PROBLÈME XLV

Déterminer le volume d'un segment quelconque de sphère ou de sphéroïde à une seule base ou d'un tronc quelconque à deux bases parallèles, perpendiculaires ou non aux axes du solide.

(Voir les segments et zones solides du tableau.) (116) REGEE. A la surface de la base du segment ou à la somme des surfaces des bases du tronc, ajoutes 4 fois la surface d'une section à demi-distance entre la base et le sommet ou entre les bases parallèles, suivant le cas, et multiplies le tout par ^ de la hauteur du solide: le produit sera le volume demandé. T En premier lien, pour ce qui est du demi-sphéroïde (dont on peut d'ailleurs obtenir le volume en faisant celui du sphéroïde entier pour en prendre ensuite la moitié) on a vu (174, T.) que surf, section c(Z:surf. section CD dans le sphéroïde:: surf, section cd : surf, section CD dans la sphère ; or il a été démontré (134, T.) que dans la sphère, surf, cd à demi-distance entre A et 0=| surf. CD ; donc aussi dans le sphéroïde, surf. cc?=f surf. CD ; donc surf. CD + 4 surf. cfZ=4 surf. CD, et par le dernier problème, vol. ACD=4 surf. CD x $■ AO ; donc vol. ACD=(surf. CD + 4 surf, cd) x i AO.

Maintenant, pour le demi-sphéroïde dont la base AB est une ellipse =ACBD dont la section ab est aussi une ellipse semblable à la base, (car toutes sections parallèles quelconques du sphéroïde sont des ellipses semblables) on a encore surf, ab : surf. AB : : surf. al> : surf AB

] La figure de ce paragraphe représente un segment quelconque ACB ou aCb ou cCd de sphère ou de sphéroïde, on un tronc quelconque AB-ab, ou àb-cd, ou AB-cd de sphère ou do sphéroïde ; mais la démonstration a lieu par la ligure au haut de la page 136.

toisé des cours OU SOLIDES. 139

«Luis la sphère, car àb : AB :àb: AB dans Les deux solides et (104, G)

»/» : AB ::àb : AB dans les deux solides, et les surfaces des ellipses semblables, comme de toutes autres figures semblables, sont entre elles connue les carrés de leurs diamètres ou autres lignes homologues ; donc surf, ellipse aô=| surf, ellipse AB ; or, vol. demisphéroïde ACB=par le dernier problème 4 surf. AB x JCOj donc aussi le même volume = (surf. AB + 4 surf, ab) x J CO.

REM. 1. C'est encore une propriété de l'ellipse que tout diam. EF de cette ligure bissecte toute corde ou double-ordonnée gh parallèle au diamètre conjugé GH, ce qui donne nh=ng et l'on démontre que de même que l'on a (sections coniques) AB :CD :: VAo.oB : oc, e^ CD : AB : : *JGm, mD : nib, de même on a aussi EF : GH :: VE». nF : rih et par suite que nh : OH : : mb : OB : : oc: OC quand On, Om et Oo ont à OF, OC et OA ou à nF, mC et oA le même rapport. On aura doue surf, section <//t=f surf, section GH et comme il est déjà démontré que vol. demi-sphéroïde GFH=i (4 surf. GH x £EP) on aura aussi vol. GFH— (surf. GH + 4 surf, gh) x \ Oj? ou par l EP-f-2.

(177) En secoue! lieu, pour ce qui est de tout segment de sphéroïde autre que le demi-sphéroïde, il suffit de ce que l'on vient de dire et de la démonstration qu'on a donnée au par. (135 T.) de l'exactitude de la règle dans le cas d'un segment quelconque de sphère, pour faire comprendre aussi son exactitude dans le cas actuel ; ce qui dispensera aussi d'ajouter sans nécessité aux dimensions déjà volumineuses de ce traité.

Ex. 1. Quel est le volume d'un segment MNA de sphéroïde à une base MN perpendiculaire à l'axe fixe AB, la hauteur Ao du segment étant de 10 unités et les longueurs des axes AB=100, CD =60 ?

Rep. AB : CD : : VAo. oB : oM, d'où oM = 18 et MN=36j m=Ar.r&x CD-r-AB=

13.0766985 et mw=26.153397 ; surf. MN + 4 surf. to«=(MN2 + 4 mn ) x .7854, MN; =1296, mn =684 à très près, (1296 + 4 fois 684) x. 7854 = 3166.7328, multipliant par $ Ao, ou par £ 10, on a 5277.888 unités de volume dans le segment proposé.

2. On demaude la solidité d'un segment MNB do sphéroïde par un plan MN perpendiculaire à Taxe fixe AB, oB étant = 90 et AB, CD 100 et 60 respectivement ?

Rep. Si m'y' n'est pas donné on le trouve=Ar'.r'B x CD-^ AB

(puisque AB : CD : : VAr .r'B : r'm' ou 100 : 60 : : V55 x 45 : r'm') = 29

CLKF DU TABLEAU.

.8496208 ou m'W = 59.6992416, MN + 4 m'ri x .7854 x % oB = vol. MNB = 183218.112 ; la somme 188,496 de ces volumes est le volume du sphéroïde entier ACBD, car (174, T.) 60 x 60=3000, 3600 x 100= 360,000 et 360,000 x. 5236 =188, 496, ce qui prouve aussi l'exactitude de la règle de ce problème.

REM. II. Dans les deux derniers exemples on a supposé les axes AB et CD connus : mais cette connaissance n'est aucunement essentielle, puisque les diamètres intermédiaires mn, m'W sont censés connus ou que d'ailleurs on peut les obtenir directement en mesurant, dans la pratique, ces diamètres ; et c'est là l'un des avantages de la règle de ce problème, qu'elle ne requiert pas que l'on sache à quel sphéroïde appartient le segment à estimer.

3. Un segment MNC de sphéroïde par un plan MN perpendiculaire à l'axe de révolution CD, et dont la base est par conséquent une ellipse, a pour hauteur oC 12 unités, les axes AB, CD étant respectivement 100 et 60 : quel est le contenu solide du segment ?

Rep. CD : AB : : VCo.oD : oM ou 60 : 100

: : V48 x 12 : 40, et parce que les sections parallèles MN, AB sont semblables, on a AB : CD :: MN :pq diamètre conjugé de la base elliptique MN du segment donné ; donc pq= 60 x 80-=- 100=48 et surf. Mj) Nq = 80 x 48 x .7854 ; puisque oC = 12 on a rC = 6 et rD=54, 60: 100 :: V54 x 6 : 30=rm, le diam. conjugé de rm— 18 (car 100 : 60 : : 30 : 18) et la surface delà section m»=60 x 36 x .7854; cela posé, on a vol. MNC = (surf. MN. + 4 surf, mn) x £ oC=MN2 + 4 mn x .7854 x 2 = 19603.584 unités de volume.

4. Quel est le volume de l'autre segment du même sphéroïde ? Rep. On a r'D = oD-| oC = 24, et r'C = 36, d'où l'on obtient

comme auparavant m'n' = 97*9796 • l'autre diam. ou axe de l'ellipse m'n' =58.78776; d'où surf. mV=4523. 904 et surf. MN + 4 surf, m'n' =21111.552, cette somme x £ 48 ou par 8 = 168892.416 le volume demandé.

Les deux segments réunis donnent 188,496 qui est en effet le volume du sphéroïde entier comme on l'a vu à l'endroit du 2ème exemple.

5. Quelle est la solidité d'un tronc central AD de sphéroïde dont les bases parallèles sont des cercles égaux de 40 pouces de diamètre, le plus grand diamètre du tronc=50 pouces et la hauteur ou distance entre les bases parallèles 18 pouces ?

Roi». (Surf. AB I surf. CI) il surf. KP)xJ OP= (40* + 40 (ou 2 l'ois [0 ) il fois 50 ) < .7854 x 3=31101.84 pouces cubes ou 18 pieds cubes près.

<>. Les diamètres respectifs des bases parallèles d'un tronc de sphéroïde sont 10 et 20, le diam. d'une section à distances égales de ces bases esl 30 et la hauteur du (roue est 40 : quel ësl le volume .'

Rej». (102+202 ; ! fois 30) x .7854 x 40 -=-6 = 3220.14 < 40-^-6 = 6 1 102.8 pouces cubes.

T. L'une des parties composantes d'un cul-de-lampe adossé à un mur, présente la forme d'un demi-segment ou tronc de sphéroïde à bases parallèles elliptiques. Les diamètres des ellipses ou plutôt des demi-ellipses inf. et sup. mesurent respectivement 30 et .'5!» pouces, le diamètre intermédiaire est 36 et les trois demi-diamètres conjugés ou saillies du eul-de-lampe mesurent 10, 13 et 12 pouces, la hauteur du tronc est 18 pouces : quel en est le volume .;

Rep. (30 x 10+39 x 13 + 4 fois 36 x 12) x .7854 x 3 = 59729.67 pouces cubes ou 3.4 pieds cultes près.

8. L'on désire savoir combien il y a de gallons (231 pouces cubes au gallon) dans une barrique de vin dont la longueur est 40 pouces et les diamètres au centre et à chaque extrémité 32 et 24 pou»

Rep. (2 fois 24" + 4 fois 322 x .7854x40-^-6=27478.5 pouces cubes, divisant par 231 on a 119 gallons à moins d'une sept icr près.

9. Dans un vaisseau incliné, dont la forme paraît être celle d'un demi -sphéroïde, se trouve une quantité de liqueur, la plus grande profondeur de la liquear est de 15 pouces, les diamètres respectifs do sa surface elliptique sont 18 et 36 pouces et les diamètres correspondants de l'ellipse parallèle intermédiaire entre la surface et le fond sont de 30 et 223 pouces; quelle est la quantité de liqueur dans le vaisseau .'

Rep. (48 x 36 + 4 fois 30 x 22.5) x .7854 x 2.5 = 8694.378 pouces cubes, soit 37% gallon près.

PROBLÈME XLVI

Déterminer le volume d'un tronc de sphéroïde à bases

non parallèles. 1— (Voir les troncs du tableau.).

1. L'on obtiendra avec exactitude, comme dans le cas de la sphère, lo volume d'un onglet quelconque ADBMA do sphéroïde aplati ou allongé ou d'un sphéroïde à 3 axes, pourvu que la commune interjection DM des plans contenants ou limitatifs DAM, DBM passe dans uno direction quelconque par le centre 0 du solide dont l'onglet fait partie; et si l'arête DM de l'onglot ne passe pas par le centre 0 du sphéroïde, on n'en obtiendra pa3 uioiiïs le volume près de l'onglot proposé

(IIS) K.EC3ÎLË. Faites le volume du segment de sphéroïde à une seule hase don Ile tronc donné fait partie, faites aussi le volume de la calotte qui manque au tronc donné pour compléter le segment; la différence de ces volumes sera celui du tronc proposé.

Ex. 1. Soit à trouver le volume de la partie CDae d'un sphéroïde compris entre un plan CD passant par le centre perpendiculairement à AB et un autre plan quelconque ea non parallèle au premier.

3S.«p. Il nous faut à cet effet déterminer l'axe inconnu AB du sphéroïde dont la hauteur AO du segment CDA fait partie. Ayant mesuré une ordonnée quelconque ab et les abscisses Cfe, &D ou plutôt dD—ab, ad=bD et C/>=CD — bD, on fera (sections coniques) VC&.&D : ab :: CD : AB et on aura le vol. de CDA=4 surf. CD x l AO. L'on mesurera ensuite ae, OH parallèle à ae, oO menée du centre au point milieu o de ae (oO formant partie du diam. EF le conjugé de GH) et l'abscisse pïl de l'ordonnée ap parallèle et égale à oO ; avec ces données, Ton fera VGj>.j;>H : ap : : GH : EF ; on aura alors oF et par suite la perpendiculaire Fr, comme au par. (175, T. Ex. 3). Il reste à établir le diam. mu d'une section intermédiaire entre ae et le sommet F de la calotte acF ; or l'on aura mq ou nq moitié (1^6, T., BEM. 1.) de mn en faisant EF : GH : : Ve^F : mq. Enfin on aura le vol. demandé CDoe=(4 surf. CDx|Ao) moins (surf, ac + 4 sitrf. m»x| Fr).

2. Si le solide à estimer était le tronc KLae, l'on opérerait pour la calotte KLB comme on l'a fait pour eaF et la somme des volumes de ces calottes distraite de celui du sphéroïde entier ACBD, il resterait le vohtine du tronc proposé.

PROBLÈME XLVII

Trouver la solidité d'un paraboloïde droit ou oblique ou d'un tronc ou segment quelconque de paraboloïde compris entre bases parallèles, perpendiculaires, ou non, à l'axe du solide.

(Voir les modèles du tableau stéréométrique.)

(179) KEGJLiE. A la somme des surfaces des bases opposées,

en faisant \o produit de 4 fois la surface de sa section médiane AOBA (sorte de secteur de cercle ou d'ellipse) par la sixième partie de la longueur DM de l'onglet.

!ORPS OU SOLIDES. 143

ajoutez 4 fois la surface d'une section intermédiaire à dm

entre elles ; multipliez le tout par \ de la du corps à estimer et

le produit sera le volume demandé.

En effet, la parabole génératrice ABC &Jt^

est une courbe telle que les abscisses sont proportionnelles aux carrés des ordonnées, c'est-à-dire qu'on a toujours cd : CD

::db : DB . et Lien esl de même pour {oui autre paire OU système d'axes OU (le diamètres conj , GH qui donnent

encore G7i : GH : : fh: FIT "; donc si Cd=% CD, db sera = \ DB2et

de même si CJi~i GH, l'on aura eh = i EH ; or l'on démontre que le volume du paraboloïde vaut la moitié de sou cylindre circonscrit, c'est-à-dire, que ce vol. = suri', base Alix* CD, ou vol. FEG=surf.

ba.se EF x l Gp; mais si bd = i CD on a suri', ah = l surf. AB (puisque les sections parallèles ai, AB sont des cercles et que les figures semblables sont entre elles comme les carrés de leurs lignes homologues) et surf. AB 4- 4 surf, ah — 3 surf. AB ; donc surf. AB x £CD = 3 surf. AB x i CD=(surf. AB -1-4 surf, ab) x £ CD. De même surf, base elliptique EF — 2 surf, base elliptique semblable ef et surf. EF x i Gp=(surf. EF + 4 surf, ef) x $ Gp.

En sec»Bid lieu, Soit AB&a un segment quelconque de paraboloïde à bases parallèles, l'on démontre que le volume s'obtient en multipliant par la hauteur dD du tronc, la demi-somme des surfaces

de ses bases parallèles ; or à cause de Cd:Cq:GD:: db :qn: DB , il est clair que la surf, intermédiaire mn est moyenne arithmétique entre surf. AB et surf. ed> ; d'où il suit que surf. AB + surf, ah + 4 surf. mn=6 surf, mn : donc le vol. de AB &a=(surf. AB + surf. ab + 4 surf, mn) x i dD.

(ISO) REM. Dans le cas du paraboloïde ou du tronc de paraboloïde proprement-dit, il est clair que cette règle n'offre aucun avantage et au contraire il est plus simple d'arriver de suite au volume désiré en faisant le produit de i CD par surf. AB, ou de l Gd par surf. EF, ou de £ dD par la somme des surfaces de AB et de ab, suivant le cas ; mais c'est que dans la pratique il est rare que les solides a estimer soient parfaitement géométriques, et elles le seraient, qu'on ne le saurait pas sans un travail préliminaire qu'il vaudrait autant dévouer de suite au calcul du vol. requis d'après la règle qu'on en dorme ici ; tandis que si (13Y, 146, T.) l'on prenait pour un paraboloïde, un solide qui fut au contraire! uu segment ou tronc de sphéroïde ou d'hyperboloïde, ou qui ressemblât seulement à ces solides

144 CLEF TUJ TABLEAU.

sans pouvoir s'identifier avec aucun d'eux, la règle de ce problème

est celle qui offrirait les garanties d'une exactitude très voisine de la vérité.

JEx. 1. Quel est le volume d'un paraboloïde droit dont la hauteur est 81, et le rayon de la base 24 ?

Kep. diam. 48 x 48 x .7854 x $ 84 = 76001.5872 le vol. requis.

2. Quelle est, en gallons de 231 pouces cubes, la capacité d'ui chaudron parabolique dont la profondeur est 36 pouces et le diamètre 60 pouces '!

Uvp. 60 2x. 7854x18 -=-231 =50/893.92 pouces cubes-j-231=220 .32 ou 2201 gallons près.

3. Une voûte qui a l'air d'être parabolique, a 60 mètres de hauteur, le diamètre de sa base est 40 mènes et son diamètre intermédiaire est 28 mètres 285 millimètres ; quel est le volume de l'espace renfermé "?

Kep. (40* +-4 fois 28.285) x .7864 x 60 -h 6 = 37,699.2 mètres cubes.

4. Dans un vaisseau incliné qui peut être un paraboloïde ou un segment de sphéroïde, se trouve une quantité de liqueur dont la surface est en conséquence une ellipse ayant pour diamètres 50 et 30 pouces, la plus grande profondeur de la liqueur est de 18 pouces, et l'un des diamètres (le moindre) de la section elliptique prise au milieu de cette profondeur est de 22.5 pouces quel est le volume du contenu ?

Kep. La section intermédiaire étant semblable à la base ou surface, on aura son grand diamètre en faisant 30 50 :: 22.5:37.5 ; le volume =(50 x 30 + 4 fois 22.5 x 37.5) x .78554 x 3= 11486 pouces cubes.

5. Lame des parties composantes d'un solide à estimer, paraît être un tronc de conoïde parabolique à bases parallèles, les circonférences respectives de ses deux bases circulaires et d'une section à demi-distances entre elles, sont 182.2, 94J, 145.15 pouces et la hauteur est 48 pouces ; quel en est le volume en pieds cubes ?

Kep. Divisant chacune de ces circonférences par 3.1416 l'on obtient pour diamètres des sections respectives 58, 30 et 46.2 pouces, ce qui donne pour volume (582 + 30** +4 fois 46.22 ) .7854 = 10054.5, et 10054.5 x 48-^6 c'est-à-d. par 8, = 80,436 pouces cubes, -i- 1728 = 46.55 pieds cubes.

PROBLÈME XLVIII

Déterminer le volume d'un tronc quelconque ABEF l

de paraboloïde droit ABC, à bases non parallèles.

(Voir le Tableau.)

(1§1) REOLE. Faites, par le dernier problème, U$ volumes respectif s du paraboloïde entier ABC dont le troue fait partie, et du paraboloïde partiel ou calotte EF6 qui manque au tronc donné pour compléter le paraboloïde entier: la différence de ces solidités sera le volume demandé.

Soit ABEF (fig. du dernier problème) une section du tronc donné par un plan perpendiculaire au centre D de sa base ; prenez sur l'axe D<7 de la section une longueur quelconque Dd, mesurez DB, db et puisque (179, T.) l'on a CD:Cc7::DB : db , faites (96, div. G.) CD — cd : cd : : DB — db : db , ou ce qui est la même chose DB — db :

db : : D<7 : dC. ce qui donnera pour hauteur de la parabole génératrice (7D + fZC = DC. Maintenant, par le point milieu H de EF, menez H G parallèle à DC (car dans la parabole le centre est infiniment éloigné et tout diamètre GH, c'est-à-dire toute bissectrice GH des cordes ou doubles ordonnées parallèles EF, ef, rc, est en conséquence parallèle à Taxe CD), mesurez Hr quelconque, HE et rc et faites, comme

auparavant, rc — HE : HE : : Hr : HG ; avec HG et l'angle GHp ou GHE, l'on trouve facilement (175 T.) la hauteur perpendiculaire Gp de la calotte FGE, pour faire ensuite les volumes respectifs des conoïdes entier et partiel et leur différence, ce qui résoudra le problème.

(182) REUJ. Si le troue à estimer ABEF (Voyez la figure du prob. L et supposez que ce soit un tronc de paraboloïde) est celui d'uu paraboluide oblique ; menez entre A et F une droite quelconque B7> parallèle à FE, bissectez en h', H' ces doubles ordonnées et menez G7t' H' qui passera par le sommet G' de la calotte FEG' ; menez ensuite Ee paralèUe à AB; bissectez ces parallèles en

lé^J>

1. L'on peut aussi obtenir comme pour l'onglet do prisme de pyramide, de cône ou do cylindre, le volume près de l'onglet ABC-D, ABC-D', ACD'-D d'un conoïde parobolique droit ou incliné, et cela, absolument de la même mnnière que pour ces divers solides. (Voir le problème XXXI, etc.)

H', h et menez le diamètre G7t H qui rencontrera le sommet G du paraboloïde oblique ABG ; l'on calculera, comme auparavant, les hauteurs GP, G'p des conoïdes entier et partiel, à l'aide des angles G'/;'E, GHB et des droites G7t G 'h' dont on établira les longueurs comme il a déjà été dit, et on aura le volume du tronc - vol. ABG - vol. FEG'=surf. AB x iGP - surf. EF x -£■ G'p. Pour avoir au besoin CD, l'on mènera d'un point quelconque entre A et F une droite mon (supposez une droite m o n qui soit perpendiculaire aux parallèles G'7t', GH et dont o soit le point milieu) perpendiculaire à GH ou à G'H', la perpendiculaire CD, où mo=on sera l'axe voulu.

PROBLÈME XLIX

Trouver le volume d'un hyperboloïde droit ou oblique,

ou d'un tronc quelconque d'hyperboloïde, compris

entre des bases parallèles, perpendiculaires,

ou non, à l'axe de révolution.

(Voir le tableau.)

(1S3) REGLE. A la somme des surfaces des hases opposées da solide, ajoutez A fois la surface d'une section à demi-distance entre elles, multiplier le tout par £ de la hauteur et le produit sera le vol. voulu.

Dans le cas de l'kyperboloïde droit q

ABC ou du tronc AB ba d'hyperboloïde

droit à bases parallèles, cette règle est,

en d'autres termes, celle même qu'en- "ÙJ^

seigne le "calcul dif. et int." et puis- y^.

que le diani. intermédiaire est ici es- *¥■

sentiel au calcul à faire, ïl est à démon- /

trer comment on peut l'obtenir quand J^-

il ne se trouve pas au nombre des données nécessaires. L'hyperbole est telle que son centre O est en dehors de l'enceinte de la courbe, et comme dans le cercle, l'ellipse et la parabole, de même dans l'hyperbole tout diamètre OC, OG prolongé bissecte la corde Ou double ordonnée AB, ab, — EF, ef parallèle à la tangente tg, t'a' menée par le point C ou G où tel diamètre rencontre la courbe. Il suit de là que pour déterminer le centre de l'hyperbole, il n'y a qu'à mener et à bissecter en D,c7,— ll,h, deux paires de parallèles quelconques AB, ab, — EF, ef, et à prolonger en dehors de la figure les droites Tiïl, Wi reliant les points de section, jusqu'à leur rencontre en O qui sera le centre voulu ; ou, si la direction OD de l'axe est connue, l'intersection de cet axe par la droite HA prolongée

<i< terminera Le centre voulu. Maintenant, parla nature <lc l'hyper-

bole, l'on démontre en "sections coniques" que 20C.CD + CD:2 OC.Cd + ('«/":: Dr»" : M* , ou que . 20G.GII + GR: 20G.G7i + Gh

: ETE : he ', voila donc comment i btient le diam. intermédiaire

ab ou efeu prenant Cd=àrD ou Gh=hH' suivant le cas.

Ex. i. La hauteur CD d'un hyperboloïde droit ABC est 10 Homes, et Al) le rayon de sa base est 12 ponces, le diamètre intermédiaire ab est 15.8745 pouces: quel est le volume?

Rep. (242 + 4 fois 15.87453) * 10-^6 = 2073.454691 pouces cubes.

3. Un vaisseau qui paraît être un conoïde hyperbolique droit, a pour hauteur ou profondeur 50 pouces, pour diam. sup. 104 pouces et pour diam. intermédiaire 68 pouces : quelle en est la capacité en gallons à vin ?

Rep. 104 x .7854 =8494.8864= surf, de la base supérieure, 4 fois 68" x .7854=68" x .3.1416 = 14526.7584, la somme de ces surfaces est 23021.6448, cette somme x £ 50 ou, ce qui est la même chose x 50 et le produite 6=191847.04 pouces cubes, •*- 231=8301 gallons.

3. Combien y a-t-il de mètres cubes d'espace sous une voûte qui a l'air d'être hyperbolique et dont la .hauteur est de 15 mètres, le diamètre de la base 32 mètres et le diam. intermédiaire 20 mètres ?

Rep. 5152.224 mètres cubes.

4. Une chaudière en forme d'hyperboloïde, contient une certaine quantité de liqueur; l'on demande combien il faudra encore de gallons pour la remplir, la partie du vaisseau à combler ayant par conséquent la forme d'un tronc d'hyperboloïde à bases parallèles ; les diamètres de ces bases sont 24 et 32 pouces, le diam. inter. 28.1708 et la hauteur du tronc 20 pouces ?

Rep. (24+322 + 4 fois 28.1708 2) x .7854 x 20-^6 = 12499* pouces cubes ou 54.108 gallons, ou 7.2334 pieds cubes.

5. L'une des parties composantes d'un cul-de-lampe ou autr« objet à estimer, présente l'apparence d'un tronc d'hyperboloïde dont la hauteur est 12 pouces, le petit diam. 6 pouces, le grand diam. 10 pouces et le diam. in tenu. 8$ pouces : quel en est le volume ?

Rep. 667.59 pouces cubes.

(1S4) REM. Pour l'hyperboloïde oblique ou le segment d'un hyperboloïde droit par un plan non perpendiculaire à Taxe, le " calcul " enseigne à obtenir le volume en faisant la proportion suivante: GH+2GO :: $ GH + 2GO: :| cylindroïde de même base et hauteur : volume requis.

6. Soit à cuber un hyperboloïde EFG dont le grand axe EF de la base elliptique mesure 78 uuités et son diamètre conjugé 69.2, soit OG-41.7, GH=19.8, Gp=15.8; l'on a vu que pour trouver ef il y a àfaire2G0.GH + GH2: 2GO.G7t + G7^ : :HE2 : lie*, ou (ce qui (73,

Ax. G.) est la môme cliose) :: EF : ef , c'est-à-dire, eu chiffres, 2043 .36 : 923.67 : : 6084 : 2750.18 =e/ d'où ef= 52.44217 ; maintenant la section parallèle ef étant une ellipse semblable àEF, on aura surf, efen faisant EF* : e/ :: surf. EF : surf, ef ou 6084 : 2750.18 :: 4239.275: 1916.3= surf, ef; enfin (surf. EF + 4 surf, ef) x * &p = volume EFG, ou (4239.275 + 4 fois 1916.3) x 15.8 ct-f- 6 = 31,348.4508 unités de volume dans le solide à estimer. Pour preuve, la règle donnée dans la remarque qui précède cet exemple, donne 103.2:96.6: : 33490.2723 : 31,348.4525, la différence sisAWsaa ou -00000005 étant due aux décimales négligées.

PROBLÈME L

Déterminer le volume d'un tronc quelconque ABEP

d'hyperboloïde à bases AB, EF non parallèles. 1

(Voir le tableau^)

(185) REOIiE. Faites séparément les volumes respectifs de Vlvyperbole entier ABG et de Vhyperboloïde partiel EFG, et prenez la différence de ces volumes qui sera la solidité voulue.

Menez Bb parallèle à EF, Ee parallèle ^

à AB, bissectez ces deux paires de parai- jï ■

lèles et par les points de bissection menez ^içL

les droites HO, H'O dont l'intersection en /^!w\

O sera le centre de la courbe génératrice. / i,\j\J^\ .

Par les points d'intersection G, G' menez p/^' f 1^ -- - A les perpendiculaires GP, Gr'p aux bases AB, X; \/b \

EF et le volume demandé sera (surf. AB j- ]$<;" / "*""~"\e

4 surf, section intermédiaire entre AB et *rv^--^ \

G)x£GP, moins (surf. EF + 4 surf. sect. ^^^^^\

inter. entre EF et G') x $ G'p.

REM. I. Pour fixer la direction de l'axe CD de révolution : du centre O avec un rayon quelconque, intersectez les côtés opposés de

1. L'on peut aussi obtenir comme pour l'onglet de prisme, do pyramide, de cône ou de cylindre, lo volume près de l'onglet ABC-D, ABC-D', ACD'-D d'un conoïde hyperbolique droit ou incliné, et cela, absolument de la même manière que pour ces divers solides. (Voir le problème XXXI, etc.)

la courbe, joignez ces intersections par une ligne droite, <•( OP menée perpendiculaire du centre <> sur celle dernière sera la direction voulue.

REIVI. II. Pour trouver les points G et G', c.-à-d. les facteurs GP, (i/'et les autres éléments nécessaires au calcul des surf, des sections intermédiaires et des volumes des solides entier et partiel, on a vu (183 T.) que 20G.Q11 + G11 :20G.Gh + Gh : : AB%E2, ce qui donne (96. div. «.) (20G.GH+GH2) - (20G.GA + G7&2):20G1 .<:// | (!// ::AB — éE : e E . Dans cette proportion, on connaît (20G .GH + GHa)-(20G.G7t + G7O = 2H7<.7;0 + Wi (comme une simple

esquisse de 20G.G7* + Gh superposée à 20G.GH + GH le fait voir de

suite) ; ou connaît aussi AB — eE et eE ; c'est-à-dire, 3 termes pour trouver le 4ième 20G.G7t + Gh; maintenant (339 G.) ItO - (20G.G7& + G7t2)=G02,VGO==GO,HO-GO=GHetàl'aide de GH et de l'angle GHB on détermine GP, etc., etc.

PROBLÈME II

Déterminer le volume près, d'un fuseau quelconque, soit circulaire, elliptique, parabolique ou hyperbolique.

(186) REGLE. Divisez le demi-fuseau (ACD ou BCD) en deux sections ou tronches parallèles (AEF, ECDF) d'épaisseur ou hauteur (AL, LK) égale ou à peu près égale, par des plans perpendiculaires à Vaxe de révolution (AB) de la courbe génératrice (ACB ou, ADB) ; faites séparément le volume de chacune de ces tranches, en ajoutant à la somme des surfaces de ses bases parallèles ou opposées, 4 fois la surface d'une section (e/, cd) également éloignée de ces bases, etmulUplies le tout par % de la hauteur de la tranche; faites ensuite la somme des volumes clés deux tranches composantes et doublez le résultat pour le volume près, du fusea u proposé.

<187) Ex. 1. On demande le vol.

près d'un fuseau circulaire (c'-à-d.

engendré par la révolution d'un arc de cercle) dont la longueur AB est 48, et le diam. CD 36 1

Rep. Si les diamètres intermédiaires EF, cf, cd ne sont pas donnés ou qu'on ne puisse les obtenir directement par le niesurage du s'olide à estimer, il sera facile de les déterminer par le calcul ;

ainsi on aura tout d'abord le rayon oC de l'arc ACB par la méthode du par. (54© G.): 24 — 18=32 =le reste du diam. dont CK fait partie, le diarn. = 32 + 18 = 50 et le rayon par conséquent =25. Maintenant on aura op, oq et or respectivement égaux aux racines carrées des différences entre le carré du rayon et les carrés de ep, Eq et er, ce qui est évident; or, si l'on suppose AL=KL on aura A» = «L= Lm=mK, ou cr—6, Eq=V2, ep=lS, op" — oe - ep =625-324 = 301 dont la V est 17.349352 de laquelle retranchant oK=7=25-18 il reste Kp ou en= 10.349352 et par conséquent e/ou 2ch —20.698704 ou soit 20.6987, car, comme la différence de volume d'après cette règle est toujours en plus, on peut négliger au moins les dernières décimales; de la même manière on trouve diam. EF=29.863 et cd= 34.5386.

Le volume de EC=(DC2+4 cd + EF 2) x .7854 x i KL ou par 2 = 10931.82, le volume de e/A=(EF3 +4f/)x .7854 x 2=4092.72, ces volumes ajoutés l'un à l'autre et le tout x 2, donne pour volume du fuseau entier 30049 unités cubiques.

REM. Le volume exact du fuseau du dernier exemple est 29916.6714, c.-à-d. que le volume rapproché excède de ^|ff^ ou de .0044 (moins d'un demi-centième) le volume réel, ce qui équivaut d'ordinaire dans la pratique à une exactitude parfaite ou suffisante au moins, eu égard an travail additionnel qu'il faut donner au calcul d'après les règles ordinaires; et d'ailleurs comme on l'a déjà dit (1137 G, 140 T.) on peut avec la règle ici donnée porter la précision à tel degré qu'on voudra par une subdivision du demi-fuseau en trances plus nombreuses et dont les côtés s'approchent davantage de la ligne droite.

(188) Ex. 3. Trouver le volume près, d'un fuseau elliptique (c'est-à-dire engendré par la révolution d'un arc L....L ......

d'ellipse autour d'une corde per- ™- ■* ■* g 0 JÏ"

pendieulaire à l'un de ses axes) dont la longueur AB est 80 décimètres, le plus grand diam. CD 24 décimètres et un diam. EF également éloigné de A et CD 18.99094 décimètres ?

Rep. Soit AECGB la courbe génératrice ; pour en trouver le centre, menez (S76 T, R. I.) deux cordes parallèles quelconques BC, ab et par les points milieux de ces cordes menez une droite GO quiintersectra CD, prolongé s'il le faut, en O centre de l'ellipse. Soit maintenant CO = 30, l'on a un diain. de l'ellipse =2CO, une ordonnée AK ou KB=i AB=40, une abscisse CK ou segment du

TOISÉ DES CORPS OU SOLIDES. 15l

diam. = 12 et par conséquent l'autre segment=2CO- CKs=60 — 12= 48, pour trouver (17«tf, T. K. I.) l'autre diamètre MX de L'ellipse en taisant , CKx (2< <>- CK):KB::2C0: MX ou V12x48 :40::60: L00 = MX, MX étant Le moindre i»u le plus grand diam. de L'ellipse, suivant que le rectangle «les segments est plus grand ou moindre que Le carré «le L'ordonnée <>u perpendiculaire Kl».

Pour avoir e/', on fera d'abod la proportion MX :2C0 ou (ce qui est la même chose) MO : CO : : VMy.yN : qe ou 50 : 30 : : V20 x 80 : cq—2i et comme «g=KO=CO — CK=30- 12=18, on aura ew=24— 18 =^6 et diam. ef=2en 12; on trouvera de même es =29.39412, es— ms= 1 L.39412=c»i et 2cm=diam. cd=22.78824. Si EF n'était pas donné on le déterminerait tout de même.

Diam. EF 18.990942= 360.6558 Diam. EF 18.99094*= 360.6558

4 Diam. cd 22.788242 =2077.2155 4 Diam. ef 12.000003= 576.0000

Diam. CD 24.00000" = 576.0000

Somme = 936.6558 x .7844

Somme = 3013.8713

x ./&j4 Produit = 735.649456

Produit =2307.0935 * 40

-6) 94683.74 Quotient = 4904.32976

Quotient = 15780.62 vol. Ji^A

= 2 vol. ECDF

vol. 2 FC =15780.62 vol. 2 EFA= 4904.33

vol. AB = 20684.95

La somme 20,684.95 de ces volumes est celui du fuseau proposé et ne diffère que de 57 unités en plus, ou du quart de l pour cent, du vol. exact 20628.34 dont le calcul par les règles ordinaires exige un travail bien plus cou sidéral >le, et offre par suite de la diversité des opérations à faire (telles que détaillées dans un énoncé de 16 lignes de texte) beaucoup plus d'occasions de se tromper, comme ("est d'ailleurs toujours le cas, plus ou moins, quand le procédé à suivre n'est pas tellement simple et direct qu'on puisse sans effort se rendre compte, en poursuivant les détails du calcul, de la raison d'être de chacun d'eux. Voici l'énoncé dont il s'agit.

1°. De trois faix le carré du diamètre au centre (CD) soustrayez quatre fois le carréd/u diamètre (EF) entre le milieu et Vextrémité: aussi,

de quatre fois ce dernier diamètre, retranche: trois foi* le diamètre au

centre ; et un quart du quotient provenant de la division de la première différence par la dernière, donnera la distance centrale (OK).

2°. Trouves par la méthode du par. (176, T. JR.I.) Vaxe de V ellipse et par la méthode du par. (61, T.) la surface du segment générateur (ACB).

3°. Divise: trois fois la surface ainsi trouvée, par lalongueur (AB) du fuseau, et soustrayez du quotient le diamètre au centre; multipliez alors le reste par (quatre fois la distance centrale, et, retranches ce produit du carré du diamètre au centre ; ce dernier reste multiplié par le tiers de la longueur du fuseau et le produit de nouveau par 1.57079, donnera le volume du fuseau.

Le calcul à faire d'après cet énoncé est d'au moins deux à trois pages, et cela sans même y comprendre les détails des multiplications, divisions etc. ; taudis que tout ce qui est essentiel à renoncé de la règle ici donnée se résume eu ces mots: Multiplies la sixième partie de la hauteur de chacune des tranches composantes par la somme des surfaces de ses bases plus quatre fois ht surface d'une section et demidistance entre elles; la somme des volumes ainsi obtenus sera le volume du fuseau à très près; et comme, dans la pratique, l'on obtient d'ordinaire les diamètres nécessaires ef EF, cd, CD par un înesurage direct de ces diamètres ou de leurs circonférences respectives, tout le calcul à faire se réduit, sauf les multiplications, à celui que l'on vient d'indiquer au bas de la dernière page.

(189) Ex. 3. Trouver le C

voS. «l'un fuseuii parabolique, ~^^X-

(cYst -à-dire engendré par la révo- Jf*""* — 4"

lution d'une parabole ACB ou ADB &A \n & — iz

autour d'une double ordonnée AKB ^£ i

perpendiculaire à l'axe CK) dont la E'^^-l.

longueur AB est 60 et le plus grand D diam. CD 34?

Hep. Dans le cas de la parabole et des distances égales An, nE, Lui, mK, les diamètres intermédiaires ef, EF, cd, s'ils ne sont point donnés, sont des plus aisés à déterminer, puisque comme on l'a vu (179, T.) les abscisses ou segments C^>, Gq, Cr, de l'axe sont comme les carrés des ordonnées correspondantes cjm, Eq, Cr et que quand ces ordonnées sont des multiples ou sous-multiples ('-aux l'une de Lautre, les segments ou abscisses sont aussi de simples multiples ou sous-multiples de Taxe entier CK : or (215 ©.) à cause de Eg=

iAKon aura Eq = :}AK et par conséquent Cq=:h CK, on aura demême Cr=i C^ ou T\ CK et Cp = fa CK puisque ep : AK : : 3 : 4 et

2 -2 que 3 : 1 ::!>: 1(! ; l'on trouvera donc (le cette manière Cq= 17-=- *

=4.25, (Y 4.25 -:- 4 ou 17 -f- 16 = 1*0625, Cp=&17 = i + ^=8.5 + 1.0625=9.5625, d'où L'on obtient diam. e/=2pK= 14.875, EF=2K#= 25.5, cd=2Kr=31.875 : maintenant vol. AEF=(surf. EF i- 4 .surf, ef) x l AL = (EF i 4 ef) x .7854 x J. AL = (25.52 + 4 fois 14.8752) x .7854 < 2i ou de suite par 5 (puisqu'il y a deux conoïdes ou segments égaux dans le fuseau à estimer) =6033.1 unités cubiques ; le volume du tronc FC=(342 +4 fois 31.875 ' i 25.5 ') x .7854 x 2^ ou par 5 pour avoir 2FC=23052.7 unités cubiques ; la somme 29085.8 de ces volumes est la solidité du fuseau proposé ; elle ne diffère de la solidité exact 2!»0ô:?.4 que de 32 unités, c'est-à-dire, de ^ihïW ou .0011 soit A de 1 pour cent eu plus.

REM. Quelque compliquées que soieut les règles ordinaires pour le volume des fuseaux circulaire et elliptique, la règle pour le fuseau parabolique est au contraire fort simple ; elle consiste seulement à multiplier le carré du diamètre central par la longueur du fuseau et le produit de nouveau par .418879 ( = 3.14159-=-7£) • ruais il y a toujours ceci à considérer que si le fuseau n'était pas proprement dit parabolique, cette dernière règle pourrait être assez loin de fournir un volume exact, taudis que par la règle générale qu'on trouve ici pour tous les solides élémentaires, on n'a pas à s'occuper tout d'abord de la nature du solide à estimer, si ce n'est toutefois quand il y a lieu de déterminer par le calcul les diamètres intermédiaires dont on a besoin.

(19©) Ex. 4. Un fuseau ABCD qui a l'apparence d'être Hyperbolique (c'est-àdire, engendré par la révolution d'une hyperbole ACB ou ADB, autour d'une corde ou double ordonnée AKB perpendiculaire à son axe CK ou KD) et dont le plus grand diamètre CD =71 pouces, mesure 106 pouces en longueur AB, et ses diamètres intermédiaires pris en 4 endroits m, L, n, équidistants l'un de l'autre et chaque distance égale au quart de la demi-longueur AK du fuseau, sont respectivement e/=26.8, EF=49, cd=65A : quel en est le volume ?

Rep. (CD2 + 4 cd + EF2) x .7854 x i LK et (EF2 + 4 ef) x .7854 x i AL, ou ce qui est la même chose, puisque AL=LK, vol. - (CD2 + 4 cd +2EF ' + 4 ef) x .7854 x $ LK ou AL, ou par i LK ou AL pour avoir de suite le volume du fuseau entier = (71 + 4 fois

65.4 x2 fois 49 + 4 fois 26.8 ) x .7854x53-^^206,914 pouces cubes ou 119.742 pieds cubes.

Ponr trouver Op ou Qp et par suite j>K=CK— Cp==jew==$ diam. interm. ef, on a d'abord AR2 : &p: : 20C.CR + CR2; 20C.Çp + Cj>,2 puis, comme on l'a dit (REM. II.) (20C.CR + CR2) - (20C.Cp + Cp2)=2Rp.i>0 + Rj>2; or, il est clair (339, G.) que 2Rp-pO + Rp2 + p02=R02j d'où, jpO =R02 - (2Kp.i>0 + r/)ouj>02 = RO2 -

(20C.CR + CR2 - 20C.Cj> + Cp*) etOp==^Qp2. On aura donc de même qo en trouvant d'abord 20C.Cq+Cq =(20C.CR + CR )xEg etenex-