces zones obtenus au moyen d'une échelle de 40 unités au pouce, mesurent respectivement, comptant de la base au sommet, 250, 213, 145, et 82; la somme de ces diamètres intermédiaires plus la moitié (131.5) du diamètre 263 à la base, est 830.5; cette somme x 3.1416 donne la somme 2609.0988 des circonférences à entrer dans le calcul; cette dernière x 41.31204, largeur d'une des zones, donne enfin pour réponse 107.787 unités de surfaces.

BEM. Les deux premières règles donnent chacune pour surface de l'hémisphère proposé 108.050.66 unités. La différence entre ces résultats est de 863.5, 863.5-f-108.650=008 près, c'est-à-dire que le taux d'erreur est de f de 1 pour cent à peu près. On en conclut que dans tout cas analogue, il suffira d'augmenter de .008 ou de .01, près le résultat obtenu par cette règle, pour être très voisin de la surface requise.

Ex. 2. Soit à opérer maintenant avec 10 sections ou zones au lieu de 5, le diamètre tic l'hémisphère restant le même1?

Btop. Les 9 diamètres intermédiaires étant comme suit: 2G0j 250, 234, 213, 186, 154, 119, 82, et 42 leur somme + 131.5 (moitié du «lia m. 203 à la base) es! L67J.5, cette somme x 3.1410=5251.1844 pour la somme des circonférences à servir (l'élément au calcul proposé; la largeur d'une des zones composantes sera dans ce cas jfa du quart de circonférence, c'est-à-dire 802.2408 -^4-=- 10 ou de suite par 40=20 .65602; or, 5251.1844x20.65602=108,408.57; on a déjà vu que le résultat exact est 108.050.00 ; la différence de ces résultats n'est plus que 182 qui équivaut à .0017. c'est-à-dire que le défaut n'est plus que du § de 1 pour cent.

Ce taux d'erreur ajouté au résultat de toute autre opération analogue donnerait donc à peu de chose près, une approximation assez voisine de la vérité.

Ex. 3. Voyons maintenant en quoi l'on ajoutera à la précision du résultat, en opérant la solution du même problème, au moyen d'un nombre additionnel de subdivisions, soit 20 par exemple.

Rep. Les diamètres intermédiaires sont 202, 200, 250, 250, 243, 234, 224, 213, 200, 180, 171, 154, 138, 119, 101, 82, 02, 42, 21 ; la somme des diamètres intermédiaires + le demi-diam. à la base = 3349.5 ; multipliant par 3.1410 et par 10.32801 (largeur d'une des sections) l'on a 108,079.5 contre 108,050.00 la surface. La différence est dans ce cas en excès au lieu d'être en défaut de la surface voulue comme elle devrait l'être (126) et comme elle le serait en effet si l'on avait calculé les diamètres intermédiaires des zones composantes au lieu de les obtenir graphiquement ou mécaniquement, comme on l'a fait à l'aide d'un diagramme en petit sur le papier et d'une échelle de parties égales. Cette différence ou excédant n'est cependant que de 29 unités sur 108,050, soit de .00027 ou moindre que TV de 1 pour cent ; elle est due à ce que l'on ait négligé en mesurant les diamètres intermédiaires, les fractions d'unités qu'on pourrait au besoin faire entrer en compte ; mais avouons que dans la pratique un résultat qui comme celui-ci ne s'éloignerait de la vérité que de ^^ soit en plus ou en moins, équivaudrait à une exactitude parfaite.

(146) REM. Si nous mettons cette troisième règle au nombre de celles dont on peut faire usage pour déterminer la surface d'une sphère ou partie de sphère ; ce n'est pas qu'on trouverait à propos d'en faire l'application pour arriver à la surface d'une sphère proprement dite ou à la solution de tout problème analogue pouvant se résoudre par des règles plus simples et plus directes ; mais c'est que

dans la pratique, il est assez rare que l'on ait affaire à une sphère parfaite, à une partie de sphère parfaite, à un sphéroïde ou partie de sphéroïde proprement-dit, à un paraboloïde ou hyperboloïde exact, ou en général à un solide de révolution, dont la courbe génératrice soit une exacte section de cône, telle que le cercle, l'ellipse, la parabole et l'hyperbole. Il est donc évident que dans tous les cas où l'on n'aurait pas à opérer sur un sphéroïde ou conoïde parfait, ou dont l'on ne pourrait établir l'espèce que par un travail préliminaire considérable, il vaudra mieux procéder de suite par la Règle III que de recourir à une autre règle qui n'aurait pas exactement trait, ou ne s'appliquerait pas avec précision au problème proposé.

(147) Ajoutons aussi que si la surface à estimer au lieu d'être 'partout dégale courbure comme celle de la sphère, était, connue celle d'un paraboloïde, etc., de courbure inégale, l'on pourrait, avant de procéder à la subdivision en zones d'égales largeurs, diviser d'abord la sarface à estimer en deux ou plusieurs parties que l'on subdiviserait ensuite en un moindre ou plus grand nombre de zones suivant le moins ou plus de courbure dans la partie correspondante de Tare générateur. L'on calculerait alors séparément les parties d'inégale courbure pour prendre ensuite la somme de ces parties.

(148) D'ordinaire aussi, le mesureur ou géomètre, ne perdra pus de vue, en s'enquérant du degré de précision à apporter dans l'exercice des détails de son art, l'importance de ne pas dévouer à la solution d'un problème, un travail et un temps que ne justifieraient pas les circonstances. Il serait par exemple oiseux, disons même injuste, que pour établir à un millionième, millième, centième ou à tout autre unité près du résultat exact, une surface ou un volume proposé, on y dévouât un travail qui en lit coûter aux intéressés plus qu'une fraction de la valeur de telle unité. Nous disons " d'ordinaire," car il est clair qu'il peut y avoir des circonstances, soit dans une question ou cause en litige, où les frais de faire droit aux parties peuvent dépasser et dépassent en effet souvent dans une proportion illimitée la valeur de l'enjeu.

PROBLEME XXXIII

Trouver le volume d'une sphère— (Voir le tableau.)

REM. Un plan ou surface plane RS ne touche la sphère qu'en un seul point D ; donc les surfaces des extrémités ou bases opposées et parallèles D, M sont chacune nulle ou =0, ce qui réduit la formule dans le cas de la sphère à multiplier 4 fois la surface d'un grand

TOlsfi DES CORPS OU SOLIDES.

cercle, c'est-à-dire, d'une section on coupe passanl par le centre C, par la sixième partie de la hauteur 1>M perpendiculaire à cette section.

(110) REGLE 1. Multiplies

(107.1 G.) la sur l'ace par le tiers du rayon.

REGLE IL Cubes (HO», 10°) le diamètre et multiplie le nombre ainsi trouvé par \ - ; c'est-à-dire, parO.5236 ou le volume d'une sphère dont lediam.

estl; car (1084 W.) les solidités ou jj\ volumes de deux sphères quelconques sout comme les cubes de leurs diam. £*

REGLE US. Multiplie: 1 fois la, sur/ace (Finie section, de la sphère à ]tyj

distances égales de ses extrémités ou sommets opposés par le sixième de la hauteur perpendiculaire c'i cette Section. Cette règle, dans le cas de la sphère, est évidemment analogue à la première, car la surface de la sphère vaut 4 grands cercles, le grand cercle est la section de la sphère par un plan passant par le centre C, c'est-à-dire, à distances égales de deux points opposés D, M, de sa surface, et le 6ème de la hauteur DM n'est que le 6ème du diamètre ou le tiers du rayon.

Lx. 1. Quelle est le volume d'une sphère dont le diamètre est 12 ? Rep. 12 x 12 x 12 x .5236=904.7808.

2. Si le diamètre moyen de la terre est de 7918.7 milles, quel en est le volume eu milles cubes ?

Rep. (7!!18.7)2 x 5236=259,992,792,082,6374908 m. cub.

3. Une flèche de clocher est terminée par une boule sphérique dont le diamètre est de 2| pieds ; quel en est le volume '.'

Rep. 2| x 21=7^=7.1111111, 7 x2f = 18.6666666, 2§ x ^ ou

2.6666666^9=2962962, 18.0660666 r .2962962 = 18.9629629= (2f j", et 18.9629629 x .5236 = 9.9290074 pieds cubes.

4. Quel est le contenu solide d'un boulet de canon d'un diamètre de 10 pouces ?

Rep. 103=1000, et 1000 x .5236 = 523.6 pouces cubes.

5. Combien faut-il de pouces cubes de poudre à tirer pour remplir un obus dont le diamètre intérieur est de 12 pouces ?

Rep. 12 x 12 x .7854 * 4ou 12* 3.1416 = 4.12.3904 = surface .le la sphère et cette surf, x i rayon ou ^ diam., c'est-à-dire, par 2, = 904.6808 pouces cubes.

110 CLfvF DU TABLEAU.

6. Combien de pieds cubes d'air contiendra une bouée en forme de sphère d'un diamètre int. de 10 pieds ?

K«*p. 523.6 pieds cubes.

7. Une boule en pierre a 3 pieds de diamètre ; quel en est le poids à raison de 150 livres au pied cube ?

îlep. 3 x 3 x 3 x .5230 x 150 = 2120.58 livres.

8. Combien de gallons de liqueur (231 pouces cubes au gallon) pourront trouver place dans une chaudière hémisphérique de 10 pieds de diani. *?

liep. Le contenu du vaisseau en pieds cubes=10 x .5236-^-2 = 261.8, le nombre de gallons par pied cube=1728 pouces cubes -=-231 =7.4805195, soit 7£, et 261.8 x7J= 1963 J gallons, ou plus correctement 261.8 x 7.48 = 1958.26 gallons.

9. Une voûte hémisphérique de l'épaisseur uniforme d'un pied, mesure 10 pieds de diam. intérieur ; combien a-t«-il fallu de briques pour le construire, à raison de 20 briques au pied cube "?

Rep. Il est clair que la solidité voulue est égale à la différence des volumes des hémisphères extérieur et intérieur; or, l'hémisphère ext. = 12^ x .5236 4- 2= 452.39 pieds cubes, l'hémisphère int. = 10° x .5236 h- 2=261.8 pieds cubes ; la différence de ces volumes est 190.59 pieds cubes et 190.6 x 20=3812 briques.

10. L'épaisseur d'une bombe est de 5 pouces et sa circonférence extérieure de 02.83 pouces; quel en est le poids, à raison de 480 livres au pied cube t

Rep. On. a pour diam. ext. de la bombe 62.83^-3.1416 = 20 pouces ; donc le diam. de l;i partie évidée est 10 pouces ; maintenant le volume de la bombe est la différence des volumes des sphères ext. et int. Le vol. de la sphère ext. = 203 x .5236 = 4188.8, le vol. int.=

10 x .5236 = 523.6, la différence de ces volumes est 3665.2 pouces cubes; puis, 1 pied cube ou 1728 pouces cubes: 480 livres pesant : : 3655.2 pouces cubes : 1018 livn s pesant.

PROBLÈME XXXIV

Déterminer la surface convexe d'une calotte (segment)

sphérique ou d'une zone (x) sphérique quelconque.

(Voir le tableau.)

(150) REGLE I. Multipliez (fi 073 G.) la hauteur oC, OO de

1. La calotte sphérique est une partie quelconque aebC de la sphère, enlevée do la sphère entière par un plan de section aeb, petit cercle de la sphère.

La zone sphériquo est une partie quelconque u<é-AKH de la sphère comprise entre deux plans parallèles ab- AB. Elle est, suivant lo cas, latérale, centrale, excentrique.

la calotte ou la hauteur Oo de la sonepw la circonférence dkm grand cercle <!<• lu sphère ; te produit sera la surface voulue.

REM. Si le diamètre de La sphère n'esl pas donné on le trouvera aisémenl par la méthode du par.

(54© G.) en divisant le carré du rayon de la base du segment par la hauteur, pour avoir Le reste du (lia mètre; le reste ainsi trouvé ' la hau. fceur don née sera le diamètre voulu de la sphère.

Ex.. Le diamètre d'une sphère étant de 42 décimètres, quelle est la surface convexe d'une calotte dont la hauteur est 9 décimètres ?

Rep. 42x3.1416= cire. 131.9472 laquelle x 9 = 1187.5248 décimètres carrés.

2. Le layon de la base d'un toit de vide-bouteille en forme de calotte sphérique, est de 10 pieds, la hauteur du toit est de 4 pieds. Combien faudra-t-il de pieds superficiels de plomb ou autre métal pour le revêtir.

Rep. 10 -=-4=25, 25 + 4=diam. de la sphère=29, 29 x 3.1416= cire. 91.1064, puis 91.1064 x 4=364.4256 pieds carrés.

3. On demande la surface d'un couvercle de chaudière en forme de calotte sphérique dont la circonférence est de 91.1 pouces et la hauteur 10 pouces ?

Rep. 91.1 -=-3.1416=29=diam. du couvercle dont le rayon est en conséquence de 14.5 pouces; pour avoir le diam. de la sphère

dont la calotte fait partie, on a (14.5) -f- 10=21.025 = le reste du diam. dont la hauteur du couvercle fait partie ; donc le diam. voulu=2l 025 + 10 = 31.025, ce diam. x 3.1416 = 97.46814=eire. d'un grand cercle, cette dernière x 10 donne 974.6814 pour la surface convexe voulue en pouces carrés.

4. Un dôme hémisphérique dont on a enlevé une calotte pour y asseoir la base de la lanterne qui le couronne, présente en conséquence la forme d'une zone sphérique ou d'un segment sphérique à deux bases ; on demande à en déterminer la surface convexe, sa hauteur étant de 9 mètres et le diamètre de la sphère dont il fait partie de 20 mètres 1

Rep. 20 x 3.1416 = cire. 62.832 et 62.832 < 9 = 565.488 mètres carrés.

(151) R.KJW. Si le rayon ou cliain. de la sphère dont une zone fait partie n'est pas connu et que les seules données soient les rayons ou diamètres des bases inf. et sup. du segment et la hauteur ou distance perpendiculaire qui les sépare, Le paragraphe (574 G.) fournira la méthode d'arriver au rayon voulu ; mais on y parviendrait tout de même et d'une manière plus expéditive et assez exacte dans la pratique par un simple procédé graphique qui permettrait de déterminer de suite le rayon voulu ou diam. de la splière, à l'aide de la même échelle qui aurait servi à fixer sur le papier les proportions et positions relatives des données, le centre du cercle pouvant alors se trouver facilement par tâtonnement, c'est-à-dire par des essais répétés sur la perpendiculaire (prolongée s'il le faut) qui relie les centres des deux cordes données.

5. Les diamètres des bases inf. et sup. d'un toit en forme de segment de sphère mesurent respectivement I6#et 12 mètres, et la hauteur 2 mètres ; quelle est la superficie de la zone qui forme la surface latérale ou convexe du toit.

Rep. On obtient (574 G)' soit par calcul ou par construction graphique le diamètre 20 de la sphère dont le segment fait partie. Ce diam. donne pour circonférence 62.832, cette cire, x 2, hauteur du toit, donne pour sa surface convexe 135.661 mètres carrés.

6. Quelle est la surface convexe d'une calotte de 21| pouces de hauteur enlevée d'une sphère de 6 pieds de diam.

llep. 4840.577 pouces carrés.

7. Si le diam. de la terre considérée comme sphère parfaite est de 7970 milles, la hauteur de la zone glaciale sera de 252.361283 milles ; quelle en est la surface ?

Rep. 7970 x 3.1416 x 252.361283=6,318,761 milles carrés.

8. Quelle est la surface de l'une des 10 sections composantes ou compartiments d'une voûte ou d'un dôme en forme de calotte sphérique, le diamètre inférieur de la calotte ou de sa base étant de 40 pieds et sa hauteur de 10 pieds "?

ït ep. Le reste du diamètre de la sphère dont la hauteur 10 de la calotte fait partie est (539 G.) (£40) ^ 10=40 et le diamètre entier par conséquent =40 +-10= 50, la circonférence = 50 x 3.1416= 157.08 et la surface entière de la calotte= 157.08 x la hauteur 10= 1570.8; donc la surface de la section proposée est de 1570.8 -MO 157.08 pieds carrés.

(152) R^GLE II. Divisez la surface à estimer en, zones cP égale

largeur, et procédez ensuite à la manière du par. (126, T.)

Ev. 1. La circonférence inf. d'une zone sphérique, ou qui a l'air de L'être, mesure 260 pieds, sa circonférence sup. 213 pieds, et deux circonférences intermédiaires équidistantes 250 et 234 pieds, la longueur de l'arc générateur es1 de 15 pieds, et la largeur développée d'une des trois zones composantes est en conséquence de 5 pieds ; quelle est la surface de la zone entière?

Rep. * 260 + 250 + 234+1213= 720.5, cette somme x 5=3602.5 pouces carrés près.

2. La voûte ou le plafond cintré d'une pièce circulaire en forme de calotte sphérique a pour diani. inf. 186 décimètres, et pour diam. intermédiaires de cinq zones composantes 154, 119, 82 et 42 décimètres, la longeur de la courbe génératrice, c'est-à-dire, la distance curviligne du centre de la voûte à sa naissance est de 103 décimètres 28 millimètres ; quelle en est la surface concave ?

Rep. 103.28 décimètres- 5 = 20.656 = largeur d'une des zones composantes, i diam. inf. = 186 -=- 2 = 93, 93 + 154 + 119 + 82 + 42=490, 490 x 3.1416 = 1539.384 somme des circonférences à entrer dans le calcul, puis 1539.384 x 20.656 = 31,797.5 décimètres carrés ou 317 mètres carrés 97i décimètres carrés, puisque le mètre carré est de 10 x 10=100 décimètres carrés et qu'en reculant de 2 places le point décimal on divise par 100.