OLEF DU TABLEAU, ‘PROBLÈME XVII

Trouver ‘ la circonférence d’une ellipse.

(477) Cette figure que fait voir toute coupe FT, AD (997 G.) ou FE, RN (41699 G.) d’un cylindre, ou be (1055 G.), ac (1056 G.) d'un cône par un plan qui étaut incliné à l’axe de ces solides en rencontre les deux côtés, se présente fréquemment à la considération du mesureur, ? On la retrouve dans le cirque, l’amphithéâtre, le parterre, ete., et sur une plus petite échelle dans l’œil-de-boue, ete. mais c’est surtout la demi-ellipse que l’on rencontre, dans la coupe des voûtes de toutes sortes, dans la tête cintré d’une porte ou fenêtre, ou d’une ouverture arquée entre deux appartements, ete.

(48) On serait peut-être tenté de croire, au premier abord, que la circonférence de l’ellipse dût être une moyenne arithmétique entre les circonférences de deux cercles avant pour diamètres respectifs les grand et petit diamétres de l’ellipse, ou ce qui est la même chose, que cette circonférence dût être égale à celle d’un cercle dont le ravon serait égal à la demi-somme des grand et petit rayons de l’ellipse, c’est-à-dire, dont le rayon serait moyen arithmétique entre les demi-diamètres de l’ellipse ; et il en est à peu près ainsi pour les ellipses dont les diamètres nefdiffèrent, l’un de l’autre, que de 45 à 20 pour cent; mais pour se persuader qu’il n’en est pas toujours ainsi, on n’a qu'à recourir à un cas extrême (comme on l’a déjà fait au par. (828 G.) En effet, supposons que pendant que le petit axs de l’ellipse est 1, le grand axe soit 1,000,000 ; il est évident que la circonférence d’une telle enipse sera sensiblement égale au double de son grand diamètre, c-à-d., 2,000,000 pendant que la demi-somme 500000 +.5 ou 500000 (car on peut négliger le 5), des axes X 3.1416 = 1,570809 ; et si le petit diamètre était infiniment petit relativement au grand supposé égal à 2, la circonférence exacte serait 4, (doubledu grand axe) pendant que la circonférence moyenne arihméthique ne

1. Quoi qu’on ne puisse à l’aide des principes dont il a été question jusqu'ici, donner une démonstration de cetto règle et des quatre suivantes; on a cru cependant devoir les insérer iei pour compléter les règles nécessaires au toisé des surfaces planes, ou de celles (4A1&4@ Gr. D'ail.) qui étant à simple courbure, peuvent se développer en surfaces planes.

2. Voir parmi les modèles du tableau, les bases et coupes des cylindres, cônes et conoïdes, ete., obliques et des troncs de ces corps. Ces ellipses sont de divers degrés d’excentricité ou ont leurs diamètres dans des rapports variés.

serait que de 3.14159, etc., l'erreur étant dans ce cas de 4—3, 1416 = 8584 ou près d'un quart. Mais, si l’on ne peut correctement obtenir la circonférence d’une ellipse, de cette manière, il est démontrable qu'on y arrive exactement par la méthode suivante :

(49) RGLE LH. Multipliez la racine carrée de la demi-somme des carrés des deux diamètres de l’ellipse par 3.1416, et le produit sera la circonférence voulue.

Ex 1. Le grand diamètre AB d’une ellipse est 15 et le petit diamètre 12 ; quelle en est la circonférence ?

2 \n?2 is sep ER” (39 G.)=VI8T5=13.

583 et 3.416 x 13,583=—42.6723528.

2. Les grand et petit axes étant respectivement 25 et 20 ; déter-

miner la périphérie de l’ellipse ? Rep. 69.3979, 8. Les demi-diamètres d’une ellipse sont 124 et 74; quelle est le périmètre ? Rep. 64.7667.

(50) Il est clair que la demi-ellipse CBD est égale en périmètre et en surface à lu demi-ellipse ACB, et que chacune d'elles a pour mesure la demi-circonférence et la demi-surface de l’ellipse entière, Cette règle et la suivante qui enseignent à trouver la circonférence et la surface de lellipse entière fournissent donc aussi le moyen d'arriver au périmètre ACB ou CBD ou à la surface de la demi-ellipse du même nom.

Il est de plus évident que tout autre diamètre EH divise l’ellipse en deux parties de même surface et de même périmètre.

(51) Il est une propriété importante de l'ellipse qui nous permet de la tracer avec facilité ou de découvrir si une figure curviligne qui ressemble à une ellipse en est une ounon ; c’est que la somme FC + FC, EG + F’G, des rayons menés de deux points F, F’ situés sur le grand diamètre et qu’on nomme foyers ou centres de l’ellipse, à un troisième point quelconque C ou G, etc., sur sa circonférence, est constante et égale au grand diamètre AB ; or il est clair que cette propriété là même nous permet d'établir les foyers. En effet, les deux diamètres d'une ellipse quelconque étant donnés, du point C ou D extrémité du petit axe, comme centre et avec un rayon CF=CF'=OA ou OB= + AB on intersectera AB en F et F'’ les foyers voulus ; puis, des points F et F’ comme centres, avec des rayons FG, FC dont la somme= AB, c’est-à-dire, avec un rayon quelconque FG moindre què FB et un autre rayon F’G égei à la différence entre le premier

50 OLEF DU TABLEAU.

rayon FG et le diamètre AB, l’on tracera des arcs dont les intersections en G donneront un point, et en répétant l'opération une suite de points par lesquels on fera passer une courbe qui sera l’ellipse voulue,

(52) Ou, l’on fixera en T'et F” des aiguilles auxquelles on attachera les extrémités d’un fil d’une longueur telle que l’on ait FC + F'C ou FG + F°G=AB ; il suffira alors de tenir le fil tendu au moyen d’un crayon ou d’une pointe que l’on promènera tout autour des deux foyers pour compléter le tracé de l’ellipse.

(53) Pour faire la méme opération sur une grande échelle ; après avoir pris FG ou F’G à volonté, moindre que AF’ ou BF, mais plus grand que AF ou BF’, connaissant l’autre rayon = AB—FG où AB— F'G, suivant le cas, et FF’ étant ainsi connu=2 OF=2/GF2—C0? =2VO0A2—0C? on n'aura qu’à calculer l’un FF/G ouF’FG des deux angles à la base du triangle GF’F et mener l’un des deux rayons de la longueur voulue et sous l’angle requis pour donner un point G de la circonférence proposée ; cette opération répétée donnera une série de points par lesquels on fera passer une ligne qui sera la circonférence demandée. Observons aussi que l’on s’exempterait le mexurage du rayon GF ou GF’, en calculant chacun des angles en F et en F'’ pour opérer ensuite une intersection G des directrices FG, F’G.

(54) Ajoutons qu’une construction géométrique ou graphique sur une petite échelle aurait l’avantage de donner d’une manière plus expéditive et souvent assez exaete tous les angles GFF’, GF'F, etc., nécessaires à la détermination des intersections ou, points G du périmètre voulu.

(55) On trace encore l’ellipse comme suit: Soit ac= AO ou BO I, demi-grand axe, ab=CO où DO demi petit axe. En faisant mouvoir la droite ac de manière à tenir le point e sur le diam. DC et le point b sur le diam. AB, le point a décrira l’ellipse voulue. Dans la pratique la droite ac est une tige ou tringle quelconque, avec des aimants ou points saillants en a, b et c, et l’on dispose à l’endroit des diamètres AB, CD des tringles, rainures ou coulisses pour servir de guides aux points b et c.

(56) REGLE K , Quand les diamètres ne sont pas très-inégaux,

on obtient assez correcten. nt la circonférence de l’ellipse en faisant le produit de la demi-somme de ces diamètres par 3.1416.

Ainsi les trois derniers exemples calculés de cette manière donnent respectivement pour réponses 42.41 au lieu de 42.67, 11 at lieu de 69.40, et 62.83 au lieu de 64.76; c’est-à-dire, que quand h

différence entre les diamètres n'excède pas E ou + ou quand les rapports entre les diamètres sont ceux de 5 : 6 ou de 4 : 5, l’erreur dans le résultat ne va pas au-delà de ;} ou :45, et lorsque ia différence entre les diamètres est de ? ou que ces diamètres sont entre eux comme 15:25 l'erreur devient 4 à peu près du résultat entier: Quand les diamètres sont entre eux comme 1 : 2, les circonférences obtenues jar les deux règles sont entre elles comme 47.12 : 49.66 l'erreur étant dans ce cas 4, près. Les diamètres étant comme 1 : 3 les circonférences sont à peu près : : 63 : 70, l'erreur étant dans ce cas de ;; près. Quand les diamètres sont : : 1: 5, les circonférences sont

::94 : 113 et l'erreur de ! près. Enfin si les diamètres étaient entre eux :: 1:10 les Dénibtiés seraient : : 173:223, et l’erreur de Æ ou de + près. Ce qui mettra en mesure de faire choix de l’une ou l’autre règle suivant le degré d’exactitude voulue dans le résultat,

REM, D'ailleurs il est clair qu’on pourrait aussi, après avoir trouvé la circonférence voulue, d’après cette seconde règle, la corriger par l'addition du taux d’erreur ou de défaut proportionné au rapport entre les diamètres, et tel qu’établi plus haut.

PROBLÈME XVIII. Déterminer la surface d’une ellipse. !

(57) REGLE. ZJMultiplie: le produit des deux diamètres par 7854 ; le résultat sera la surface voulue.

Ex. 1. Quelle est l’aire d’une ellipse dont les diamètres sont

24 et 18 ? Rep 23 x 18—432= AB x CD, et 432 x .7854= 339.2928 = surf. ACBD.

2. Si les axes d’une ellipse sont 35 et 25, quelle en est l’aire ? Rep, 627.225.

3. On demande l’aire d’un ovale dont la longueur est 70 et la largeur 50 ? Rep. 2748.91.

4. L’axe majeur d’une ellipse mesure 840 chaînons, l’axe mineur cu chaînons : on demande le nombre d’acres dans cette enceinte ? Rep. 4 acres 6 perches,

(58) REM. Puisque la règle donne pour surface de l’ellipse

l'expression AB.CD x.7854 ou ce qui est (87 @r.) la même chose

1. Les faces composantes de plusieurs des modèles du ‘tableau ” présentent des ellipses de divers degrés d’excentricité ou dont les diamètres sont entre eux dans des

rapports variés.

52 OLEF DU TABLEAU,

VAE-CD )‘ x .7854, il suit évidemment que l’ellipse est égale en sur-

face à un cercle dont le diamètre serait moyen proportionnel entre les deux diamètres de l’ellipse. Soit d ce diam. moyen, on à AB : d::d:CD et puisque (104 G.) AB° :d° :: d°:CD° ilest clair aussi que la surface de l’ellipse est moyenne proportionnelle entre celle des cercles inscrit et circonscrit, c’est-à-dire, entre celles de deux cercles ayant pour diamètres respectifs les deux diamètres de l’ellipse.

(59) REM. Aiïdés des deux règles qui enseignent à déterminer la circonférence et la surface d’une ellipse ; on pourra les substituer avec avantage à la méthode moins précise et plus longue du par. (437 G.) dans l'estimation des périmètres et surfaces des bases curvilignes, c’est-à-dire, (4% FT.) elliptiques, du cylindre oblique et du tronc de cylindre (987 et 1099 G.) ainsi que celles du cône oblique et du tronc de cône (1055, 1065, 1667, 11490, etc. G.)

PROBLÈME XIX

Trouver la surface d’un anneau elliptique.

(60) REGLE 1. Déterminez séparément les surfaces des deux ellipses concentriques, et prenez-en la différence qui sera la surface voulue.

REGLE IX. Multipliez la demi-somme des circonférences parallèles des deux ellipses limitatives par la largeur de l'anneau.

Ex. 1. Quelle est l’aire d’un anneau elliptique dont les diamètres intérieurs sont 10 et 20 et les diamètres extérieurs 12 et 22 ?

Rep. 10+20+.7854=157.08, 12 x 22 x .7854=207.3456 ; la différence 50.2656 de ces deux résultats est la suaface voulue de l’anneau.

2. La circonférence extérieure d’une ellipse est 100, la circonférence intérieure 90, la largeur de l’espace intermédiaire étant de 8.5, ; on demande la surface de l’anneau ? Rep. 332.5.

8. Déterminer la superficie d’un demi-anneau elliptique, dont les périmètres parallèles mesurent 93 et 77 pouces et la largeur 10 pces?

Rep. 850 pouces carrés ou 5.9028 pieds c.

4. Evaluer l'aire d’une partie quelconque Aa cC d’un anneau elliptique, dont l'arc extérieur AC est 15, l’arc parallèle ac 12, et la largeur 37? Rep. 40 5.

REDT. Il est à peine nécessaire d'observer que si la largeur de l'espace annulaire n'était pas partout égale, où même si Pellipse intérieure avait une position quelconque par rapport à son enveloppe extérieure, où un rapport quelconque entre ses diamètres, on n’en obtiendrait pas moins la surface voulue par la première des deux règles de ce problème,

PROBLÈME XX

Trouver la surface d’un segment d'ellipse ädvat la base

est parallèle à l’un o ’ à l’autre axe de l’ellipse. !

(61) REGLE. Divisez la hauteur du segment par celui des deux diamètres dont cette hauteur fait partie, el trouvez dans la table annerée à ce traité le segment de cercle dont le sinus-verse est égal au quotient. Faites alors le produit continu du segment ainsi trouvé et des deux axes de l'ellipse ; ce produit sera la surface voulue.

Ex. L Evaluer laire du segmont A elliptique AGH dont la hauteur AK= C c 10, et les deux axes AB, CD, 34e6 25? E y F Rep. 162. 02 À. 0 B 0 h

2. Quelle est la surface d’un segment d’ellipse, dont la base GH est à 36 du centre O, les axes étant 120 et 40. Rep. 530. 75.

8. Déterminez la surface d’un segment d’ellipse, dont la hauteur CL est 8 pouces ; les deux axes étant 4 et 3 pieds. Rep.

(62) REM Si les segments d’ellipses ACD, acd, ace, de la fig du par. (4140 G) répondent à la définition de l'énoncé de ce prob. on pourra au besoin faire l'application de la règle ici donnée pour en exprimer les surfaces. On estimerait de même au besoin la superficie du segment d’ellipse qui forme la surface supérieure de l'onglet fig, 2 du par. (LE43 @.) Et si le segment à estimer était la sone ou partie AEFB, CGHD, on aurait la surface voulue égale à la différence entre les demi-ellipses ACB, CAD et leurs segments respectifs ECF, GAH.

1. Plusieurs des onglets de cylindre, de cône et de sphéroïde du {ableax présentent dans leurs coupes ou sections des segments d’ellipse, les uns plus grands, las autres plus petits que l2 demi-ellipse; d’autres, des demi-ellipses; d’autres enfin, des zones d'eliipse.

PROBLÈME XXI

Trouver la surface d’une parabole. !

(6%) Cette figure est celle que présente la coupe d'un cône par un plan parallèle à son côté incliné, (ADC, fig. du par. (11406) en donne une idée). Elle a ceci de particulier que tout point E, H; ete., de la courbe est également éloigné d’un point F qu'on appelle foyer et d'une droite M NX perpendiculaire à l'axe CD) qu’on appelle directrice et dont la distance SC du sommet € de la parabole est égale à la distance FC du foyer au sommet; c’est à dire que l’on a toujours EFZ=EM, HF=HN, etc; or on démontre que lendroit F du foyer se trouve en bissectant BD en T, joignant CT, et menant TR perpendiculaire à CT pour avoir DR=CF=CS. Le foyer F trouvé et la position de la directrice MN déterminée, on trace la courbe en menant un série de droites indéfinies GH (appelées ordonnées) parallèles à AB ou perpendiculaires à l'axe CD ; puis, du foyer F comme centre et avec un rayon US égal à la distance entre les parallèles GH, MN on intercepte GH en G et H, ce qui détermine deux points dans le périmètre de la parabole. Cette opération suffisamment répétée donnera une série de points, par lesquels on fera passer une courbe qui sera la figure voulue.

(64) On trace encore la parabole à l’aide d’une équerre abe, dont la branche be est égale à la distance de la directrice MN à la base KL de la parabole proposée. A l'extrémité ce de l’équerre et au foyer F, l’on attache un fil eGF égal en longueur à cb. On glisse alors la branche «ab de l’équerre le long de la directrice MN en tenant en même temps le fil tendu le long de la branche be, au moyen d’une pointe ou crayon dont le mouvement décrit la parabole voulue.

(65) BEGLE, Multipliezs la base par la hauteur et prenez les deux tiers du produit pour la surface voulue.

Ex. 12. Trouver la surface de 11 parabole a0M S$ N ACB dont la base AB est 20 et la hauteur CD 18? Rp. 210

2. La base d’une parabole est 13.5, et la hauteur 11 .25 ; quelle en est l’aire ?

ep 101.25.