Quel est le volume d'un icosaèdre dont le côté est

Rep. 17453.56.

11. L'on a terminé un monument par une boule ou couronnement en pierre taillée ayant la forme d'uu dodécaèdre dont l'arête ou le côté mesure 13i pouce» : on demande le volume du bloc de pierre en pieds cubes et sa surface en pieds carrés ?

Rep. la surface=13.5 * 13.5 x 20.6457288 = 3762.6340733 pouces carrés. L'on obtiendrait tout de même cette surface sans l'aide de celle du tableau, en faisant séparément parla méthode du par. (2S, T.) la surface d'un des polygones composants et en multipliant ensuite par 12 l'élément ainsi obtenu ; ainsi l'aire ou surface d'un pentagone dont le côté est 1 = 1.7204774, multipliant par 182.25 (carré du côté donné) l'on a pour superficie d'une des faces du polyèdre proposé 313.55700615 pouces carrés; puis, multipliant par 12 (nombre de faces du dodécaèdre) l'on a comme auparavant 3762.6840738 pouces carrés, ce qui prouve aussi l'exactitude du multiplicateur du tableau. iV^hitenant on n'a qu'à diviser le nombre de pouces qu'on vient de trouver par 144 (les pouces carrés dans un pied carré) pour avoir 26 pieds carrés 18.684 pouces carrés, la surface demandée.

Rep. Le volume = 13.5 x 13.5 x 13.5 ou (13.5) 'ou 2460.375 x 7.6331189=18780.3349 pouces cubes, divisant par 1723 (nombre de pouces cubes dans un pied cube) on a 10.87 près pieds cubes.

PROBLÈME XLII

Étant donné le diamètre d'une sphère, trouver le côté de

l'un quelconque des polyèdres réguliers, qui puisse

être inscrit dans la sphère, circonscrit à la

sphère, ou qui soit égal à la sphère.

(Voir les 5 polyèdres réguliers du tableau.)

(1^2) REGLE. Multipliez le diamètre donné par le nombre qui, dans la table suivante, répond à la demande, et le produit sera le côté du polyèdre voulu.

Il suffit de ce que l'on a déjà dit à l'endroit des polyèdres réguliers (pages 423 à 427) pour faire comprendre de suite comment on a pu calculer cette table.

Le diamètre

Capable d'être

Egal en volume

d'une sphèreétant

inscrit dans la

circonscrit à la

à celui de la

1, le côté d'un

sphère, est

Tétraèdre

Hexaèdre

Octaèdre

Dodécaèdre

Icosaèdre

Ex. L'on veut refondre en forme d'un cube parfait d'égal volume, un boulet de canon dont le diam. est de 10 pouces ; quel sera la longueur de côté de l'exaèdre voulu ?

Kep. 0.8059958 x 10=8.059958 pouces.

2. De combien diminura-t-on le poids d'une sphère en pierre de 5 pieds de diamètre, en le réduisant au plus grand polyèdre régulier de 20 côtés qu'on puisse en tirer, le poids de la pierre étant supposé égal à 1 50 livres par pied cube ?

Rep. Le vol. de la sphère donnée =5 x .5236=65.45 pieds, cubes ou 65.55 x 150 = 981 1\ livres pesant. Le côté de l'icosaèdre voulu sera, d'après la règle, 0.5257309x5=2.6286545; cubant ce dernier nombre, on a 18.163 et multipliant ce cube par le volume 2.181695 du polyèdre de même nom dont le côté est 1, on a pour le volume de la sphère réduite en icosaèdre 39.626 pieds cubes ou 39.626 x 150 = 5943.9 livres pesant ; la différence 3873.6 livres est le poids demandé.

PROBLÈME XLIII

Étant donné le côté de l'un des cinq polyèdres réguliers, trouver le diamètre d'une sphère qui puisse être inscrite dans le polyèdre, circonscrite au polyèdre ou qui lui soit égal en volume.

(Voir les 5 polyèdres réguliers du tableau.)

(173) REGï, E. Faites les proportion suivante : le nombre respectif de la table ci-dessus, sous le titre "inscrit,''1 " circonscrit?1 "égal," est à 1, cintimc le côté du polyèdre donné est au diamètre de la sphère inscrite, circonscrite ou égale, suivant le cas.

En d'autres termes : le côté du polyèdre inscrit, circonscrit ou égal (suivant le cas) de la table, est au diam. 1 de sa sphère circonscrite, inscrite ou égale, comme le côté du polyèdre donné est au diam. de sa sphère circonscrite, inscrite ou égale.

Ex. 1. Le côté d'un icosaèdre est 2.62365, on veut le réduire en une sphère du plus grand diamètre possible, quel sera ce diamètre?

Rep. .6615345:1 :: 2.62865:3.973, près, le diamètre voulu. La surface de 1 îeosaèdre donné est (2S T.) 2.62865 x 2.62865 x .4330127 x 20 = 59.842355, cette surf, x 3.973 -=-6 (c'est-à-dire par la sixième du diam. ou tiers du rayon de la sphère inscrite) donne pour le volume de l'icosaèdre 39.6259 pieds cubes ou 39.626, comme dans l'exemple 2 du problème précédent, chacun des deux résultats étant de cette manière une vérification de l'exactitude de l'autre et en même temps une preuve de l'exactitude des facteurs du tableau.

2. On demande quel sera le diamètre du boulet de canon qu'on pourra obtenir en faisant refondre une masse de fer en forme d'un octaèdre de 12 pouces de côté ?

Rep. 1.03563:1:: 12:11.58715, c'est-à-dire, le diam. du boulet sera de 11.6 pouces près.

PROBLEME XLIV

Trouver le volume d'un sphéroïde quelconque.

(Voir sur le tableau, les sphéroïdes aplati, allongé et à 3 axes.)

(174) REGLE I. Multipliez Taxe fixé par le carré de Taxe de révolution (ou par le rectangle ou produit des deux axes de révolution, suivant le cas) et le produit par .5236 : le résultat sera le volume demandé.

a \KV

RSvin. Il est clair que cette règle est en tout analogue à celle que Fou donne (!0§6 G.) pour établir le volume d'une sphère ; et en effet, le sphéroïde, comme la sphère, vaut les ■f de son cylindre circonscrit ; car l'ou démontre en u sections coniques " que si l'on a Ko : oO dans l'ellipse :: Ao : oO dans le cercle, l'oii aura aura aussi oc : OC dans l'ellipse : : oc: OC dans le cercle ; de là, puisqu'on peut (1009, G.) regarder la sphère et le sphéroïde comme composés chacun d'une infinité de tranches minces ou de surfaces superposées engendrées par la révolution d'un même nombre d'ordonnées oc perpendiculaires à l'axe fixe AB des deux solides, et que ces surfaces composantes sont entre elles comme les carrés des rayons générateurs, il est évident que les deux solides seront aussi entre eux comme les carrés (104 G.) de ces ordonnées, ou, ce qui est la même chose, comme les surfaces des bases ou sections correspondantes des cylindres de même hauteur AO circonscrits à ces solides.

Ce que l'on vient de dire du sphéroïde allongé AB et de sa sphère circonscrite, s'entend également du sphéroïde aplati CD et de sa sphère inscrite, car, quel que soit le rapport de Om à mC dans chacun de ces deux dernières solides, on aura entre am AO de l'un le même rapport qu'entre am et AO de l'autre.

(175) REGLE II. Multiplies (1SOT T.) A fois la surface cVune section quelconque (AB, CD, GH, etc.) passant par le centre (0) du sphéroïde, par % de la hauteur perpendiculaire (CD, AB ou EP, etc.) du solide correspondant à telle section.

Car, en premier lieu, pour ce qui est du sphéroïde engendré par la révolution de la demi-ellipse ACB autour de son axe AB, les facteurs dans les deux règles se réduisent aux mêmes, En effet la première règle donne pour volume AB x CD x CD < .5236 et la

seconde règle donne CD x CD x .7854 x 4 x £ AB ; si ces expressions sont égales ou équivalentes, l'on doit avoir (en négligeant les facteurs AB, CD, communs aux deux formules) .7854 x 4 x i - .5236 ; or .7854 x4 = 3.1416 et 3.1416 f 6 = .5236 ; donc etc.

En second lieu, La section AB du même sphéroïde est une ellipse égale eu tout à l'ellipse ACBD et sa surface est (57 T.) = AB x CD .7854 ; si la seconde règle est correcte, l'on aura donc AB x CD x .7854 x 4 x $■ CD = AB x CD x "CD x .5230 ; et en effet en éliminant les facteurs AB, CD et CD qui sont communs aux deux expressions, il reste encore .7854 x 4 x £ = .5236; donc, etc.

En troisième lieu, il est à démontrer quo 4 surf, section GH

x JEP est encore égale a CD xABx.5236; or, les sections coniques enseignent que quels que soient les axes ou diamètres con jugés x GH, EF dont on se sert, les parallélogrammes circonscrits à l'ellipse et dont les côtés sont parallèles à ces axes conjugés, sont tous égaux en surface au rectangle AB x CD; mais (8, T.) la surface du parallélogramme ayant pour côtés GH, EF est GH x EF x sin, nat. angle EOG ou EFP — GH x EP. La surface de la section GH= (car toute section d'un sphéroïde est une ellipse) GH x CD x .7854 et l'on vient de voir que GH x EP= AB x CD ; donc GH x CD x .7854 x 4 x £ EP= AB x CD x CD x .5236, CD étant commun aux deux formules, AB x CD=GH x EP et .7854 x 4 x i = .5236 ; donc, etc.

REUI. Dans le cas du sphéroïde aplati engendré par la révolution de la demi-ellipse DAC autour de l'axe CD, la preuve est analogue à celle que l'on vient de donner.

Ex. 1. Quel est le volume d'un ellipsoïde allongé dont l'axe de révolution est 60, et l'axe fixe 80 ?

Rep. 60 x 60 = 3600, 3600 x 80 = 288000,288000 x .5236=150796.8 unités de volume.

2. Avec les mêmes données, quel sera le volume du sphéroïde aplati ? Rep. 80 x 80=6400, 6400 x 60 = 384000,384000 x .5236 =201062.4 unités de volume.

3. Un sphéroïde allongé a pour axes 100 et 200 ; quelle en est la solidité 1

Rep. 1002 x 200 x .5236=l,047,200=le volume demandé. Maintenant, soit EF dans cet exemple un diamètre quelconque =166, on aura son con jugé GH=VAB2 + CD2 — EF2 (car l'on démontre en "sec tions coniques " que la somme des carrés de toute paire de diamètres conjugés est égale à la somme des carrés du grand et du petit axe) = 149.81322, 4 suif. GH=GH x CD x .7854 x 4 = 47065.3212. Puisque AB.CD=EF.GH x sin. nat. EOG, on obtient sin. nat. EOG=AB.CD -4- EF.GH=20000-r 24869=8042141 = 53° 32', et .8042141 x 166= EP

1. Le diam. GH, conjugé de EF, est celui qui est parallèle à la tangente PF à l'ellipse au point F, où le diam. EF rencontre la courbe.

= 133.49954, et 47065.3212x133.49954-=- 6=1,047,199.8, la différence .2 entre les deux résultats se rapportant aux décimales qu'on a négligées dans le calcul.

4. Si les deux axes de la terre sont entre eux comme 304 et 303 quel sera le volume du sphéroïde (il est aplati, le diain. polaire étant moindre que le diam. équatorial) et de combien ce volume diffèrerat-il de celui d'une sphère sur le grand axe ?

Rep. Le vol. du sphéroïde=304 x 304 x 304 x .5236=14601872.3328 le volume d'une sphère sur le grand axe =14710201.3504

et la différeuce de ces volumes est 48389.0176.