PROBLÈME VII
Trouver la surface d’un polygone régulier. !
(26) REGLE I. Multipliez (663 G.) le périmètre du polygone par son demi-rayon droit, et le produit sera la surface voulue. REM. Si le polygone n’est connu que par son côté, déterminezen d'abord le rayon droit de la manière suivante : Divisez 360° par le nombre des côtés du polygone proposé, et le quotient sera (620 G.) l'angle au centre ; c’est-à-dire, l'angle sous-tendu par l’un des côtés égaux. Maintenant les rayons droit et oblique du polygone forment avec le demi-côté un triangle rectangle dans lequel on connaît la base, c’est-à-dire, le demi-côté, et l'angle aigu opposé, c’est-à-dire, le demi-angle au centre, pour trouver la perpendiculaire ou le rayon droit du polygone.
Ex. I. Soit à trouver l’aire d’un hexagone régulier dont le côté est de 20 & pieds ?
Rep. 360--6 = 66 et 60-2 = 30° angle AOG, moitié de AOB. On a aussi 0AG=90°—A0G=609 et AG=10; alors 4325 G.) sinus AOG: : AG :: sin. OAG :
0G; d’où,
Sins AOC. nissan sasemesase comp. ar. log 0.301030 oôt Da DAC Oasis essor End 9.937531 comme MO Iris eva cesse die user se 1.000000 est à OC: 1000 ssasensseitiessse sante nsc 1.238561
Maintenant comme il y a 6 côtés, chacun égal à 20, on aura le périmètre=?20 x 6=120 et la surf.=120 x4(17.32052) ou ce qui est la même chose=17.32052 x 4 (120 =17.32052 x 60 = 1039.23120 p. c.
Ex. 2. Quel est le contenu superficiel d’un octogone dont le côté est 20 ? Rep. 1931.368.
nee
1, Voir les bases parallèles des prismes droits et prismoïdes du Zubleau et leurs sections ou coupes parallèles.
Car l'angle au centre = 4360°--8 = 45° dont la moitié 22° 30’ est l'angle AOG adjacent au rayon droit, et son complément OAG en conséquence = 90°— 22930’ = 67°,30 ; or on a (1281, 3° G.) OG = AG
x tang. nat. OAG = 10 x 2.414291 sol. 41421 et surf. =24,41421 x 80 (demi-pér.) = 1931. 368.
+. On demande l'aire d’un monagone dont le côté mesure 8 pieds et la perpendiculaire menée du centre = 10,99 pieds? Rep. 395.64 p. c.
&. Trouver l'aire d’un heptagone dont le côté = 19,38 et le rayon droit = 28 ? Rep. 1899.21,
5. Le côté d’un pentagone - 25 mètres et la distance du côté au centre= 17. 2? mètres ; quel est le contenu ? Rep. 1075 mn. c.
(27) À l’aide de cette règle, on obtient aisément l'aire d’un poly gone quelconque, ? c’est-à-dire d’un polygone d’un nombre quelconque de côtés. Ayant done calculé et disposé sous la forme du tableau suivant, les aires relatives des divers polygones ayant pour côté l’unité ou 1; savoir:
Mn, om Ur As Triangle... 0.5773503 .. 3 .. 0.2886751 .. 0.4330197 .. 30° Carré........ 0.7071063 .. 4 .. 0.5000009 .. 10000000 .. 45 Pentagone... 0.8506508 .. 5 .. 0.6881910 .. 1.7201774 .. 54 Hexagone.... 1.0000000 .. 6 .. 0.8660254 .. 25930764 .. 60 Heptagone... 1.1529824 .. 7 .. 1.0322607 .. 3.6339194 .. 612 Octogone? ... 1.3065628 .. 8 .. 1.2071068 .. 4.8284971 .. 674 Ennéagone .. 14619022 .. 9 .. 13737387 .. 6.1818242 .. 70 Décagone.... 1.6180310 .. 10 .. 1.5328148 .. Ê 6942083 .. 72 Undécagone.. 1.7747324 .. 11 .. 1.7028436 . 36563909 .. 737
Dodécagone.. 1.9318517 .. 12 .. 1.8660254 . de 1961521 .. 75
Et parce que (5635 @.) les aires des polygones semblables sont entre elles comme les carrés de leurs côtés homologues, l'aire d’un ÈS polygone donné quelconque aura au carré de son côté le même rapport que l'aire du polygone de même nom et dont le côté est 1, au carré de l’unité ; d’où on a:
(28) REGLE HN. Carrez le côté du polygone donné ; multiplie: alors ce curré par l'aire du polygone de méme nom dont le côté est 1: le produit sera la surface voulue.
1. Voir les bases et sections paralèlles des prismes et prismoïdes, ete., du Zableau. À
2. Dans le cas de l’octogone régulier ou même symétrique on obtient de suite la surface en retranchant du carré du double rayon droit ou apothème sur l’un des côtés le carré de l’autre côté, comme où le verra plus tard dans le toisé des solides.
Ex. 1. Quelle est la surface d’un hexagone régulier, dont le côté est 20 ?
Rep. 20 =400, l'aire de l’exagone du tableau=2,5980762, et 2, 5980767 x 400 = 1039 , 2304800, comme auparavant, 2. Déterminer le contenu superficiel d’un pentagone dont le côté est de 25 verges ? rep. 1075.298375 v. ce.
&. Le côté d’un décagone mesure 20 mètres ; qrelle est l'aire ? Rep. 3077.08352 m., ec.
4. Trouver la superficie d'un dodécagone dont le côté est 6? ep. 403.0611864.
5. Le côté d’un terrain en forme de triangle équilatéral mesure 3 arpents 7 perches et 6 pieds ; quel en est le contenu ? Rep. 3714 per. x 371 per. = 13937 où 1393./7777, x 04330197 = 6035234787 ou G arpents carrés, 34 perches carrées à peu près.
