PROBLÈME VIII
Trouver la circonférence d’un cercle ! dont on a le diamètre, ou le diamètre d’un cercle dont on a la circonférence.
(29) REGLE. Multiplie: (683 G.) le diamètre par 3.1416, et le produit sera la circonférence ; ou divisez (687 @i.) la circonférence par 3.1416, et le quatient sera le diamètre ?
Ex. 1. Quelle est la circonférence d’un cercle dont le diamètre
est 25 ? Rep. 70.54 2. Si le diamètre de la terre est de 7921 milles, quelle en est la circonférence ? Rep. 21284,6136.
#&. Déterminer le diamètre, dont la circonférence est 11652,1944 ? Rep. 3709.
4. On demande la circonférence, quand le diamètre est de 17 mètres ? Rep. 53.4072.
5. On donne la circonférence d’un cercle = 354 pieds pour en déterminer le diamètre ? Rep. 112.681,
1. Voir les bases et sections ou coupes parallèles des cylindres, cônes et troncs de oônes droits, troncs et segment de sphéres, ete., parmi les modeles Cu Zubleuu.
38 CLEF DU TABLEAU, n
REM. Le rapport 7 (UP DORA pour ce diamètre 112,636. ee dernier résultat est trop faible de , d'une unité ou de du tout, et met en mesure de juger de l'exactitude relative des deux rapports.
PROBLÈME IX
Trouver la surface d’un cercle.
(29) REGLE 1 JMulliplies (ABA G.) la circonférence par la moitié dn rayon.
REGLE HE Jultiplies OA G.) le carré du rayon par 3.116. REGILE EE, Jaulliplies (Aém. de 684 G.) le carré du diamètre par .7854.
Ex. X. Quelle est la surface d'un cercle dont le diamètre est 10? Rep. 78.94.
Si le diamètre était 100, la surface serait.............. 7854 Si le diamètre était 1000, la surface serait. ............ 785400
2. On a le diamètre 7 et la circonférence 21.991? pour trouver la superficie du cercle ? Rep. 33.1816.
8. Combien y at-il de verges carrés dans un cercle dont le diamètre est de 34 pieds ? Rep. 1.069016.
4. Le diamètre étant 7, quelle est Paire du cercle ? Rep. 38.4846. 5. ‘Trouver J’aire d’un cercle dont le rayon est de 304 perches ? | Rep. 2922.4731 perches carrées.
(31) REGLE LV. Multipliez le carré de la circonférence par 07958: le produit sera la surface du cercle. Car, soit e la circonférence donnée, d le diamètre et T=3.14159 ; alors (686 G.) :=7d, et e ds
pa
(687 &.) d=,; de là l'aire du cercle = 74" puisque (1024 G.) la
surf. d’un cercle dont le rayon est r=4r ‘et is d'= dr; mais puis-
2 2 2 C 2 /e C 7 d — d que d = 5 on a d= (:) 7e ; et comme —— = TT a , on T T = 2 2 3 2 c e e e 2. 1 3 DE D TT mms 2 Ü 2 = © + .07958 Tr je Lx S.11180 — 12.00080 12.566036 dos
Ex. 1. Trouver l'aire d’un cercle dont la circonférence est de 10.75. Rep. 9.196463750.
2, Déterminer, en acres, la superficie d’un terrain dont la circonférence mesure un mille (soit 80 chaînes de Gunter = 66 * 80 = 5280 pieds anglais) ? Rep, 50.9312.
PROBLÈME X
Trouver la surface d’un anneau cireulaire ou l’espace
compris entre deux cercles concentriques, (')
(32) REGLE HE. Trouvez (ALAA Gi.) par le dernier problème les surfaces des deux cercles : leur différence sera la surface de l'anneau.
REGLE EX, Multiplies (STA G.) la somme des diumètres par leur différence : ce produit multiplié par 7854 sera la surfuce voulue.
REGLE EEK, JMullipliezs la demi-somme des circonférences des deur cercles par lu demi-différence de leurs diamètres, c'est-à-dire par la largeur de l'anneau, et le produit sera la surface demandée,
Car chaque unité du diamètre correspond à 3.1416 unités de la circonférence ; donc si « C = a À = une unité ou partie quelconque du diamètre À B ou C D, l'excédant de la circonférence «4 b sur la cire, € D sera égale à l’excédant de À B sur «a b; d'où «a best moyenne arithméthique (42653 G.) entre cire. A et cire. C. Maintenant, (428 G) AE :ac:CF ::
cire. À B: cire. a b: cire. C D; donc «a ce est moyenne arithmétique entre AE, CF; et puisque l’are AË, indéfiniment petit, peut être considéré (4830 @.) comme étant sensiblement une ligne droite, la putie À E FC de l'anneau circalaire peut être regardée comme un trapèze ; or, surf, trapèze A E FC = (347 G.) a c x AC; donc aussi, surface anneau À C = cire. a b x AC.
Ex. 1. Combien y a-t-il de pouces carrés dans la surface d’un anneau circulaire dont le diamètre extérieur est 30 pouces ct la largeur 24 pouces ? ice. 215.955.
2. Les diamètres de deux cercles concentriques sont 15 et 10: quelle est l’aire de l'anneau que forment ces cercles ? &ep, 98,175. 1. el serait une allée autour d’un jardin circulaire, ia coupe horizintale d’une colonie évidée, le plin par-terre du mur d’une tour, une coupe perpendiculaire à l’axe
d'un tuyau ou conduit, etc., ete, Voir les bases parallèles du cylindre évidé du Tableau.
. On demande la surface de l'anneau dont les cercles contenants ont pour diamètres 9 et 5 ? Rep. 43,9824.
4. Les deux diamètres d’un anneau cireulaire sent 21.95, et 9.75; quel en est le contenu superficiel ? Rep. 279.9951. 5. Déterminer la superficie de l’espace compris entre deux cercles concentriques dont les diamètres sont 15 et 167 Rep. 213174, (33) Si les cercles À B, a b, n'avaient pas le même centre, comme c’est le cas pour une roue excentrique, il est clair qu’on aurait tout de même la surface de l’espace annulaire compris entre les À B cercles en faisant (Règle D) la différence de surface de chacun d’eux.
PROBLÈME XI
Trouver la longueur d’un arc de cercle. *
(34) REGLE #. Multipliez le nombre de degrés dans l'arc proposé par .0087266 et ce produit var le diamètre du cercle.
IREM, H. Puisque la circonterence est 3,1416 quand le diamètre est 1, il suit que 3.1416--360 = 0 .00837266 = longueur # de Pare d’un degré, sous un diamètre égal à l’unité. Ce quotient multiplié par le nombre de degrés dans un arc, sera la longueur de cet are dans le cercle dont le diamètre =1; et ce produit multiplié par un diunètre quelconque donnera la longueur de l'arc dans un cercle de ce diamètre.
1. Coupe on section centrale de l’anneau excentrique du Tableau ; projection sur un plan des bases opposées d’un tronc de cône oblique.
2. Voir parmi les modèles du Tableau les arcs limitatifs des segments et secteurs
de cercle, bases des onglets de cylindre, cônes et troncs de cônes droits, faces latérales, des pyramides sphériques et des sections de sphère évidée, etc.
3. On a déjà eu occasion de faire remarquer et il est d’ailleurs clair que l'exactitude d’un résultat r55 iuuité par celle des éléments qui y concourent; il est done à peine nécessaire de rappeler que suivant le degré de précision qu’on se propose, il peut devenir nécessaire de faire entrer en compte un nombre plus ou moins grand des décimales de l’unité de tel élément ; ainsi il est clair que la solution du problème dont il s’agit ici peut exiger que l’on remplace le rapport T = 3 1416 dout on se sert d'ordinaire par le rapport plus exact T = 3. 14159, ou par le rapport encore plus approximatif T = 3. 141012, T = 5.1415926, T = 3 , 14159265, etc., avec une décimale additionnelle du terme ou facteur T pour chaque décimale additionnelle de l’unité du résultat,
TOISÉ DES SURFACES. al
REMK %. Puisque la minute est le 60ème du degré, et la seconde la 60ème de la niinute ou le (60 x 60) 3600ème du degré ; si l'are proposé contient des minutes, où réduira ces minutes en les divisant par 60, à la décimale d’un degré et si l’on a aussi des secondes, on réduira d’abord les minutes en secondes pour diviser ensuite le tout par 83600 ; ce qui traduira comme auparavant en décimales d’un degré la partie fractionnaire de l’are.
Ex. 1. Le diamètre étant de 18 pieds, quelle est la longueur de
l'arc de 30° ? Rep. 4.712364.
2. Trouver la longueur d’un arc de 12°.10’ ou 1249, sous un diamètre 20 ? Rep. 2.123472.
3. Dans * cercle dont le diamètre est de 68, quelle est la longueur de l'arc 10°,15’ ou 10.25° ? Rep. 6.082396. 4. On demande la longueur d’un arc de 57° 17 44’ ; le rayon du cercle étant 25 pieds ? Rep. ?5 pieds.
Car 57° 17’ 44/' est la 3.1415926ème partie de 180°, c’est-à-dire, la longueur du rayon en termes de la circonférence. 5. Déterminer, dans un cercle dont le rayon est 20, la longueur d'un are de 50° 30’ 3”? Rep. 15.885.
REM. 3. Si le nombre de degrés dans l’are voulu n'était pas connu, on y arriverait facilement par la méthode du par. (785 G.) où la corde et la flèche de l’are sont données pour trouver le reste. (35) REGLE IX. Déterminez (785 G.) la longueur de la circonférence entière dont l'arc donné fait partie et établissez alors la proportion suivante, savoir: 360°: la longueur de la circonférence :: le nombre de degrés dans l'arc : la longueur de l'arc. Ex. 1. Sous un rayon 14, quelle est la longueur de l’arc de 60° ? Rep. 14.6607720, 2, La corde AB d’un arc A CB est de 30 pieds et la hauteur ou sinus-verse EC est A. : E de 8 pieds ; trouver la longueur de l'arc? E Rep. 354 pieds, près.
3. Quelle est la longueur de l’are dont là corde est 484 et la flèche 184? D Rep. 64.767 près.
4, Si la corde d’un arc mesure 20.386 perches, et son sinus-verse 4 perches ; quelle est la longueur de l'arc? Rep. 22.402 pere. près. 5. On demande la longueur d’un arc de cercle dont la corde est 40 et la hauteur 15? Rep. 53,33 près.
42 CLEF DU TABLIAU.
(36) REGLE III. On démontre ainsi que : L’on obtient, à peu de chose près, la longueur d’un arc, en soustrayant de huit fois la corde de la moitié de l'arc, la corde de l'arc entier, pour prendre ensuite le tiers de la différence.
Ex. 1. La corde d’un arc est de 36.75 et la corde de la moitié de
l’arc 23.2 ; quelle est la longueur de l’arc ? Rep. 49.616 près. 2. Quelle est la longueur d’un are dont la corde est 50.8 et la corde du demi-arç 30.6 ? Rep. 64.66 près.
REDMI. Quand on ne connaît que la corde et la flèche de. l'arc entier, on obtient au besoin la corde de la moitié de l’arc égal (365 G.) à la racine carrée de la somme des carrés de la flèche et de la demicorde. ,
PROBLÈME XII
Trouver l'aire d’un secteur de cercle.
(37) REGLE 1. Multipliez (480 2° G.)l'arc da secteur (c'està dire, la longueur de l’arc) par le demi-rayon. .
REGLE 1. Faites l'aire du cercle entier, ei établissez ensuite la proportion : 360 degrés: degrés dans l'arc du secteur :: l'aire du cercle entier : l'aire du secteur.
Ex. L. On demande l’aire d’un secteur, dont l’arc est de 18 degrés et le diamètre du cercle 3 pieds ? Rep. 0.353453.
2. Quelle est la surface d’un secteur dont l'arc est 20 et le rayon 10? Rep. 100.
8. L’arc d’un secteur est 147° 29’ et son rayon 25; quel est: le contenu superficiel ? Rep. 801.398,
4. Déterminer la surface d’un secteur, quand la corde de l'arc = 28 et la corde de la moitié de l’arc—16? Rep. 275.3.
5. Le rayon du cercle étant 10, quelle est la superficie du secteur dont la corde, de l’arc est 20 ? Rep. 157.08.
6. La corde de l’arc est 16 et sa hauteur 6; quelle est l’aire du secteur ? Rep. 88.873 près,
7. Trouver le contenu d’un secteur dont la hauteur de l’arc=4 et le rayon = 8? Kep. 66.858 près.
ee
1, Voir, parmi les modèles du tableau, les faces latérales des pyramides sphériques tri-acutangles, tri-rectangles et tri-obtusangles,
TOISÉ DES SURFACËS. 43
PROBLEME XIII
Trouver l’aire d’ur secteur d’anneau circulaire ou l’espace compris entre deux arcs de cercles concentriques.
(38) REGLE I. Multipliez (dém. de 82, R, KEL. TT.) la demi-somme des arcs intérieur et extérieur du secteur par sa largeur ; c'est-à-dire par la largeur de l'anneau dont le secteur fait partie, ou, ce qui est la même chose, par la différence des rayons des arcs concentriques qui le contiennent.
E REGLE HI. Trouvez par le dernier problème les surfaces dés deux secteurs concen- A F B triques ; leur différence sera la surface voulue. 1 .. "D ( Ô
Æx. I. L’arc AEB ou CFD d’un secteur AB d’anneau circulaire est de 3°, la largeur AC de l'anneau de ?# et le rayon AD de l'arc extérieur de 15 pouces ? Rep. La surface = 17.99875, soit 18 p. c
2. Les deux rayons d’un secteur d’anneau circulaire sont 10.625 et 4.875 et l’angle au centre O ou AOB c’est-à-dire l’arc ABB est de 270° ; on demande l’aire du secteur ?
Rep. 209.996, soit 210.
3. Les arcs qui comprennent un secteur d’anneau circulaire sont 11 pieds 9 pouces et 10 pieds 3 pouces, et la largeur de l’anneau 13 pouces ; quelle en est la surface ? Rep. 11} p. c.
4. Déterminer la superficie de l’espace compris entre deux demicercles ayant un centre commun, et dont les diamètres mesurent 20 et 30 ? Rep. 39.270 x 5—=196.35.
(39) REM. Si les secteurs compo- Ê 0 sants ABO, CDo n'avaient pas le même centre ; on ferait d’abord la surface de l'espace CFDO en ajoutant au secteur CFDo, ou en lui retranchant, suivant le le cas, la somme des triangles COo, DOo, pour prendre ensuite la différence entre AEBO et CFDO ; ce qui est clair.
1. Voir sur le fableau l'anneau concentrique, base du cylindre évidé. Voir aussi les faces latérales des sections de sphère évidée.
PROBLÊME XIV
Trouver la surface d’un segment de cercle. !
(40) REGLE A. Trouvez (423 G.) par l'avant dernier problème, l'aire du'‘secteur de même arc. 2° Trouvez ensuite l'aire du triangle formé par la corde du segment et les rayons du secteur. 3° La somme de ces surfaces sera (484 @.) celle du segment, si le segment est plus grand qu'un demi-cercle, et si le segment est moindre qu'un demi-cercle, sa surface sera égale à la différence de ces surfaces.
Ex. 1. Trouver l’aire du segment AEB dont E la corde AB est 12 et le rayon AC= 16.
AD 10 comp. ar. log. 9.000000 A B = +AB 6 0.778151 :: Sin. D 90° 10.000000 C : Sin. ACD 36° 52=66.87" 9.778151 ia x D F
—=73.74° =les degrés dans l'arc AEB.
Alors 73.74 x (84 IREM. 1. TT.) 0 0087266 x 20 = 12.87 = longueur (près) de l'arc AEB et AEB x AC=12.87 x 5=64. 35= surf, secteur AEBC.
Maintenant CD=YAC2—AD2=7/100—36=4Y64 = 8 et 6 x 8 = 48 surface du triangle ACB. De là, feet. AEBC—ABC=64. 35—48=
