est la surface du triangle tri-rect., / J$vL \ /E

1080° -5 fois 180° = 180°, 180° -=- 90° ==2 / \Jft

et 113 4903 x 2 = 226.9806 surface du poly- J *£

gone proposé.

3. La somme des 15 angles d'un polygone de triangulation géodésique est 2340° 1' 50", quelle est la surface du polygone en milles carrés, en supposant que le diamètre de la terre à l'endroit du relevé soit de 7912 milles anglais, c'est-à-dire en supposant que l'opération trigonométrique ait eu lieu sur une sphère de ce diamètre ?

Rep. On a, comme dans le dernier problème, pour surface correspondant à un excédant de 1", 75.87321 milles carrés, et on a vu que la surface à estimer est en rapport direct avec le nombre d'unités dans l'excédant donné ; or, la somme des angles est dans cet exemple 2340° 1' 50" laquelle diminuée de 13 fois 180° ou de 2340° laisse pour excédant 1' 50" ou 110"; la surface voulue sera donc de 110 fois 75.874321 c'est-à-dire 8346.0531 milles carrés.

(16S) REM. La supposition qu'on vient de faire semble indiquer que la terre n'est pas dans toute son étendue de même courbure, c'est-à-dire de même rayon ou diamètre, ou qu'elle n'est pas une sphère parfaire, et en effet le globe terrestre est un sphéroïde dont l'aplatissement vers les pôles est d'à peu près ^^ du diam à l'équateur ou d'environ 26 milles; or les surfaces de deux sphères de rayons différents ou de deux parties homologues quelconque des sphères sont entre elles (lOTt G.) comme les carrés des rayons de ces sphères

Soit donc à trouver le rapport des surfaces de deux figures sein-

blablos tracées sur la sphère terrestre, l'une en un endroit où le diamètre oscillateur est de 7912, l'autre dans une latitude ou ce diamètre est de 7930 milles, on fera 7!>122:79302 :: 1:1.0045552; multipliant par ce dernier nombre les 834(3.0531 milles carrés du dernier exemple, on obtient 8384.071 milles carrés pour surface du même polygone en un endroit ou le diamètre de la terre serait de 7930 au lieu de 7912, c'est-à dire une différence de 38 milles carrés, quantité qui quoique relativement petite, eu égard à la surface totale de l'étendue de territoire embrassé dans le relevé, n'en est pas moins très grande en elle même, équivalente qu'elle est à celle d'une ville ou d'un canton de plus de 6 milles de diamètre ; ce qui fait voir l'importance d'avoir égard aux dimensions relatives de chaque partie de la sphère terrestre dans les opérations à faire pour en déterminer la surface.

PROBLÈME XL

Déterminer le volume d'une pyramide sphérique

quelconque. (Voir le tableau.)

(196) REGEE. Trouvez d'abord par les règles précédentes la surface de la base de la pyramide donnée; multipliez ensuite (1082 G.) cette surface par le tiers de la hauteur de la pyramide, c'est-à-dire par le tiers du rayon de la sphère dont la pyramide fait partie et le résultat sera le volume demandé.

Ex. 1. Quel est le volume d'une pyramide sphérique dont la base est de 10 mètres carrés et la hauteur 30 mètres ?

Rep. 100 mètres cubes.

2. Parmi les parties composantes d'un polyèdre à cuber, se trouve une pyramide sphérique ou une partie de sphère bornée par des plans se rencontrant au centre de la sphère dont la pyramide fait

partie ; quel en est le volume, le rayon étant de 15 pouces et la surface du triangle ou polygone qui en constitue la base de 100 pouces ?

Rep. 500 pouces cubes.

3. On a à faire une voûte ou partie de voûte dont le rayon int. ou de l'intrados soit de 30 pieds, l'épaisseur de la voûte 3 pieds et la forme celle d'un polygone irrégulier dont l'aire ou superficie int. est de 100 pieds carrés ; quel en est le volume ?

Rep. Le vol. à estimer est un tronc de pyramide spliérique à bases parallèles; ce volume est égal (1083 G.) à la différence des volumes des pyramides entière et partielle ou ext. et int. composantes. On aura donc pour le vol voulu, l'expression (surf. ext. x \ R) — (surf, int. x \ r) ; il y a donc a trouver la surf. ext. qui doit concourir au calcul à faire; à cet effet on a (1074, 2° G.) 30*: 33 3;: 100 : 121 = surf, de l'extrados ; maintenant, (121 x 11) - (100 x 10) = 1331 - 1000 = 331 pieds cubes de maçonnerie.

4. Quel est le poids d'un fragment d'obus ou de bombe dont le diam. int. est 10 pouces, l'épaisseur 5 pouces, et les surfaces int. et ext. ou concave et convexe 60 et 240 pouces carrés, les plans de section du fragment étant dirigés vers le centre de la sphère dont le solide à estimer fait partie, et le poids de la fonte étant à raison de 480 livres au pied cube ?

Rep. (240 x 10-^3) - (60 x 5 -=- 3) = 800 - 100 = 700 pouces cubes, le pied cube= 12 x 12 x 12=1728 pouces cubes, d'où on obtient le poids demandé en faisant 1728 : 480 : : 700 : 194 â livres.

PROBLÈME XLI

Trouver la surface ou le volume d'un polyèdre régulier quelconque. (Voir les 5 polyèdes réguliers du tableau.)

(169) REGLE I. Pour la surface : calcules la surface de Vune de ses faces composantes, et multipliez (1118 G.) cette surface par le nombre de faces dans le polyèdre proposé.

Pour le volume : Multipliez (1124 G.) la surface du polyèdre par le tiers du rayonOPde la sphère inscrite, c'est-à-dire par le tiersde la perpendicidaire abaissée du centre sur Vune des faces du solide; le produit serq le volume demandé.

REU1. On a vu (1132 et 1134 G.) que pour déterminer dans le cas du Dodécaèdre et de l'Icosaèdre, le rayon de la sphère inscrite il faut premièrement trouver l'angle formé par deux des faces adja-

rentes de ces solides, et on a indiqué la manière d'établir cet angle. On peut aussi, au moyen du môme angle, calculer la perpendiculaire

dans chacun des trois autres polyèdres (dont celle de l'exaèdre est d'ailleurs égale au demi-côté de ce corps) ou obtenir cette perpendiculaire par la méthode du par. (112S G. ) ou 1131 G.) suivant le cas.

(170) H est bon de calculer et de disposer sous forme de tableau, comme on l'a fait (27 T.) pour les polygones réguliers, les surfaces et volumes des cinq polyèdres ayant pour côté l'unité, afin de se servir ensuite au besoin de ces surfaces et volumes, pour déterminer la surface ou le volume de tout autre polyèdre régulier quelconque de même nom.

Tableau des polyèdres réguliers dont le côté est 1.