AR

trayant ensuite la racine carrée de la différence ou du reste RO —

(20C.CR + CR2 - 20C.C2 + Cg2) puis il viendra Or==VKOa - (20C-

CR + CR2 — 20C.Cr + Cr2), et par suite les autres diamètres nécessaires EF, cd. On a déjà fait voir que pour trouver le centre 0, et par conséquent OC ou OR et il n'y a qu'à mener et à bissecter deux cordes parallèles quelconques cB, Cb de la coiarbe génératrice pour relier ensuite ces points de bissection par une droite dont le prolongement intersectera l'axe (prolongé s'il le faut) de la courbe en un point 0 qui sera le centre voulu.

(191) REM, Si l'on a dévoué à l'étude du fuseau un espace un peu considérable, ce n'est pas que ce solide proprement-dit s'offre très souvent à l'estimation du mesureur ; mais c'est afin d'en venir à la considération du tronc de fuseau qui fait le sujet du problème suivant et qui se présente tous les jours sous les mille et une formes et dimensions variées de fûts et futailles, barils et barriques, tonnes, boucaults, poinçons, quarts, etc., comme on en fait usage pour contenir et transporter le tabac, le sucre, la fleur, le lard, l'huile, la mélasse, la bière, l'eau-de-vie, les liqueurs en général et mille autres substances capables de s'adapter à la forme de ces vaisseaux.

PROBLÈME LU

Déterminer le volume près du tronc central d'un fuseau quelconque, c'est-à-dire d'un tronc de fuseau dont les bases opposées et parallèles EF, GH sont également éloignées d'un plan CD parallèle aux bases et passant perpendiculairement par le centre O de l'axe du fuseau dont le tronc fait partie.

(192) RECLE. A la surface de l'une EF des deux bases égales, ajoutez celle d'une section parallèle CB prise au centre du tronc et 4 fois la surface d'une section parallèle intermédiaire cd également éloignée du

tentre o et de la base A, et multipliez le tout par £ de la hauteur, longueur ou épaisseur du tronc; le résultat sera le volume demandé.

RE7I. H est à peine nécessaire de dire que pour obtenir par le calcul le diamètre intermédiaire cd, on a Cp égal à la demiditlérence entre les diamètres CD, EF et qu'on trouve ensuite Cg et par suite cd = CD — 2Cç, de la même manière que dans les divers cas du dernier problème. Si c'est une futaille dont on a à estimer la capacité on en obtiendra le diamètre intérieur CD en introduisant parla bonde une échelle de pouces ou d'autres parties égales. On aura le diam. intermédiaire cd en mesurant la distance ac entre la futaille et une tringle ou règle recteeligne eg tangente en C, pour faire ensuite cd = CD — 2ac. De la longueur entière mesurée en dehors, on distraira ensuite la somme des épaisseurs des deux fonds, pour la longueur intérieure ou hauteur à entrer dans le calcul. Pour avoir eg tangente en C, il est clair qu'on n'aura qu'à voir à ce que eE — #0 ou Ae = Bg ; enfin, eg longueur extérieure de la futaille serait la distance interceptée sur la droite eg par deux autres droites Hg, Fe appuyant sur les fonds parallèles de manière à rencontrer eg. L'on arriverait encore (31, G.) aux surfaces voulues des sections respectives CD, cd EF en mesurant à l'extérieur de la futaille les circonférences de ces sections dont il y aurait à distraire la double épaisseur des douves multipliée par 3.1416 ou par 3}.

Ex. 1. Quel est le volume du tronc central d'un fuseau circulaire dont la longueur est 40 pouces, le plus grand diam. 36, le plus petit 16, et le diam. intermédiaire 31.826 pouces ?

Rep. (surf. CD + 4 surf cd + surf. EF) x £40=(362+4 fois 31.8263

+ 16 ) x .7854 x 40-f-6 = 29,340 pouces cubes qui n'excède que de .0028 ou d'un peu plus que le quart de 1 pour cent le volume exact 29,257.3 pouces cubes — 126f gallons près.

2. La longueur d'un tronc de fuseau circulaire est 3 pieds 4 pouces, le diamètre au centre 2 pieds 8 pouces, le diam. extrême 2 pieds et le diam. intermédiaire 30.0588 ; quel en est le volume ?

Rep. 27,301 pouces cubes, contre 27,287| pouces cubes le volume exact, ou un excédant de .0005 ou de ^ de 1 pour cent,

3. On demande la capacité d'un vaisseau en forme de tronc de fuseau circulaire, la longueur 50 pouces, les moindre et le plus grand diamètres 25 et 35 pouces et le diam. interm. 32.574 ?

Rep. 39,887 pouces cubes -M728= 23.083 pieds cubes, contre

39,782 pouces cubes ou 23.022 pieds cubes, soit un excédant de .0026 ou du quart près de 1 pour cent.

4. La zone centrale d'un fuseau circulaire mesure 3 pieds en longueur, les diamètres extrêmes sont 2 pieds et 16 pouces et le diam. intérim calculé est 22.0722 : quelle en est la solidité 1

Rep. 13,104 pouces cubes ou 7.58327 pieds cubes, le volume exact d'après les règles ordinaires étant 13.090.4 pouces cubes ou 7,57546 pied cubes, soit une erreur en plus de .00103 ou ^ de 1 pour ent.

5. Quelle est la capacité d'un boucault dont la longueur es de 5 pieds, les diamètres extrêmes 50 et 30 pouces et le diam. interm. 45.394 ?

Rep. 91,439.89 pouces cubes, contre 91,302.75 le vol. exact, la différence en plus étant de .0015 ou de £ de 1 pour cent.

6. Une barrique qui paraît former partie d'un fuseau ellipti<iue a 28 pouces en longueur, son plus grand diam. est de 24 pouces, le diam. à la tête 21.6 et le diam. interm. 23.40909 pouces: quelle en est la capacité en gallons à vin de 231 pouces cubes au gallon ?

Rep. (242 + 21.63+4fois 23.40909 ) x .7854x28^6 = 11,855.2 pouces cubes, contre 11,854.75 le vol. exact, l'excédant n'étant dans ce cas que de .000005 ce qui montre que la barrique proposée est à très près un tronc de sphéroïde, la règle donnant alors comme on l'a vu (176, T.) le volume exact. La capacité demandée en gallons est 51.316.

1. Combien de gallons contiendra une tonne de courbure elliptique dont le grand diam. est 32 pouces, le petit diam. 24 pouces, le diam à 10 pouces de la tête 30.15756 pouces et la longueur 40 pouces ?

Rep. 27,425.7 pouces cubes ou (-h 231) 118.726, soit 118} gallons près ; la capacité exacte est 27, 419.6 pouces cubes, la différence en plus n'étant que de 6 pouces cubes ou d'un 40ème de gallon.

S. La zone centrale d'un fuseau parabolique est de 36 pouces en longueur, son diamètre au centre est aussi de 36 pouces, celui de la tête 20 pouces et le diam. interm. 32 pouces ; quel en est le contenu solide en pieds cubes ?

Rep. 27,294 pouces cubes, contre 27.233.9 vol. exact, ou un excédant de .0022; soit une erreur en plus de \ de 1 pour cent. En pieds cubes le volume est 15.795 contre 15.76.

9. Déterminer la capacité d'une tonne dont la longueur est de 40 pouces, les grand et petit diamètres 32 et 24 pouces et le diamètre intermédiaire 30 pouces ?

Rep. (322 + 24a +4 fois 30* ) x . 78.1-1 x 40-^6=^ 27.-J-J7.2 pouces cubes ou 117.87 gallons près ; le volume exact est 27,210.5 pouces cubes, suit une erreur de .00062 on ,'(; de 1 pour cent, équivalent ù XV «le gallon ou un peu plus de 1 septier.

10. Combien y a-t-il de pieds cubes dans un boucault dont le diam. au centre est 5 pieds, à la tête '■'> pieds, son diamètre intermédiaire 4.5 pieds et sa Longueur 7 pieds ?

Rep. 105.3745, contre 105.19124 le vol. exact, ou un excédant de ^ de 1 pour cent.

11. Combien pourra-t-on faire entrer de gallons de sel dans un baril vide de fleur dont la hauteur est 25 pouces, le diam. inf. ou sup. 17 pouces, le plus grand diam. 20 pouces et le diam. interm. entre le fond et le centre 19.3 pouces .'

Rep. (172 + 20 2 + 4 fois 19.32) ou 2179 x .7854 x 25 -^ 6 = 7130 pouces cubes, divisant par 2.'!1 on a 30 gallons 1 pot et 3 chopines près ou (4-233!)) 3 ^ minot près.

12. On a trois variétés de futailles dans lesquelles les diamètres extrêmes sont 24 et 32 pouces, dans l'une le diam. interm. est 30.2 pouces, clans une autre ce diam. mesure 30 pouces et dans la troisième 29.2 pouces, la longueur est 42 pouces, quel est le contenu de chaque futaille en gallons impériaux de 277.274 pouces cubes au gallon ?

Rep. (21% 32 + 4 fois 30.2 ] x .7854 x 42-=-6 -f- 277.274 = 104.06, contre 104, dif.=^ gallon.

(24 2 + 322 + 4 fois30 ) x .7854 x 42 -^ 6 -^ 277.274 = 103.106, contre 103, dif.=^j gallon.

(24 2 + 322 + 4 fois 29.2 2) x .7854 x 42 -H- 6 ~ 277.274 = 99.35 contre 99.3, dif.=^ gallon.

PROBLÈME LUI

Trouver le volume près, d'un tronc de fuseau quelconque

EFHG ou cdGH, à bases parallèles perpendiculaires

à l'axe du fuseau. (Voir le tableau.)

(193) REGLE. Faites séparément les volumes de chacune des tranches EFDC, GHDC situées de côtés opposés du centre ou plus grand diam. CI) du tronc donne, en ajoutant à la somme des hases CD, EF

CD, GH de chacune d'elles, quatre/ois la sur/, d'une section intermédiaire ef, cd, et multiplies ces sommes par un sixième de la hauteur des tranches respectives ; la somme de ces volumes sera le volume demande.

REM. Il est clair que si le tronc est latéral comme cdlIGc ou qu'il ne s'étende pas au-delà du centre CD, on n'aura qu'une seule opération à faire pour en déterminer le volume — (surf, cil + surf. GH + 4 surf, gh) x \ oB.

Ex. 1. L'une des parties composantes d'un cul-de-lampe présente la forme d'un tronc latéral de fuseau. Ses trois diamètres sont 24, 30 et 32 pouces et sa hauteur 21 pouces : quel en est le volume.

Rep. (243 + 323 + 4 fois 30 3) x .7854 x 21 -^-6=14.294 pouces cubes ou 8.272 pieds cubes.

2. Une tonne placée debout et dont la hauteur est de 42 pouces et le diam. sup. 24 pouces, contient du vin jusqu'aux trois quarts de sa hauteur ; la capacité entière de la tonne est de 104 gallons impériaux (277.274 pouces cubes au gallon) combien reste-t-il de gallons dans la tonne 1

Rep. Ici, puisque le volume entier du tronc de fuseau à estimer est connue, alors, au lieu de faire séparément les volumes des 2 tranches composantes du tronc pour en prendre la somme, on n'aura qu'à cuber la partie vide de la tonne pour en soustraire ensuite le volume de celui de la tonne entière. Le diam. de la tonne à la hauteur où se trouve le vin est de 30.2 pouces et le diam. intermédiaire entre ce dernier et la tête est de 27.6. Donc le vol. du tronc à déduire est (242 + 4 fois 27.6 2 + 402 ) x .7854 x J 42 -f- 6 =6233 pouces cubes -f- 277.274=22^. gallons près, il reste donc dans la tonne 104-22i=81£ gallons.

PROBLÈME LIV

Déterminer le volume près d'un segment de fuseau quelconque (Adc, aCb Aeb) à une seule base parallèle ou non à l'axe (AB) du fuseau ou à son diamètre (CD) ; ou le volume d'un tronc (ABba, dcbe, AbBf) à bases parallèles inclinées ou non aux axes du solide ; ou encore le volume d'un onglet quelconque ABC — D,ABC — D', AEC— D de fuseau.

194. IÎEGLE. A la somme des surfaces des bases parallèles ou opposées (s'il n'y a qu'une base, on considère Vautre = o) du tronc, ajoutez 4 fois la surface d'une section également éloignée de ces bases et

multiplie: le tout par un sixième de la hauteur du segment, tronc ou onglet suivant le cas.

REUI. Si Le tronc donné conl ient Le rentre 0 du fuseau dont il l'ait partie, menez par le centre une section gOh parallèle airs bases et calculez séparément chacune des paities composantes (lu tronc pour en taire ensuite la somme; mais si les bases parallèles A/»,/B sont à distances égales du centre 0, alors il est clair qu'on n'aura qu'une seule opération à l'aire, pour doubler ensuite le résultat.

PROBLÈME LV

Déterminer le volume près, d'un tronc du fuseau quelconque EFHG- à bases non parallèles.

(Voir le Tableau.)

(195.) REGETE. 1. Décomposez le tronc EFHG par un plan imaginaire parallèle à Vune ou l'autre GH, EF de ses bases et passant parle point F ou H (suivant le cas) le plus rapproché dï son autre base, en un tronc de fuseau à bases parallèles et un onglet, pour en faire se parement les volumes et les ajouter ensemble.

(196) REGLE 11. Faites le dernier problème les volumes respectifs des deux segments de fuseau à une seide base GHB, EFB dont le tronc donné fait partie ; la différence de ces volumes sera le volume demandé.

REM. Une tonue ou futaille inclinée contenant de la liqueur et qu'on ne voudrait pas déranger pour en faciliter le jaugeage présentera quelquefois à l'estimation du mesureur un volume de cette sorte.

PROBLEME LVI

Évaluer le contenu près d'une tonne ou futaille couchée et qui n'est qu'en partie pleine (Voirie tableau.)

(197) REGLE I. Après avoir obtenu tes cordes et sinus-verses des segments de cercle qui forment les bases opposées /F/, hH.h du tronc FH d évaluer, multipliez la somme de ces bases plus 4 fais la surface d'une section centrale parallèle d ces bases, par J hauteur ou longueur AB de la futaille, ou pour être encore plus voisin du contenu exact, opérez surla moitié seulement du tronc pour doubler ensuite le résultat.

(ISS) REGLE II. Sila liqueur dans la tonne n'atteint pas les têtes oufondslLF, G H duvaisseau, comme en eg ou FH, on en estimera le eontenu par la méthode de l'avant dernier problème, et de même si la liqueur dépasse ces fonds, comme en EG ou ab, on estimera de la même manière le segment ECG ou aCb, pour diminuer d'autant le contenu de la tonne entière. Si la surface de la liqueur en AB, axe de la tonne, il est clair qu'on aura le contenu AFDHB= CEFD=2 FG. Si au contraire la surface est en cd ou en fh, Von estimera d 'abord par la méthode de l'avant dernier problème, le tronc de fuseau r=qDpr ou mnD (suivant le cas) dont le segment correspondant de la tonne fait partie, pour en soustraire ensuite les onglets ou sortes de pyramides hn/iH, fmfF ou les solides crpF, dsqQ, composés des demiconoïdes AFp, BHç et des troncs rcAp, sdBq dont on aura assez correctement les volumes par la règle générale ds la somme des bases parallèles pA, rc\- quatre fois la section intermédiaire multipliée par un sixième de la hauteur.

PROBLÈME LVII

Déterminer le volume près, d'un eonoïde convexe

ou eoneaveAa' Cb'B, AaCbB ou d'un segment de

fuseau terminé par une base convexe ou

sphérique ADB. (Voir le Tableau.)

(1S9) REGLE I. Décomposez le solide par un plan passant par AB en un segment de fuseau ou de eonoïde ACB et une calotte ou segment de sphère ADB que vous évaluerez séparément par les règles déjà données pour prendre ensuite la somme des volumes composants.

(20©) REGLE II. A la surface de la base convexe (ADB) ajoutez 4 fois celle d'une section convexe parallèle a'db', adb également éloignée de la base et du sommet et multipliez la somme par un sixième de la hauteur CD du solide.

Il suffit de ce que l'on a déjà dit|(10'î'1?' G., 137, T.) à l'endroit du secteur sphérique et du eonoïde ordinaire, pour faire comprendre de suite que l'on doive arriver par cette règle à une détermination assez correcte du volume du solide proposé.

REM. Si la hauteur CD était inégale à AC ou BC, c'est-à-dire, plus grande ou moindre que AC ou BC, il y

aurait évidemmenl à augmenter le vol. duconoïde proposé, ou à le diminuer de la différence des volumes des calottes respectives ADB ayant pour rayons CD=AC ou BC et CD < ou > AC ou BC, suivant Le cas.

]>r même, si la base du conoïde était concave, on ferait le vol. du conoïde correspondant à base piano, pour en soustraire ensuite le vol. de la calotte évidée.

(201) RKCJLE II. Faites d'abord le volume du secteur sphérique composant ADB-C,jpms le volume du tronc de prisme continu dont le segment générateur AoCa'A ouBoCb'B eût la coupe ; la somme de ces volumes sera la solidité requise.

■ PROBLÈME LVIII

Déterminer le volume d'une voûte quelconque dont l'épaisseur n'est pas uniforme.

(202) RE«L,E. Faites séparément (page 431 G,) par les problèmes précédents, les volumes des solides (c'est-à-dire des prismes ou cylindres, demi-sphères, demi-sphéroïdes ou conoïdes, ou des calottes ou segments de ces solides) extérieur et intérieur composants, pour en prendre ensuite la différence, qui sera le contenu solide de la voûte proposée.

PROBLÈME LIX

Déterminer le volume d'un prismoïde ou d'un cylindroïde quelconque.

(Voir les nombreux prismoïdes et cylindroïdes variés du Tableau.)

(203) REGLE. A la somme des surfaces des deux bases parallèles, ajoutes quatre fois la surface dune section ou coupe également éloignée de ces bases, et multiplie? le tout par un sixième de la hauteur du corps ; le résultat sera le volume demandé.

REM. 1. On dit (1102 G.) que "le prismoïde est un soHde ayant pour bases parallèles, des figures planes quelconques à côtés parallèles." Cette définition n'exclut par l'égalité des côtés parallèles; donc, tout prisme ou cylindre (prisme injinitaire) est en même temps un prismoïde.

La définition n'exclut pas la proportionnalité des côtés parallèles; donc, tout tronc de pyramide ou de cône (tronc de pyramide injinitaire,) à bases parallèles, est un prismoïde.

La définition n'assigne pas non plus des limides à l'Inégalité des côtés parallèles ; donc, chacun des côtés de l'une des bases parallèles peut diminuer indéfiniment et jusqu'à devenir enûn = 0; cette base se réduira donc aussi à zéro ou à un seul point, comme dans le cas de la pyramide; donc, la pyramide ou le cane (pyramide in fin itairej est aussi un prismoïde.

Si la somme de tous les côtés, moins un, de l'une des bases. devient égale au côté ainsi excepté, cette base ne sera plus qu'une ligne ou arête parallèle au plan de l'autre base, comme dans le cas du coin ; donc, tout coin ou autre solide ayant pour Vune de ses bases une figure plane quelconque et pour Vautre base une ligne parallèle à la première, est encore un prismoïde.

(304) Il semblerait que dans cette manière de réduire à une simple ligne une figure plane quelconque, l'on ait négligé le parallélisme nécessaire des côtés opposés; mais il n'en est pas ainsi, car si la base à réduire est un rectangle par exemple, les deux côtés perpendiculaires au côté excepté deviennent chacun=0; la somme des côtés moins un, est le côté du rectangle parallèle au côté excepté, et qui, lorsque les côtés perpendiculaires deviennent nuls, finit par s'approcher du côté excepté de manière à ne former avec ce dernier qu'une seule et même ligne ou arête. Si la base à réduire est un polygone quelconque, il y aura, ou non, dans le périmètre de cette base, un côté parallèle au côté excepté ; si il y a un côté qui lui soit parallèle, ce côté pourra diminuer ou augmenter de manière à devenir de longueur égale à celle du côté excepté, et tous les autres côtés devenant chacun=0, les deux côtés parallèles se réuniront pour n'en faire qu'un seul ; s'il n'y a pas dans la base sur laquelle on opère un côté parallèle au côté excepté, l'on interposera entre deux des côtés de cette base, un côté qui soit la parallèle voulue ; car de même qu'un côté du prismoïde peut, sans affecter la définition, devenir égal à 0, de même un côté d'abord égal à zéro peut prendre du développement, et cela dans une proportion quelconque comme dans une direction quelconque.

(205) Il est clair que si l'une des deux bases peut, de figure quelconque, devenir ligne, il en est de même de l'autre base qui peut aussi, de figure quelconque, devenir ligne. Si les deux ligues qui forment main tenant les bases opposées sont parallèles l'une à l'autre, il est clair que le solide aura cessé d'exister ou sera devenu égal à zéro ou à une simple surface ; mais si les lignes ou arêtes qui servent de bases opposées au corps dont il s'agit ne sont pas parallèles entre elles, quoique cependaut dans des plans parallèles l'un à l'autre, le

solide (l'aura pas cessé d'exister; donc, un prismoïde peut être tel que , bases opposées soient toutes deux de simples liynes ou arêtes.

(206) Disons pour résumer qu'un prismoïde peut avoir pour bases parallèles : deux figures quelconques égales ou semblables, di-ux figures quelconques inégales ou non semblables, une figure quelconque et une ligne parallèle au plan de cette figure, une figure quelconque et un point, deux lignes quelconques non parallèles, mais situées dans des pl/ms parallèles fun à Vautre ; savoir, par exemple : deux carrés égaux ou inégaux; an carré et un rectangle quelconque ; deux rectangles ou parallélogrammes quelconques; deux polygones quelconques égaux ou semblables, inégaux ou dissemblables, dont les côtés de l'un correspondent soit à des côtés parallèles ou à des points angulaires de l'autre ; un carré, rectangle ou autre polygone et un cercle ou ellipse (polygone intinitaire) ; un cercle et une ellipse quelconque ou deux ellipses quelconques ice dernier prismoïde à bases parallèles curvilignes se distingue quelquefois sous le nom de cylindroïde) ; un carré, rectangle, parallélogramme, polygone, cercle, ellipse et une ligne ; un carré, rectangle, parallélogramme, polygone, cercle, ellipse et un point ; deux lignes de longueurs quelconques non parallèles. l (207) REM. Iï. Il y a à considérer maintenant l'espèce ou la nature de la figure servant de section ou de coupe intermédiaire entre les bases opposées du prismoïde à estimer. Ainsi, il est elair que si les bases opposées sont des rectangles à côtés parallèles, la section parallèle intermédiaire sera aussi un rectangle ou un carré ; si les deux bases sont des parallélogrammes à côtés parallèles, la section seara aussi un parallélogramme ; si les bases sont un carré, rectangle, parallélogramme et une ligne parallèle à l'un des côtés de tel

1. Toutes ces formes se rencontrent dan6 la pratique, et cela surtout à l'endroit des toitures diversifiées d'édifices de toutes sortes. Une tour ou tourelle carrée par exemple, sera assez souvent terminée par un toit couronné d'une plate-forme octogone ou circulaire, ou ce sera la tour qui aura pour plan par terre un cercle, et pour plateforme du toit un carré ou autre polygone, ou encore ce sera deux carrés dont les côtés de l'un sont parallèles aux diagonales de l'autre : voilà pour le prismoïde dont les bases parallèles sont des figures quelconques. Si un édifice dont la coupe horizontale est un carré, rectangle ou polygone, est recouvert d'un toit terminé par un faîte plus au moins long, on aura le prismoïde dont l'une des bases est une figure quelconque et l'autre base une ligne. Le coin offre aussi un solide de cette sorte. Il n'est pas rare non plus de trouver parmi les parties composantes d'un toit ou autre objet à évaluer des prismoïdesde l'espèce deceluidu par. (2©8, 1\) c.-à-d. dont les basesA B, CD soient toutes deux de simples lignes, sans que la surface de la coupe ou section intermédiaire abcd en ait moins pour cela une valeur très réelle et facile à déterminer. Dans ce dernier cas le facteur "4 surf, abcd" = AB x^'D(2O8>T0> d'où, le vol.r=AB x CD x hauteur -^.6.

rectangle, etc., la section sera encore, dans le 1er cas un rectangle, dans le second cas un rectangle ou un carré, dans le troisième cas un parallélogramme ; si les bases sont une figure quelconque et un point, la section sera une figure semblable à la base et égale (131, T.) en surface au quart de la base; si les deux bases sont des lignes perpendiculaires (907, G.) l'une à la direction de l'autre, la section sera un carré ou un rectangle ; si les bases sont des lignes non perpendiculaires l'une à la direction de l'autre, la section sera un losange ou parallélogramme.

(208) Rien de plus facile dans tous ces cas que de déterminer la surface de la section intermédiaire dont les multiplicateurs ou facteurs sont chacun moyen arithmétique entre les côtes parallèles des bases opposées ou entre les côtés ou arêtes et points ou sommets opposés suivant le cas. Par exemple, dans le prismoïde AB-CD où chacune des bases est une simple ligne ou arête AB, CD et dont la surface est en conséquence nulle, on a pour section intermédiaire le carré, rectangle ou parallélogramme abcd dans lequel ab=$ AB -f- D ou =£ AB, puisque D = 0, de même de = i AB=ab, et ad — i CD = bc ; d'où surface section abcd=ab x ad ou i AB x £ CD si c'est un rectangle, ou (8, T.) —ab x ad x sin. nat. angle bad si c'est un parallélogramme.

(209) Si l'une des bases est un polygone quelconque et que l'autre base soit aussi un polygone quelconque, et si toutes les faces latérales du prismoïde sont des triangles, c'est-à-dire, si chacun des côtés dans l'une des bases correspond à un point dans l'autre base, le nombre de côtés dans la coupe intermédiaire sera égal à la somme des nombres de côtés dans les deux bases.

(210) Si l'une des bases est une figure rectiligne quelconque, et que l'autre base soit une ligne non parallèle aux côtés de cette première, le nombre de côtés dans la coupe int.

sera égal au nombre des côtés de la base plus 2; et si la ligne ou l'un des côtés, ou plus d'un, de la figure qui forme l'une des bases, est parallèle à l'un ou à plus d'un des côtés de l'autre base, le nombre de côtés de la section interm. pourra varier indéfiniment suivant le cas, mais sera néanmoins toujours aisé à déterminer à l'aide d'une simple esquisse de la figure.

Le résumé qu'on vient de faire peut encore se simplifier, s'abréger ou se traduire comme suit, savoir: Le prismgide ou cylindi (prismoïde infinitaire) est un solide à bases parallèles dont les plans (faces latérales) passant par les Votés ou arêtes de l'une des bases, sont terminés par des points ou par des côtés ou arêtes parallèles dans l'autre base.

En d';i utres termes : Le prismoïde ou cylindroïde est tel que toutes ses faces latérales sont d s, ou que sa surface latérale peut se décomposer en triangles ou trapèzes rectilignes, c'est-à-dire, à surfaces 'planes, ou en parties capables de se développer en surfaces planes.

Ajoutons (jue tout prismoïde peut si» décomposer, si l'une de ses bases est (fig. du par. 212, T,) une figure quelconque et l'autre base une ligne, en deux pyramides et un prismoïde élémentaire ayant pour bases des lignes, (fig. du par. 208, T.) ; si ses deux bases sont des figures quelconques, en quatre pyramides ayant leurs bases deux à deux dans les bases opposées du solide, et un prismoïde ayant pour bases des lignes; ou, à volonté, en pyramides, coins, etc., et prismoïdes à bases linéaires, suivant la manière d'opérer la division du solide par des plans dont on peut varier le nombre et la position.

(211) Si l'une des bases est par exemple un cercle ou ellipse et l'autre base une ellipse, la base interm. sera aussi une ellipse dont on aura le diam. ef= 1 (AB - ab) et le diam. <jli = £ (CD + cd).

(212) Si l'une des bases est un cercle ou ellipse AB et l'autre base une ligne EF, la base interm. abfcde sera une figure mixtiligne dont les parties ab et cd seront des droites parallèles à EF, et les parties aed, bfc des figures semblables (1033 G.) à CAD, CBD. Pour calculer la surface de la section interm., ou a (1033, 520 G.) ab et de chacun=i EF. ad et bc chacun =i CD, et comme les parties composantes ACD-E, BCD-F du pris' moïde sont évidemment des pyramides à bases mixtilignes, on aura (131 T.) la surlace aed = \ surf. ADC, suif, bfc = i surf. BCD ; c'est-à-dire qu'on aura surf, section ef=ab ou de ou ^ EF x ad ou bc $ CD + 1 surf. AB, et si EF n'est pas parallèle à AB ou perpendiculaire à la direction de DC on multipliera de plus (S T.) le produit ab, b : par le sin. nat. de l'angle bad ou l'on substituera au facteur ad ou bc la largeur perpendiculaire du parallélogramme ab cd.

(21Î5) Si l'une des bases est un cercle ou ellipse AB et l'autre un carré ou rectangle EG, le prismoïde donné se décomposera en: 1°, un prismoïde EFGH-CD (ayant pour bases (20T, T.) un carré ou rectangle et une ligne, et pour section interrn. un rectangle efgh où ef=gh=^ EF ou GH et eg -fh=i EPI + |CD); 2°, deux prismoïdes AO-EH et BO-FG (ayant chacun pour bases dos lignes AO, EH et BO, FG et (207, T.) pour base interm. un rectangle ablJc où àb=kl=i EH et àk ou bl=% AO, et nrcd où nr ou ecl= i FG et nd ou rc=i OB) ; 3°, quatre pyramides AOC-H, AOD-E, BOC-G et BOD-F (ayant chacune pour coupe interm. une figure blg, aeJc, rch et ndf respectivement égale en surface au quart de la base correspondante AOC, AOD, BOC et BOD, ou leur somme égale en surface au quart de la base AB.

(214) Il est clair d'après les quelques prismoïdes ou cylindroïdes dont on vient de traiter que ces corps peuvent varier indéfiniment leurs formes, mais il suffira des considérations précédentes pour indiquer la manière de procéder dans chaque cas à la détermination de la surface intermédiaire à entrer comme élément dans le calcul du volume à établir ; ou si c'est nécessaire, pour déterminer tout d'abord si le solide proposé est, ou non, un prismoïde ou cylindioïde tel qu'on puisse estimer le volume par la règle générale ici donnée.

JEx. 1. Une tenture ou ciel-de-lit dont la base sup. est un cercle ou une ellipse de la surface d'un mètre, et la base inf. un rectangle de la surface de 3 mètres, a pour section intermédiaire une figure niixtiligne dont la surface est de deux mètres, la hauteur ou distance perpendiculaire entre les bases parallèles est de 2i mètres ; on demande le volume de l'espace ou de l'air compris entre les rideaux ? Kep. (1 + 3 + 4 fois 2) x 2.5-^6=5 mètres cubes.

2. Une tente à camper dont le sommet ou la base sup. est un faîte, c'est-à-dire, une simple ligne ou arête ayant 2 verges en longueur, et dont la base inf. est composée d'un rectangle de 2 x 3 verges et de deux demi-cercles de 3 verges de diam. a 2 verges de hauteur ; quel en est le volume *?

Rep. Dans cet exemple il est clair que le prismoïde à cuber est composé d'un coin à arêtes égales (c'est à-dire (IlOO, G.) d'un prisme triangulaire) et de deux demi-cônes. La surface de la base de la tente est composée de celle du rectangle =2 x 3=6 verges carrées, et de celle de deux demi-cercles, c.-à-d. d'un cercle de 3 verges de

toisé des coups ou solides. 167

diam.,=3 x 3 x .7854=7.0686. verges carrées, en tout 13.0686 verges carrées ; la surface de la coupe intermédiaire est égale à la moitié du rectangle à la base plus le quart (212, T.) des deux demi-c srcles, el vaut en conséquence 3+1.76715=4.76715. La surface de la base supétant nulle dans le cas actuel, le vol. = (surf, base h4 surf. interna.) x hauteur + 6, =(13.0686 +■ 4 fois 4.76715) x ,'. hauteur =32.1372 x 2-^6 = 10.7124 verges cubes.

R EH. Si la surface ext. du ciel -de-lit ou de la tentç des deux derniers exemples, au lieu d'être tendue, c.-à-d. plane ou capable de se développer (lllO G.) en surface plane, était concave ou non tendue, ou n'en aurait pas moins le vol. voulu, au moins à très près (13ï>, 110, T.) par la même règle (303, T.)

Ex. 3. Un observatoire dont le plan par terre est uu octogone de 100 mètres en surface, est couronné d'un toit ayant pour sommet une plate-forme circulaire dont la surface est de 25 mètres, la surface de la section intermédiaire est de 56 mètres ; quel est le volume de l'espace qu'occupe le toit dont la hauteur est de 6 mètres .'

Rcp. 100 + 25 + 4 fois 56 - 349 mètres cubes.

PROBLÈME LX

Déterminer le volume exact d'un corps irrégulier quelconque de petites dimensions ou d'un corps composé de plusieurs parties élémentaires de dimensions et formes différentes,

(215) REGLE. Si c'est la capacité d'un vase ou vaisseau quelconque que Ton veut estimer, l'idée nous vient assez généralement d'arriver au résultat désiré en déterminant le nombre de fois que tel vaisseau peut donner place au contenu de tel autre caisseau déforme élémentaire dont on connaît la capacité.

(210) Mais si c'est le volume de la substance même du vaisseau, etc., que l'on désire évaluer, la manière de s'y prendre ne se suggère pas tout d'abord à l'esprit de quiconque veut opérer cette évaluation.

(217) REGLE. Si le volume a estimer est celui d'une substance non absorbante, on le plongera dans un vaisseau rem. pli d'eau ou de tout autre liquide dont on mesurera le déplacement au moyen d'un autre vaisseau de capacité connue ; ou si le premier vaisseau est assez grand et que la forme en soit rectangulaire ou cylindrique et de facile jaugeage, Von y mettra d'abord assez de liquide pour couvrir

V objet à mesurer ; ayant alors remarqué la hauteur du niveau de Veau d'.ms te vase, on y plongera l'objet dont il s'agit et l'on remarquera de nouveau le niveau du liquide ; si Von suppose maintenant que chaque fraction de mètre, pouce, ligne ou autre unité de la hauteur du vase contenant corresponde a un mètre, pied, pouce ou li g m: etc., cubique, on n'aura qu'à compter le nombre de telles unités dans la hauteur du niveau déplacé de Veau pour avoir de suite le volume de l'objet proposé.

(21S) Si le corps est absorbant, Von se servira par exemple de sable on de tout autre substance fluide de celte sorte, dont on pourra niveler la surface au moyen d'une lige ou tringle à arête recliligne.

L'on arriverait de cette manière au volume des corps les plus diversifiés du règne amimal, végétal ou minéral et des mille et un objets bruts ou manufacturés qu'on a tous les jours sous les yeux et dont il serait souvent impossible d'estimer les volumes par les règles ordinaires de la géométrie.

Il est bon de rappeler aussi que l'on peut arriver par une simple proportion au volume d'un corps en en comparant le poids avec celui d'un autre corps de même substance et de volume déterminé, c'est-àdire par le système des poids spécifiques qui enseigne en même temps à revenir du volume d'un corps à son poids : ce qui fera le sujet du problème suivant.

Ex. 1. Le poids d'un bloc irrégulier de pierre est 13 livres 7 onces : on demande à déterminer à l'aide du morceau donné le poids près d'un pied cube de cette pierre 1

Rep. 11 y a tout d'abord à cuber le bloc de pierre ; à cet effet soit un vase rectangulaire de 10 pouces carrés ou de 100 pouces en superficie horizontale, et dont la hauteur est divisée en pouces et centièmes de pouces ; ayant mis assez d'eau dans le vase pour couvrir la pierre à cuber, je note la hauteur de l'eau que je trouve de 8.53 pouces, je plonge ensuite la pierre dans le vaisseau et je note de nouveau la hauteur de l'eau qui est maintenant de 9.89 pouces; la différence de ces hauteurs est de 1.36 pouces. Puisque le vase est de 10 x 10 pouces, il est clair que chaque pouce de sa hauteur correspond à 100 pouces cubes et par conséquent, chaque centième de pouce de telle hauteur, à un pouce cube ; donc la hauteur observée 1.36 pouces du niveau déplacé de l'eau correspond à 136 pouces cubes ; donc le volume de la pierre est de 136, et on aura maintenant le poids du pied cube en faisant 136:215 onces (poids de la pierre) :: 1728 pouces cubes (c.-à d. un pied cube) : 2732 onces, ou, divisant par 16, 170^ livres, le poids demandé.

2. Dans un vase cylindrique tel que chaque pouce de sa hauteur

correspond à 1 pouce cube d'espace ou de volume, on a plongé un lingot d'argent qui a déplacé de 73 centièmes de pouce le niveau du liquide dans le vase; ou demande le volume du lingot?

Rcp. .73 d'un pouce cube.

3. Ayant rempli d'eau un vaisseau quelconque, on y a plongé un objet dont on désire connaître le volume; on a recueilli dans un autre vaisseau, l'eau renversée- dont la quantité est de 3 gallons 1 pot et 1 septier; quel est le volume de l'objet proposé, le gallon dont on s'est servi étant de 231 pouces cubes?

Rcp. 1 gallon + 1 pot + 1 septier = 231 + 115^ + 14& = 360^ pouces cubes.

4. On demande le volume d'une substance absorbante placée dans un vaisseau de un pied cane qu'on a rempli de sable ; après en avoir enlevé l'objet à évaluer, on trouve que la hauteur uniforme du sable daus le vaisseau qu'on a d'abord nivelé à cet effet, est de .3 d'un pied, la hauteur du vaisseau étant de 1.5 pieds?

Rcp. 1.5— .3=1.2 pieds=hauteur du niveau déplacé du sable, et comme le vaisseau est de 1 pied carré en coupe horizontale, il suit que le volume de l'objet proposé est de 1.2 pieds cubes.

5. Dans un vaisseau en forme de tronc de cône se trouve une quantité de liquide dont le diain. à la surface est de 10 pouces ; on y plonge un objet qui augmente de 9 pouces la hauteur ou profondeur du liquide dans le vaisseau et qui donne à sa surface déplacée un diamètre de 14 pouces ; on demande le volume du corps proposé ?

Rcp. Le volume d'eau déplacée, qui est en même temps celui de l'objet, est celui d'un tronc de cône dont les bases parallèles mesurent respectivement 10 et 14 pouces et dont la hauteur est de 9 pouces; cevol.= (lia, T.) (10 + 14 + 4 fois 12 2) x .7854x9-f-6 = 872 x .7854 x 1.5 = 684.8688 x 1.5 = 1027.3032 pouces cubes.

THÉ0EEME LXI.

Déterminer le volume ou le poids d'un corps ou d'une substance quelconque, par comparaison du volume ou poids de tel corps, avec celui d'un corps ou subtanee de même nature dont on connaît par avance le poids et le volume.

(210) REM. Le poids d'un pied cube d'eau à la température de 40° Fahrenheit (à laquelle à peu près l'eau atteint sa plus grande; densité) est de 1000 onces avoir du poids, près, ou de 62) livres (poids

Anglais) et l'on appelle poids ou gravité spécifique d'un corps ou d'une substance quelconque, le poids d'un volume de tel corps ou de telle substance égal à celui de l'eau prise pour point de départ d'où il résulte que si l'on connaît d'avance le poids d'un pied cube par exemple de chacune des différentes substances qu'on peut être appelé à estimer ou à mesurer, tel que consigné dans la table qui va suivre, l'on déterminera de suite par une simple proportion le volume de tout autre poids ou quantité de la même substance ou le poids de tout autre volume de telle substance, par les règles suivantes.

(220) REGLE. Pour déterminer le volume d'un corps d'après son poids ; fuites la proportion : le poids spécifique du corps proposé est à ( : ) son poids en onces ou en livres, etc-, comme ( :: ) 1 pied cube ou 1728 pouces cubes, est au(:) volume du corps en pieds ou en pouces, suivant le cas.

Ex. 1. Le poids d'une bombe ou d'un boulet en fonte de fer ou d'un fragment quelconque de tel solide pèse 45 livres : on demande le volume du corps proposé ?

Rep. On voit par la table des poids spécifiques (page des tables) que le poids du fer coulé ou de la fonte est de 450 livres près, au pied cube ; on aura donc le volume demandé en taisant 450 livres : 1728 pouces cubes :: 45 livres : 172.8 pouces cubes.

2. On demande le volume d'une statue de marbre dont le poids est de 1000 livres, la gravité spécifique du marbre dont la statue est tirée étant de 170 livres près au pied cube %

Rep. 170 livres : 1 pied cube :: 1000 livres : 5 9 pieds cubes près.

3. Une quantité de sable pèse 13 livres : quel en est le vol. ? Rep. D'après la table, la gravité spécifique du sable est de

1.520, c'est-à-dire, 1.525 fois le poids d'un volume égal d'eau ou de 1520 onces au pied cube (puisque le poids d'un pied cube d'eau est de 1000 onces) ; on fera donc 1520 onces : 172S pouces cubes :: (13 x 16 = ) 208 onces : x =1728 x 203 = 233 £ pouces cubes.

4. Le poids d'une défense ou dent d'éléphant est de 25 livres ; quel en est le volume ?

Rep. L'ivoire est de 182") onces au pied cube; ou aura doue le volume de la déni en faisant 1825: 1 :: (25 livres ou) 400 onces . .22 près, d'un pied cube ou 1825 onces : 1723 pouces cubes :: 400 onces: 378.7 ! pouces cubes.

». On demand ■ à déterminer par avance le poids probable d'une grille en fonte d • fe ■ qui doit être coulée d'après un modèle sculptée en bois de piu donl le poids est de 7 livres ?

Hop. On aura d'abord le volume «lu modèle en pin en faisant d'après la règle (le pin étanl censé dans ce cas de ~"> livres au pied cube) 25 livres : I pied cube:: 7 livres:. 28 d'un pied cube. Maintenant, comme le volume de la fonte sera aussi=.28 d'un pied cube et que le poids de la fonte est de 450 livres au pied cube, on aura le poids de la grille proposee=450 x .28=126 livres.

(S'il) BEGLL. Pour déterminer le poids d'un corps d'après son volume ; faites la proportion : un pied cube est au ( : ) volume du corps proposé, comme ( :: ) sa gravité spécifique est à ( :) son poids.

Ex. 1. Le volume d'un monceau de neige sur le toit d'un édifice est de 70DLI pieds cubes, le poids d'un pied cube de cette neige, refoulée qu'elle est et vendue lourde par la pluie, etc., est de 30 livres : on demande le poids total dont le toit est affecté?

Rep. 7000 x 30=210,000 livres.

2. Quel est le poids d'un lingot d'or pur coulé dont les dimensions sont de 3 pouces par \ \ pouces ?

Rep. Le volume = 3 x fxi = 2i pouces cubes; la gravité spécifique de l'or pur est de 19.258 ; la règle donne, 1 pied cube ou 1728 pouces cubes : 21 pouces cubes :: 19.258 : x = 19.258 x 2.25=25.07552 onces. 1728

Î5. On désire connaître le poids d'une tinette de beurre dont le volume, obtenu d'après la règle de l'article (112), est de 1830 pouces cubes ?

Rep. Le poids spécifique du beurre est de .940 de celle de l'eau, c'est-à-dire, de 940 onces au pied cube, on aura donc le poids voulu = 1830x940=995^ onces, -h 10 = 02 livres 3£ onces.

4. Quel est le poids près d'un plançon de chêne anglais demi-sec dont le volume est de 150 pieds cubes .'

Rop. Le chêne demi-sec, d'après la table, est de 66 livres près au pied cube, d'où le poids voulu, est de 150 x 00=9900 livres.

5. Quel est le poids près d'une caisse de livres reliés dont le volume est de 15 pieds cubes .'

Rep. 15 pieds cubes x 43 livres près = 045 livres.

PROBLÈME LXIL

Déterminer le poids spécifique d'un corps ou substance quelconque.

(222) REGLE I. cubez et pesez le corps proposé, pour faire ensuite la proportion ; le volume du corps est à (:) son poids en onces comme ( : : ) un pied cube de tel corps, est au ( : ) poids dlun pied en onces, c'est-à-dire, en séparant trois chiffres pour décimales, à sa gravité spécifique.

Ex. I. Quelle est le poids spécifique du noyer noir sec, si un échantillon de ce bois dont les dimensions sont de 11 x 7 x .9 pouces, pèse 24 onces ?

Rep. 11 x 7 x. 9=69.3 pouces cubes=vol. du corps proposé; maintenant, d'après la règle 69. 3 pouces : 24 onces : : 1728 pouces : 598 onces ou 37.4 livres ; la gravité spécifique voulue est donc de .598 de celle de l'eau dont le poids est de 1000 onces au pied cube.

2. Un morceau irrégulier de craie dont on a pu obtenir le volume, 432 pouces cubes, par la méthode de l'exemple 4 de l'avant dernier problème, pèse 43i livres: on demande la gravité spécifique de cette substance ?

Rep. 432 pouces: 1728 pouces ::43J livres: 174 bvres ; d'où, la gravité spécifique voulue est de 174 x 16 = 2784 fois le poids d'un égal volume d'eau.

. 3. Un bateau ou ponton de 100 pieds par 20 x 10 pieds et dont le volume total est en conséquence de 20,000 pieds cubes, a requis pour le construire 5000 pieds cubes de pin blanc demi-sec dont on estime le poids à 40 livres au pied cube, 500 pieds cubes d'orme estimé à 50 livres au pied cube, . et 5000 livres pesant de chevilles en fer: on demande quel sera le tirant d'eau du bateau proposé ?

Rep. Le poids du pin = 5000 x 40 = 200,000 livres, le poids de l'orme =500 x 50=25,000, le fer 5000 livres ; le poids total du bateau est en conséquence de 230,000 ; le poids moyen ou la gravité spécifique du ponton est de 230,000 livres -=-20,000 pieds cubes = 11. 5 livres au pied cube, c-à-d. de 11.5 x 16 = 184 onces au pied cube, soit .184 du poids d'un même volume d'eau. La hauteur du ponton est de 10 pieds; donc le tirant d'eau sera .184 de la hauteur du ponton ou 1.84 pieds, c.-à-d. I pied 10 pouces et .96 de pouce=l pied 11 pouces près.

4. De combien pourra-t-on charger le ponton ou bateau du dernier exemple, sans le faire sombrer ou caler au-delà de sa surface supérieure ?

Rcp. Puisqu ese 62.5 Livres au pied cube et que le

volume total du ponton est de 20,000 pieds cubes, le poids total

l'eau que devra, déplacer Le ponton avanl que d ■ caler à L'affleurement de l'eau est 20,000x62.5=1,250,000 livres, or le poids du bateau n'est que de 230,000 livres; d'où il suit qu'on pourra encore sans faire sombrer le bateau le charger d'un poids égal ou presque égal à la différence entre 1250,000 livres et 230,000, c.-à-d. 1020,000 livres-

(223) JREGEE 31. Si le corps a estimer est plus pesant que l'eau " pesez d'abord le corps dans l'air -puis dans l'eau, au moyen d'une balance hydrostatique ; la différence entre les résultats sera h poids perdu d ins l'eau, ou le poids d'une quantité d'eau égal en volume ou corps. Faites alors la proportion : comme le poids perdu dans l'eau (: ) est au poids du corps dans l'air, (::)dc même la gravité spécifique de l'eau ( : ) est la gracile spécifique du a

Ex. I. Un morceau d'étain pèse 183 livres, son poids dans l'eau n'est que de 158 livres : quelle est la gravité spécifique de l'étain ?

Rep, 183 — 158 •= 25 : 183 :: 1000 : 7320 = gravité spécifique demandée.

2. Un bloc de granit pèse 21 onces dans l'air et seulement 13 onces dans l'eau : quelle est la gravité spécifique du granit ?

Kep. 2625.

(224) REGLE IIï. Si le corps a estimer est moins

pesant que l'eau ; attachez au corps proposé par un fil dont le poidi soit relativement nul, un autre corps plus lourd ou pesant que l'eau, de manière que les deux pris ensemble puissent pénétrer ou s'enfoncer dans l'eau ; ayant préalablement pesé chaque corps dans L'air, et le plus pesant dans l'eau, pesez alors dans l'eau !•• corps composé, et du poids perdu par le corps composé, soustrayez le poids perdu par le corps plus lourd tel que pesé seul ; le reste est le poids perdu p ir le corps léger. Alors : le poids perdu par le corps léger dans l'eau. ( : ) est au poids de ce corps dans L'air, ( : :•) comme la gravité spécifique de l'eau ( : ) est d la gravité spécifique du corps.

Ex. 1. A nu morceau d'orme qui dans Pair pèse 15 grains, on a attaché un morceau de cuivre dont le poids est de 18 grains clans Pair et de 16 grains dans Peau, et le composé dans Peau ne pèse que 6 grains: quelle est la gravité spécifique de L'orme?

l&vp. 13-16 — 2-— le nombre de grains perdus par le cuivre dans l'eau.

18 h 15 — 6 = 27 = le nombre de grains perdus par le compost' dans Peau.

27— 2 =25=le nombre de grains perdus par l'orme dans l'eau.