PROBLÈME XXXV

Déterminer la solidité ou le volume d'une calotte ou

segment sphérique ou d'une zone sphérique

quelconque — (Voir les modèles du tableau.)

(153) REM. I. La calotte ou segment sphérique aeiCou a e b D (voir la figure du paragraphe (156)) peut être moins grande ou plus grande qu'une hémisphère ou égale à une hémisphère si le plan de section passe par le centre O de la sphère. Dans tous les cas la formule générale en donne le volume exact. De même, la zone sphérique peut être latérale, centrale ou excentrique. On la dira latérale lorsqu'elle sera la zone d'une hémisphère comme celle qui dans la figure est comprise entre les plans de section, cercles parallèles AEB, aeb. Elle sera centrale si ses plans de section, bases opposées ou limitatives sont également éloignées du centre O de la sphère et excentrique, si ces bases sont inégalement éloignées du centre.

(154) REM. II. Pour obtenir dans le segment sphérique 1< diamètre de la section centrale ou médiane, il suffit de se rappeler (539 GO que la demi corde a o (voyez la figure du paragraphe (156)) est moyenne proportionnelle entre le sinus-versé o C hauteur du segment et le reste o D du diamètre. Soit donc AEB-C un segment quelconque de sphère, et a e & sa coupe médiane, c'est-à-dire telle que l'on ait 0 o=o C = iOC ; alors comme OC, hauteur du solide, est counue, on aura o C=^OC et l'on trouvera oa ou ob=ia&=VoCxoD. Soit encore a e b D le segment à toiser, et soit AEB sa section médiane passant par un point O à demi distance entre o et D. Connaissant o D et par conséquent OD=i o D, ou aura OB ou OA=iAB=VOD x OC, ou en mesurant directement le diamètre voulu du corps à évaluer.

(155) REM. III. Pour obtenir dans la zone spérique ABDC, par exemple, le diain. de sa coupe intermédiaire ; on fera tout d'abord, si on ne le connait par avance, le rayon OB ou OF de la sphère dont la zone à toiser fait partie. ç\ A cet effet (574 G.) la figure plane ABCD étant la coupe verticale du segment sphérique dont il s'agit, on obtiendra EF = CExED-f-AE, alors AF-^AE

/^^ nb

h Si , ]

Le rayon OB étant ruain-

ou GH + EF et dam. BF = VAB2 + AF2

tenant connu=iBF, on aura OG=A)B2— BG2, ou OH^Vqc2— CH2r ou, après avoir trouvé OG ou OH on aura OH=GH— OG ou OG=GH — OH, maintenant, si l'on suppose la ligne GH prolongée de part et d'autre jusqu'à la circonférence en X Y, on aura GX=OB — OG et HY=OB — OH et de là on aura facilement, comme dans Rem, II, le diam. intermédiaire à mi-chemin entre AB et CD.

(156) REGLE I. Multiplies (1088 G.) la demi-somme des sur/aces des bases parallèles par la hauteur du segment ; ajoutes à ce produit le volume d'une sphère dont le diam. soit égal à la hauteur du segment : la somme de ces deux volumes sera la solidité voulue.

REM. Quand le segment n'a qu'une seule base, on considère l'autre =0.

REGLE II. A la somme des surfaces des bases inf. et sup. du segment, ajoutes 4 fois la surface d'une section à distances égales de ces bases, et

multiplie* le tout par lu sixième partie de la hauteur; le résultat sera le volume demandé (135, T.).

Ex. 1. Quel est le volume d'un segment formant partie d'une sphère donl le diamètre csl 40, les distances respectives du centre à chacun des plans de section étant 16 et 10?

Rep. Il nous faut déterminer tout d'abord les surfaces des bases parallèles du segment donné ; or, les diamètres de ces bases sont des cordes parallèles d'un grand cercle de la sphère, éloignées du centre du cercle, l'une de 16 et l'autre de 10 unités de mesure, les segments du diamètre de grand cercle perpendiculaire à ces cordes sont respectivement, de l'une d'elles, 16 + 20=36 et 40 — 36=4, de l'autre, 10 + 20=30 et 20- 10=10 ; maintenant on a (540 G.) 36 x 4=144= le carré de l'une des demi-cordes et 30 x 10=300= le carré de l'autre demi-corde; ces carrés multipliés chacun par .7854 et par 4 ou de suite par 3.1416, donnent 452.3904 et 942.48 pour surfaces voulues des bases parallèles. La somme de ces surfaces =1394.8704, cette somme x 3, le demi-hauteur (16 — 10) du segment, ou la demi-somme de ces surfaces x 6=4184. 6112=partie du volume requis j le reste du volume

requis = 6 x .5236 = 113.0976= vol. d'une sphère dont la hauteur est 6. Ces deux volumes réunis donne 4297.7088 pour la solidité du segment proposé.

2. Le même exemple par la Règle II donne pour surface à demidistance entre les bases parallèles 33 x 7 = 231= le carré du rayon de la base ou section intermédiaire, ce carré x 4 donne le carré du diam. de cette base ou section, et ce dernier carré x .7854 en donne la surface = 725.7096, 4 fois cette surface =2902.8384 à laquelle ajoutant la somme des surfaces des bases on a 4297.7088 pour le volume requis, car i hauteur— 1 et multiplier par 1 ne change pas la valeur du multiplicande.

3. Combien de pieds cubes de liqueur pourra contenir une chaudière hémisphérique d'un diamètre de 10 pieds ?

Rep. On a vu (134, T.) que dans l'hémisphère la surface de la coupe ou section intermédiaire également éloignée de la base et du sommet du solide vaut les £ de la surface de la base ou d'un grand cercle de la sphère ; or, on a pour surface de la base sup. de la chaudière 10 x 10 x .7854=78.54 pieds carrés ; mais 4 fois f =3 et trois fois 78.54 + 78.54=4 fois 78.54=314.16, puis 314.16 x J hauteur= 314.16 x 5^6=261.8 pieds cubes.

( lSfi) REM. Dans le cas de l'hémisphère, comme dans la sphère entière, la Régie II n'offre aucun avantage, et au contraire, elle donne plus de travail, puisqu'il est plus simple pour arriver au ré-

sultat voulu, de cuber de suite le diamètre, multiplier ce cube par ,5236, et prendre la moitié du produit pour le volume de l'hémisphère.

4. Combien de gallons d'eau pourront trouver place dans un réservoir en forme de calotte sphérique d'un diamètre de 100 pieds et de 20 pieds de profondeur, à raison de 7-J gallons au pied cube ?

Rep. Par la première règle, on a le vol. requis= surface de la base du segment (c'est-à-dire, la surface sup. du réservoir) x la hauteur (profondeur verticale du réservoir) -f- 2, plus le vol. d'une sphère ayant pour diamètre cette hauteur ; c'est-à-dire, le vol. requis= (100 x 100 x. 7854 x20+-2=78540) + (20x20 x 20 x .5236=4188.8) = 82,728.8 pieds cubes x 7.5=620,466 gallons.

Rep. Par la deuxième règle, on a d'abord (540 G.) pour reste du diain. de la sphère ou du grand cercle dont la hauteur du réservoir

fait partie (ilCO) -=-20=125,125 + 10 (demi-distance de la surface aufond) = 135, 135 x 10= 1350= rectangle du segments du diam.= carré du demi-diam. de la section intermédiaire, ce carré x 3.1416 = 4241. 16= surf, section interm., 4 fois cette surf. + la surf, de la base du segment= 24,818.64, cette somme x 20 +-6= 82,728.8 pieds cubes, comme auparavant.

(158) REJTI. Le choix à faire entre les deux règles pour la solution de ce problème reposera quelquefois sur la nature des données, mais surtout sur le doute qu'il pourrait y avoir quant à l'espèce particulière de la figure à estimer, et l'emploi de cette formule exemptera la nécessité de s'enquérir tout d'abord de la nature exact*? du solide proprosé. Ainsi, si le réservoir à mesurer était un segment de sphéroïde, un paraboloïde, ou un hyperboloïde ou tout autre figure ressemblant à peu près à celle qu'on vient d'énumérer, la règle II en donnerait dans tous les cas le volume exact (127, T.), ou à très près, tandis que si si l'on traitait comme partie d'une sphère proprement-dite une figure qui ne le serait pas et qu'on la calculât par la règle applicable à la sphère, on pourrait se tromper grièvement dans le résultat.

5. Un bassin dont la forme paraît être celle d'une calotte sphérique, a pour diam. sup. 15 pouces, pour diam. à demi-profondeur, 12 pouces, et pour profondeur ou hauteur 7 pouces ; quelle en est la capacité en gallons de 231 pouces cubes ?

Rep. Surface sup. = 15xl5x .7854=176-715 pouces carrés, surf, intermédiaire =12 x 12 x .7854=113.0976, surf, base + 4 surf, intermédiaire =629. 1054, cette somme x 7-4-6=734 pouces cubes près; divisant par 231 ou a 3.18 ou 31 gallons près pour capacité du vaisseau proposé,

6. Le vide ou l'espace sous un dôme ou plafond cintré d'une pièce circulaire, présente l'aspect d'un segment de sphère à bases parallèles dont les diamètres mesurent respectivement 19.9 mètres et 8.718 mètres, le diamètre du dôme à distances égales de ses bases est de 17.32 mètresj on demande le nombre de mètres cubes d'air à chauffer, la hauteur étant de 8 mètres?

Rcp. (19.9) 2x. 7854 =396 x. 7854=311.02, (8.718) 2=76 et 76 x .7854=59.69, (17.32) 2=300 et .'300 x .7634 x 4=942.48, la somme 1313 .19 de ces surfaces x 8 -^ 6=1750.92 mètres cubes, ou, ce qui est la même chose et plus simple (19.9)2 + (8.718)3 + 4 (17.32) 2 x .7854 x8h- 6= vol.

7. Un vaisseau eu forme de tronc de cône est terminé par un fond qui a l'air d'être une calotte sphérique. Le diamètre inférieur du vaisseau est de 12 pieds, le diamètre intermédiaire de la calotte est de 8.72 pieds, et sa hauteur de 2 pieds ; combien y aura-t-il à ajouter au contenu du corps du vaisseau pour avoir sa capacité entière ?

Rep. (12) 2 + 4 (8.72) 2x. 7854x2^-6=117.3 pieds cubes, (où on a pris (8.72)=V76"; car, 62ou (il2)2 4-2 == 18, 18 + 2 == diam. de la sphère dont le segment fait partie. Maintenant le demi-diam. interm» == V19x 1 ou le diam. == V4 fois 19 = ^W^ ë. 72 pi es) et 117.3 x 7|= 889 gallons près.

PROBLÈME XXXVI

Déterminer le volume d'un onglet sphérique, et la surface de la lune qui lui sert de base.

(Voir le tableau.)

RE3I. L'onglet sphérique est une partie de la sphère solide comprise entre deux demi grand cercles ADC, EDC se rencontrant sous un angle quelconque, aigu, droit ou obtus AOE et son volume est évidemment à celui de la sphère entière comme son angle AOE est à 360° ou comme son arc AE à la cire, entière, d'où il suit évidemment que son volume se fera de suite par la suivante :

REGLE I. Multipliez 4 fois la surface du secteur de cercle AOE par \ du diam. CD, longueur ou hauteur du segment sphérique ; car Les

surfaces des bases ou extrémités opposés C et D sont chacune égale à zéro.

(!59) REGLE H. faites d'abord (1079 G.) la surface, puis le volume de la sphère entière dont F onglet fait partie. Divisez ensuite cette surface et ce volume §àr le rapport entre Vangle de Vongletet 360° j le résultat sera la surface et la solidité voulues.

Ex. 1. Ou demande la surface et le volume d'un onglet de sphère dont l'angle est de 60° et le diamètre 10 ?

Rcp. La surface de la sphère entière=(144 G.) 10 x 3.1416 x 10=314.16 unités, le rapport de 60° à 360°=^, doue 3 î 4.46^ 10 = surface voulue =31 .416.

Le volume de la sphère entière=(14© G.) 10 .5236=523.6, ce vol. divisé par le rapport ^ qu'on vient d'établir, donne 52.36 pour volume de l'onglet proposé.

2. L'un des compartiments de la voûte intérieure ou de la toiture extérieure d'un dôme, présente la figure d'une demi-lune sphérique, le diamètre du dôme est de 100 pieds, et le pourtour en est divisé en 16 parties ou sections par des nervures menées du sommet à la naissance : on demande la surface d'une des demi-lunes composantes?

Hep. La surface entière de la sphère dont le dôme fait partie

= 100 x 3.1416 x 100 = 100 2 x 3.1416 = 10000 x 3.1416 = 31,416 pieds carrés, cette surface divisée par 32, puisqu'il y a 32 demi-lunes dans la surface entière, donne pour surface voulue 981J pieds carrés.

(160) REGLE IIF. Multiplie: la longueur de Tare qui mesure la largeur de la lune par le diamètre de la sphère dont elle fait partie ; le produit sera la surface voulue. La surface ainsi obtenu {ou telle qu'établie par la première règle) multipliée par le tiers du rayon donnera le volume demandé.

Ex. 1. Combien y a-t-il de mètres carrés de soie dans l'une des sections composantes d'un ballon sphérique dont le diamètre est de 10 mètres, et le nombre des laizes composantes 36.

Rcp. La circonférence entière du ballon étant de 10x3.1416- 31.416 mètres et le nombre de compartiments 36, il suit que la largeur de la laize sera de 31.416-^-36 = .872g- mètre, puis, 872f x diain. 10 = 8 .72f mètres carrés = surface demandée.

S. Il y a à remplacer l'un des 10 onglets composants d'une boule en bois de 30 pouces de diamètre, on demande le volume et la surface convexe de l'onglet.

Rep. La cire, de la boule =30 x 3.1416=94.218, d'où il suit que la largeur de l'onglet = 94.248 ~ 10=9.4248, cette largeur x diam. 30

donne pour surface de l'onglet 282| ponces carrés. Le volume=la surface ; Le tiers du rayon=282.744 x 15 : 3=282.744 30+6 282.- 711 l0-r-2 = 2827.44-= 2= L413f pouces cubes ou 1413.72-=- 1728 (nombre de pouces cubes dans un pied cube) = .82 près d'un pied cube, soit les quatre cinquièmes d'un pied cube.

3. On demande le nombre de toises (87 pieds cubes anglais à la toise» de maçonnerie dans l'un des 8 compartiments d'une voûte hémisphérique dont le diamètre int. est de 30 pieds et l'épaiss ur de la voûte •"> pieds .'

Itep. 11 est clair (1083 G.) qu'on aura le volume demandé en faisant la différence des demi-onglets composants des hémisphères intérieur et extérieur de la voûte proposée. Or, le dm in. int. étant

30, le volume de la sphère=30 x .5236 = 14137, le vol. de la sphère ext.= 363 x .5236=24429, la différence (24429-14137 =10292) de ces volumes divisée par le nombre (16) des demi-onglets composants de la sphère entière, donne pour volume du compartiment 6431 pieds cubes, divisant ce dernier nombre par 87 on a 7 toises 341 P- cubes.

Ou, approximativement, en multipliant la demi-somme des surfaces ext. et int. du compartiment par l'épaisseur de la voûte : on a surface de la spère int. 30 x 30 x .7854 x 4 ou 30 x .3.1416 = 2827.44 dont la moitié 1413.72 est la surface intérieur de la voûte entière, la surface de la spère ext. = 36 x 3.1416 = 4071.5136 dont la moitié 2035.7568 est la surface extérieure de la voûte entière, la somme 3449.4768 de ces surfaces -f- 8 est la somme des surlaces ext. et int. de la section de voûte à estimer, et cette dernière somme 431.1846 x H (demi-épaisseur pe la voûte) ou la moitié de cette somme multipliée par l'épaisseur entière de la voûte, donne pour contenu cubique du compartiment 646f pieds cubes, ou 7 toises 37f pieds cubes.

(161) RifciiW. Xous disons " approximativement," et en effet, le solide à estimer n'est autre chose qu'un tronc de pyramide sphérique conquis entre bases parallèles. La pyramide spbérique, comme la pyramide ordinaire, a pour volume (I©8î£ <*.) le tiers du produit de sa base par sa hauteur ; mais, s'il était vrai que Ton put arriver au volume d'un tronc de pyramide en multipliant la demi-somme de ses bases parallèles par la hauteur du tronc, il arriverait aussi que l'on obtiendrait correctement le volume de la pyïamide entière égal au demi-produit de sa base par sa hauteur ; car si l'on suppose que la hauteur du tronc augmente indéfiniment, cette hauteur devindra enfin égale à celle de la pyramide entière, el sa base supérieure < par là même d'exister ou deviendra égale à 0 j dans ce cas la demisomme dvs bases opposées scia la demi-base de la pyramide, et la

règle donnerait alors pour volume de la pyramide, le demi-produit de sa base par sa hauteur ; mais le volume de la pyramide est au contraire le tiers du produit de sa base par sa hauteur ; et la différence entre i et i est £ • donc l'erreur de la méthode approximative pourrait aller dans un cas extrême jusqu'à I6f pour cent. Dans l'exemple ci-dessus l'erreur en plus n'est que de 3V pieds sur 643 pieds ou de i pour cent à peut près, et serait encore moindre si le diamètre de la voûte était plus grand relativement à son épaisseur, ou ce qui est la même chose, si la hauteur ou épaisseur du tronc à estimer formait une plus petite partie de la hauteur entière de la pyramide dont le tronc fait partie.

PROBLÈME XXXVII

Trouver le volume d'un secteur sphérique.

(Voir les modèles du tableau.)

(162) REM. I. Le secteur ou cône sphérique est, comme l'indique son nom, une partie quelconque delà sphère solide comprise entre et ayant pour base une calotte sphérique et pour paroi latérale la surface engendrée par la révolution d'un rayon de la sphère autour de la circonférence du petit cercle de la sphère servant de base à la calotte. On peut considérer le cône shérique sous deux points de vue et le toiser en conséquence ; lfl comme secteur sphérique ou comme pyramide sphérique infinitaire pour en obtenir le volume en ajoutant à la surface de sa base sphérique 4 fois la surface de la base sphérique imaginaire parallèle à la première et située à mi-distance entre la surface extérieure et le centre ou en d'autres termes ; entre la base et le sommet, tout comme pour pour une pyramide ou cône ordinaire. Or il est évident que comme dans le cas de la pyramide et du cône proprement-dits ou à bases planes, la surface de la coupe médiane vaut le quart de celle de la base, ce qui réduit la méthode de cuber le cône ou le secteur sphérique à celle énoncée dans la règle ci-dessus donnée. 22 comme composé d'une calotte sphérique et d'un cône droit que l'on toisera séparément par les règles déjà données pour en prendre ensuite la somme des volumes composants. Cette méthode d'agir, dispense évidemment des connaissances nécessaires pour arriver à la surface convexe de la base du secteur à évaluer et réduit tout le travail à celui d'obtenir les surfaces respectives du cercle servant de base commune au cône et à la calotte composants, et du cercle parallèle à ce dernier et situé à mi-chemin entre lui et le sommet de la calotte.

(163) REftl. II. Disons aussi, à l'endroit du cône, sphérique que s'il s'agissait de cuber un tronc quelconque de cône sphérique comprise entre bases parallèles, comme le serait une section d'obus par exemple ou la voûte d'une pièce circulaire et d'épaisseur uniforme, l'on y arriverait, comme dans le cas du tronc de cône ordinaire, en ajoutant à, la somme des surfaces convexe et concave de ses bases parallèles 1 fois la surface d'une section parallèle aux bases et à mi-chemin entre elles, pour multiplier ensuite le tout par la sixième partie de la hauteur du tronc ; ou en faisant les volumes respectifs des cônes sphériques composants pour en prendre la différence.

(164) REGEE. Après a/Voir établi par la méthode duprob.M la surface de la hase du secteur, on multipliera (16*77 G.) cette surface par le tiers du rayon pour avoir le volume demandé.

Ex 1. La hauteur de la calotte ou du segment, suivant le cas, qui (975 G.) forme la base d'un secteur sphérique, est de H mètres, et le rayon de la sphère dont le secteur fait partie est de 5 mètres ; quel est le volume du secteur ?

Rep. La surface de la base = cire, d'un grand cercle x la hauteur du segment, la cir.=diam. 10x3.1416=31.416, 31,416x1.5= 47.124 mètres carrés, cette surface x J rayon ou par 5-4-3=78.54

mètres cubes.

2. Quel est le volume d'une bouée en forme de secteur sphérique, la longueur du côté étant de 10 pieds et le diamètre de la base 5 pieds 1

Rep. Avec ces données on obtient d'abord la hauteur de la calotte = 10 -Vi(f -2.52=10- 9.6825 = .3175 d'un pied, la cire. = diam. 20x3.1416=62.832 laquelle x .3175 = 19.94916 pieds carrés = surface de la base convexe, cette dernière x 10-^3=66.497 pieds cubes.

3. Une tour circulaire dont le diam. int. est de 30 pieds, a pour voûte en pierre de taille un tronc de secteur à bases parallèles dont l'épaisseur est de 5 pieds, la hauteur de la calotte de la voûte est de 10 pieds ; quelle est la surface concave et le. contenu solide de la voûte ?

Rep. Le vol. du tronc est (1683 G.) égal à la différence des secteurs entier et partiel composants = surf. ext. ou de l'extrados x £ R, moins surf. int. ou de l'intrados x i r, "où R et r sont les rayons respectifs des sphères ext. et int. dont les secteurs de même nom font partie ; or, on obtient d'abord (546 G.) pour reste du diamètre du grand cercle dont la hauteur de la voûte fait partie et dont le diam.

de la voûte est une corde, 15 -f-10 (le carré de la demi -corde -=- le Binns verse, c'est-à-dire, le diam. de la voûte -h sa hautetir)=225-f-10 =22.5 ; alors on a le diain.=22.5 + 10=32.5 et le rayon = 16.25, et l'épaisseur de la voûte étant de 5 pieds, on a pour rayon de l'extrados 16.25 + 5 — 21.25 ; maintenant, on aura la surface intérieure de la voûte en faisant la circonférence 102.102 ( = 3.1416x32.5) et en la multipliant par la hauteur 10, ce qui donnera 1021 pieds carrés pour la surface voulue.

On aura (1074.2° G) la surface de l'extrados en faisant r : R : : suf. int. : surf. ext. ou 16.25 : 21.25 : : 1021 : x, soit 264 : 452 : : 1021 : x= 1748 ; enfin le volume demandé = surf. ext. x* R-surf. int. x -^ r= (1748x21.25 + 3) - (1021 x 16.25-^3) = 12382 -5530= 6852 pieds cubes de pierre taillée.

REM. I. La règle approximative dont il a été question dans la rem. du dernier problème, donnerait dans le cas actuel i (1718 + 1021) x 5=6922 c'est-à-dire un excédant de 70 pieds cubes, l'erreur étant par conséquent de l^j pour cent.

4. Un réservoir dont la paroi latérale est une zone de sphère et le fond une surface plane, est revêtu dans toute sa surface concave d'un épaisseur de huit pouces de maçonnerie en briques qui rayonnent vers le centre de la sphère dont le réservoir est un segment. Le diamètre supérieur' du réservoir, qui est en même temps celui de la sphère, est de 100 pieds et la profondeur du réservoir ou hauteur de la zone est de 20 pieds. On demande le nombre de briques dans le tronc de secteur sphérique que forme le revêtement latéral du bassin %

Rep. La cire, de la sphère int. ou d'un grand cercle est 100 x 3.1416=314.16, cette cire, x la hauteur 20 de la zone intérieure, donne pour surface de cette zone 6283.2 pieds carrés, et le secteur solide dont cette zone est la base ou surface convexe est de 6283.2 < \r = 6283.2 x 50 -=-3 = 104,720 pieds cubes ; la surface de la zone ext. du revêtement en brique s'obtient (1074.2° G.) en faisant 1002 :10H* :: 6283.2 6451.8687, cette dernière xi R ou par | (101^)= 108,964.894 pieds cubes = vol. du secteur solide ext., la différence 4244.894 des secteurs int. et ext. est le volume du revêtement en pieds cubes, multipliant par 20 on a 84,898 pour le nombre de briques employées daus l'ouvrage.

BÎEiTI. II. Dans ce dernier exemple, la somme des surfaces parallèles ext. et int. du revêtement est 12735.0687, cette somme x la demi -épaisseur, 4 pouces, ou par un £ d'un pied, donne 4245.0229 pieds cubes, >; 20 = 84900a briques, ou une différence de 21- briques

seulement dans le résultat j prouvant par là, comme on l'a déjà dit qu'avec une épaisseur très petite relativement au rayon, on obtient à très près le volume d'un tronc de secteur sphérïque, en multipliant sa hauteur par la demi-somme de ses bases parallèles. Cependant, pour ce qui est de la somme de travail à dévouer aux deux modes de calcul, la seconde méthode n'offre aucun avantage sur la première qu'il vaut mieux alors employer dans tous les cas.

REM III. On peut aussi dans la pratique (et c'est ce qui se fait quelquefois) lorsque l'épaisseur d'une voûte est uniforme et que le rayon de courbure en est relativement grand, simplifier l'opération et arriver à un résultat assez approximatif en multipliant de suite la surface int. ou ext. de la voûte par son épaisseur. Dans le dernier exemple cette manière de procéder donne, en se servant de la surf, de l'intrados du revêtement en brique, 6283.2 + 8 pouces ou par les f d'un pied = 4188.8 pieds cubes x 20=83776, ce résultat est en moins de 1122 briques ou de le pour cent. Si l'on prend au contraire la surface ext. 6452 x| on a 4301 pieds cubes, ou 86,020 briques, résultat qui est en excès de la vérité de 1122 briques ou de le pour cent comme auparavant.

PROBLÈME XXXVIII

Trouver la surface d'un triangle sphérique. x

(Voir le Tableau.)

(165) REGL.E I. Faites d'abord la surface de la sphère dont le triangle fait partie, et divises cette surface par 8 pour avoir (1193 G.) celle du triangle tri-rectangle.

Faites ensuite (1200 G.) la somme des trois angles, retranches en 180° et divises le reste par 90°; multiplies alors par ce quotient le triangle tri-rectangle et le résultat sera la surface voulue.

REGLE II. Multiplies, comme pour le triangle à surface plane, la longueur développée de la base par la hauteur développée perpendiculaire à cette base; le résultat sera la surface près, de triangle proposé.

1. L'on trouvera parmi les modèles du tableau, des pyramides et troncs de pyramides sphériques dont les bases offrent le triangle sphérique acutangle, rectangle et obtusaugle, y compris le triangle sphérique tri-rectangle dont il est ici question.

Ex. 1. On demande la surface d'un triangle décrit sur une

sphère dont le diamètre est 30 pieds, les angles étant 140°, 92° et 68° ?

Rep. La surface de la sphère entière = diam. 30 x 30 x .7854 x

4=30 x .3.1416=2827.44 pieds carrés dont i= 353.43= surf, du triangle tri -rectangle qui doit entrer comme élément dans le calcul à faire. La somme des trois angles est 300°, 300° - 180û = 120°, 120° -f- 90° = H et H fois la surf. 353.43 du triangle tri-rectangle donne 471.24 la surface voulue.

2. Les angles d'un triangle sphérique équilatéral sont chacun de 120Q, et le diam. de la sphère dont le triangle fait partie est de 20 mètres ; quelle est la surface du triangle ?

Rep. 20^ x 3.1416-=-8 = 157.08 = surf, triangle tri-rect., la somme des angles=360°, 360Q-180° = 180°, 180^90°=2 et 157.08 x 2 = 314 .16 mètres carrés.

3. L'un des 8 compartiments de la surface d'un dôme ou d'une voûte en forme d'hémisphère est un triangle sphérique isocèle dont chacun des angles à la base est un angle droit et dont l'angle au sommet=360°-=-8=:45o? la longueur de l'arc qui mesure la largeur du compartiment à la naissance du dôme est de 39.27 et la circonférence entière est en conséquence =• 39.27 x 8 = 314.16, d'où le diam. est 100 ; quelle est la surface du compartiment ?

Rep. La surf, entière de la sphère dont la demi-lune à estimer

fait partie =100 x 3.1416 = 31416 imités carrées, le triangle tri-rect. = 31416-=- 8 = 3927, la somme des angles excède de 45° deux angles droits, 45°-^90=i, donc la surface ou volume = 3927^2 = 1963 J = surface demandée.

D'ailleurs, dans cet exemple où le triangle à estimer forme une partie aliquote connue de la sphère entière, le calcul se simplifie et se réduit à faire la surface de la sphère pour en prendre ensuite la 16ème partie. L'exemple a néanmoins l'avantage de faire voir l'exactitude de la règle (la surf, de la sphère entière 31446 divisée

par Ki donnant comme auparavant L9633 pour surf, convexe de l'onglet proposé) et Indique la manière de procéder dans tout autre cas analogue.

4. La somme des trois angles d'un triangle tracé sur la surface de la sphère terrestre, excède (1416 G,) d'une seconde (1") 180°, quelle en est la superficie en supposant que la terre soit une sphère parfaite d'un diamètre de 7912 tailles anglais?

Rep. La, surface de la terre = (7!>12)2x 3.1416= 196,663,355.75, divisant par 8, on a pour surface du triangle tri-rect. 24.582,! >29. 47 milles carrés : maintenant 1" ~ 90=1"-*- 324,000 (nombre, de secondes dans 90°=90° x 60' x 60")==^^rTnr=.00000308642 près et la surface du triangle tri-rectangle 24.582,919.47 x .00000308642 ou, ce qui est la même chose divisée par son réciproque 324000 donne 75.17321 pour la surface du triangle proposé en milles carrés.

(166) RE.TI. I. Il est clair d'après la règle que la surf, de tout triangle sphérique de même rayon, c'est-à-dire, de tout triangle tracé sur une même sphère a un rapport direct à l'excédant delà somme de ses trois angles sur 180°. Par exemple, si l'excédant sphérique était de 10 secondes au lieu dune, la surface du triangle serait 758.7321 milles carrés au lieu de 75.87321 ; de même si l'excès des 3 angles sur 180° n'était que d'un dixième de seconde, la surface du triangle ne serait que d'un dixième de ce qu'elle est pour 1 seconde, savoir: 7.587321. Un excédant d'une minute donnerait pour surface du triangle à estimer un nombre de milles 60 fois plus grand que celui que donne une seconde, c'est-à-dire, la 5400ème partie du triangle tri-rect,, puisque 324000 -=-60=5400 ou que 90° x 60=5400 ; de même 1° donnerait la 90ème partie du triangle tri-rect. et ainsi de suite: d'où il suit évidemment que dans tout relevé géodésique d'une partie de la sphère terrestre, il suffira, après avoir établi la surface qui correspond par exemple à une seconde ou à un lOème, lOOème, lOOOème, etc. de seconde, de multiplier cette surface par le nombre de secondes ou de dixèmes de seconde, etc., dans l'excédant de la somme des trois angles d'un triangle quelconque sur 1S0°, pour avoir de suite la surface de ce triangle, et on l'a vu (1415, 3° G.) la manière d'établir au besoin cet excédant sphérique.

RE3I. II. Il est évident que si le triangle sphérique ACP, par

exemple, est le triangle tri-rectangle ou la 8ème partie de la sphère et qu'on le suppose divisé en un nombre quelconque de parties égales,

c'est-à-dire, de triangles sphériques isocèles égaux entre eux, ACE, ECE, etc., tous les angles en C devront à cet fin être égaux entre eux et les arcs AE, EE aussi égaux entre eux, les surfaces de ces tri-

angles seront par là même superposables et égales. Soit donc l'angle

ACE au sommet ou pôle C=1Q et parce «

que l'espace tout autour de C est divisé

en 360°, la surface du triangle isocèle

spkéiïque bi-rectangle ACE, ou dont les

côtés qui comprennent l'angle de 1° au

a/^llZ^

iSH'

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Jyî^ /

et chacun d'eux à un quart de circonférence, cette surface, disons-nous, sera évidemment la 360ème partie de celle de l'hémisphère AEBA-C ou ce qui est la même chose la 90ème partie D

de celle du quart d'hémisphère ou triangle tri-rectangle. Si l'angle en C n'est que de 1' ou la GOèine partie de 1°, la surface du triangle ACE ne sera que la (90° x 60') 5400ème partie de celle du demi-quart de sphère. Si l'angle en C n'est qu'une seconde, la même surface ne sera que la (90° x 60' x 60") 224,000ème partie de celle du demi-quart de sphère, ou comme on l'a vu dans l'exemple ci-dessus, de 75.87321 milles carrés anglais; d'où il est clair, qu'un angle C ou ACE de .1" donnerait 7.587321 milles carrés ; un angle ACE de .01" donnerait .7587321 d'un mille carré; un angle ACE de .001" une surface de .07587321 d'un mille carré et ainsi de suite, soit, comme on vient de le dire, .07587321 pour chaque millième de seconde. Or 1 mille carré =- 5280 x 5280 pieds anglais = 27,878,400 pieds carrés et multipliant par .07587321 on a 2,115,223.4 pieds qui correspond donc aussi à la surface d'un triangle sphérique dans lequel l'excédant de la somme de ses angles sur 180° est de .001" ou de la millième partie d'une seconde ; d'où, si l'excédant n'est que de .0001" la surface correspondante du triangle sera de 211,522.34; si l'excédant sphérique est de .00001" ou de la cent millième partie d'une seconde, la surphace sphérique ne sera plus que de 21,152.234 et enfin si l'excédant sphérique est de .000001" ou de la millionnième partie d'une seconde, la surface du triangle sphérique correspondant à tel excédant sera de 2115.2234 pieds carrés ou d'une étendue de terrain n'excédant pas un carré de 46 pieds de côté. D'où :

REGLE I. Pour déterminer la surface sphérique cFwn triangle quelconque décrit sur la surface du, sphéroïde terrestre 1 (sphère aplati aux pôles d'à peu près un trois centième (3^) de son diam.) on n'a qu'à multiplier chaque millionnième de seconde de Vexcé-

1. Comme les surfaces de figures semblables sont entre elles comme les carrés de leurs côtés homologues, l'on arrivera à la surface d'un triangle sphérique décrit sur une sphère de rayon quelconque en faisant la proportion voulue.

clant de la somme de ses trois angles sur 180° par 21 15 pieds carrés, ou chaque millième de seconde par 2,1 15,223 pieds carrés ou pue .07587321 milles carrés, ou chaque .01" (centième de seconde) par .7587321 milles carrés, ou chaque A" (diadème de seconde) par 7.587321 milles carrés, on enfin chaque i" {seconde) pur 75,87321 milles carrés, réduisant à cet effet les degrés (°) et minutes (') dans V excédant donné de la somme des trois angles de tel triangle Sphérique quelconque sur 2 anales droits, en secondes, pour multiplier ensuite ces secondes par 75.87321 et les fractions de secondes comme ou rient de le dire.

Et Réciproquement, j)»nr déterminer V excédant sphérique de la somme des trois angles d'un triangle sphérique quelconque sur % angles droits, on divisera la surface préalablement obtenue d'une manière approximative (en considérant (105, R. 2) les longueurs des arcs qui en constituent les côtés comme celles des côtés d'un triangle rectiligne) par 2215 pieds carrés pour a/voir le nombre de milUonnièmes de seconde (.000,001") contenus dans tel excédant, ou par 2,115,223 pieds carrés ou .07587321 mule carré pour avoir le nombre de millièmes de secondes (.001") contenus dans tel excédant, par .7587321 mille carré pour les centièmes de secondes (.01"), par 7. 587321 milles carrés pour les dixièmes de secondes (.1"), enfin par 75.587321 milles carrés pour les secondes (1") et les secondes au besoin réduites en minutes en divisant par 60 et les minutes en degrés en divisant encore par 60, donneront encore Vexcédant sphérique voulu.

REM. III. Le triangle sphérique ACE sur lequel ou a raisonné est connue on l'a dit bi-rectangle en A et E, c'est-à-dire, que les angles en A et eu E sont, et sont évidemment, droits ; d'où il suit que l'angle en C au sommet ou au pôle est l'excédant sphérique ou la quantité dout les 3 angles excèdent 2 angles droits et de même que cet excédant sphérique fournit la surface dans le cas du triangle isocèle bi-rectangle, de même (1200 G.) cet excédant permet d'arriver à la surface voulue, ou la surface à l'excédant voulu dans tout autre triangle sphérique quelconque.

PROBLÈME XXXIX

Déterminer la surface d'une polygone sphérique.

(Voir le tableau.) (167) REGLE. Trouves comme dans le dernier problème, la surface du triangle tri-rectangle (1201 G.). De la somme de tous les angles du polygone soustrayez autant de fois 2 angles droits qu'il y a de côtés moins deux. Divises le reste par 90° et multiplies le triangle tri-rect. par le quotient ainsi obtenu: le produit sera la surface voulue.

Ex. 1 Quelle est la surface d'un polygone régulier de huit côtés décrit sur la surface d'une sphère dont le diamètre est 30, chaque angle du polygone étant de 140° ?

Rep. 140° x 8 ==1120°== somme des angles du polygone, 180° x 6 — 1080°== autant de fois 2 angles droits que de côtés moins deux, 1120 — 1080==40, 40-^90==f ; la surface du polygone proposé sera donc les -f de celle du triangle tri-rect., la surface de la sphère ==30 x 30 x 3.1416=3.1416 x 900==2827.44 laquelle -4-8= 353.43= surf, du triangle tri-reet., cette dernière x 4-i-9=167.08 la surface voulue du polygone.