CD=10, AD=8 ; quelle est la surface

ep. 1062.

1. Cette figure, comme toutes les autres figures dont traite le ‘ toisé des surfaces’?

se trouve parmi les faces constituantes des modèles du Zableau, voir à cet effet, les onglets de cône et de conoïde,

(66) REX. Il suit de ia définition de la parabole que toute partie GCH, ECV de la parabole ACB terminée par une base GH, EV parallèle à AB, est encore une parabole, et non un simple segment, comme dans le cas de Pellipse ; car le cône peut être sensé coupé par un plan parallèle à sa base et cela tant en deça qu'au delà de cette base en KL sans cesser d'être un cône et par conséquent, sans que la définition de la section KCL ou ECV, ete., en soit aucunement altérée.

D'où il résulte que pour arriver à la surface d’une zone, d'un seument AEVB &e parabole par une ligne quelconque EV parallèle à s: base, on n'aura qu'à prendre la différence des puraboles entière et partielle ACB, ECV.

(67) Il y à encore, l'hyperbole 1 (section d'un cône par un

1. L'Ayperbole ACB se voit à l'endroit des coupes ou sections de certains onglets de cône er de ee nvïie que l’on trouvera parmi les modèles du Zubleau,

Cette courbe est, mais dans un sens inverse, analogue à l’ellipse, Aïn-i, pendant que daus l’ellipse (DA 'N.), c’est la somme des rayons menés des deux foyers qui est constaite où inva iable, dans l’hyperbole, au contraire, c'est La différence de ces mêmes rayons qui demeure c'ntante; ce qui fait que les deux moitié, parties où branenes de la courbe (h;perboles con jugées comme on les appelle) présentent l’une à l’iutre, non leurs (ô és A concaves comime dans l'eliipse, mais leurs extré- D mités, somincts ou côtés convexes. Pour tracer cette courbe sans conditions de dimen-

sion:, c’est à-dire, san: conditions quant aux dimensions du cô e où quant à la position du plau de section, ayant pris à volonté deux points, F, F, éloi. rés l’un de l’autre d’une aistance arbitraire, puis de l’un de ces points ou fuyers avec un rayon quelconque ayant décrit de chaque côté de l’axe, (c’est-à-dire, de la ligne qui relie les foyers) un are, l’on décrira de l'autre foyer comme centre ct avec un rayon excédant le premier d'une didérence donnée deux autres ares qui à l'endroit de leur intersect:on avec les deux premiers ares détermineront 2 points de la courbe voulue. L’on repétera cette opération avec deux nouveaux rayons, prenant garde toutefois que le second rayon excède toujours le premier de la différince donnée, (laquelle comme on l’a vu doit demeurer constante) ve qui fournira deux autres points dans la courbe à décrire; et l’on cui tinuera à déterminer ainsi d’autres poiuts de la courbe jusqu’à ce que leur suite et direction rendezi évident le parcours de l'hypervole. Si, maintenant, l’on transpose les rayons, il est clair que l’on aura une nouvelle série de points, celle de l'hyperbole conjugée. On appelle centre de l’hyperbole, comme de l’ellipse, le point O qui est à mi-chemin entre les deux foyers.

L'on peut encore, comme pour la parabole et l’ellipse traser l’hyperbole par un moy n mécanique, Prenant une règle que l’on assujettira par un bout, à l’un des foyers de la courbe à décrire, et de manière que la règ'e soit mobile autour dudit foyer l'on reliera l’autre extrémité de la règle au second foyer par une corde ou ligne qui devra être m: ins longue que la règle, de la différence voulue entre les rayons; alors un crayon ou une peinte quitiendra la c« rde tendue et en même temps en contact avec la règle déerira, pendant que la règle tournera autour du premier icyer, l’hype bole voulue et la transposition de la règle et de la corde permettra de décrire à volonté l’autre

branche de la courbe.

plan qui en rencontre la base sous un angle plus grand qne celui que fait le côté du cône avec cette base) la eycloide, (que fait décrire à un point situé sur la circonférence d’un cercle maintenu dans un même plan, une révolution entière du dit cercle le long d’une droite qu'on appelle base de la courbe, laquelle ressemble fort à une demiellipse, fig. du paragraphe (65) et plusieurs autres figu:ies curviiignes. dont où peut avoir à évaluer les surfaces et périmètres, et pour lesquelles il existe des règles spéciales qui permettent d’en établir avec toute la précision voulue les aires et circonférences relatives ou absolues; mais on remarquera ici comme on l’a déjà fait (1456 G.) qu'il y aura généralement à s'enquérir tont d’abord de l'espèce même de la figure proposée; et le travail seul qu'exigerait cette opération préliminaire serait souvent suflisant pour décider de recourir de suite à l1 méthode du problème suivant.

(68) Un œil même exercé aura souvent peine à se rendre compte . de la nature de la figure à estimer, et l’on commettra parfois d'assez graves erreurs en s’y méprenant. Il y:

par exemple la courbe ALCFB, dite ansede-panier et d’autres de cette sorte qu'on retrouve souvent dans la coupe d’une voûte et dans la tête cintrée d’une ouverture, et qu’on serait peut être quelquefois tenté de prendre pour une ellipse, afin d'en évaluer le contenu superficiel d'après la règle a; licable à cette figure ; or, l'on voit que dans le cas actuel la différence AECe+ BFCF (ou 2 AE) entre les deux figures, peut être trop considérable pour permettre de

la négliger.

PROBLÈME XXII

Déterminer la surface d’une figure curviligne

quelconque.

(69) REGLE. Divisez la fig're entière, si elle est irrégulière, (c'est-à-dire, si les parties correspondantes ne sont pas symétriques) la moitié ou le quart, si elle est régulière, en trapèzes de même largeur ou hauteur, et procédez ensuîte à In manière du problème VI, doublant ou quadruplant au besoin la surface ainsi trouvée pour avoir l'aire entière

de la figure.

(2 (70) La méthode d'évaluation par trapèzes, sera d'autant plus exacte qu'il y aura dans la figure à estimer des concavités et convexités adb,bec,compensatoires l’une de l’autre, comme l’on en remar-

(*) Parmi ces figures, a est l'uve ou ovale ; (telle est la coupe verticale de l’œuf, ete.,) best l’ellipse, (telle est la coupe du melon, etce.,) ou toute autre figure analogue, l'œil-de-bouc, la coupe du sphéroïde, l’amphithéâtre, ete.; cest la demi-ellipse, ansede-panier, cycloïde, tête cintrée surbaissée d’une ouverture, coupe d’une voûte, etc. ; d,une figure eurviligne irrégu!ière quelconque; e, une parabole ou autre figure analogue, hyperbole, tête cintrée surhaussée d’une ouverture, coupe d’une voûte, coupe verticale d’un conoïde, d’un dôme, ete.; f est l'arche rampante ou la conpe d’une voûte ineinée ; g est la surface latérale ou convexe développée d’un onglet de cylindre droit; à, la surface latérale développée d’un onglet de cône droit ; "” le développement de la surface d’un onglet de cylindre ou de cône oblique. Les lunettes ou intersections de voûtes, dont on a fait déjà mention à l’article (LAB G@.) présentent aussi des surfaces dont le développement offre à la considération du mesureur les trois dernières figures que l’on vient de définir. La surface latérale développée d’un tronc de cylindre roit présente la forme 4; et il suit du par. (997 Gi.) et de la dém. du par. (1099 G) qu'il suffit de multiplier la demi-somme de sa moindre et de sa plus grande hauteur r, rs, par la longueur op perpendiculaire à rs ou vf, cette largeur étant évidemment égale à la circonférence developpée d’une section du cylindre par un plan perpendiculaire à son axe ou côté. Le développement de la surface latérale d’un cylindre oblique (887) présente la figure », dont la hauteur »s qui est celle du côté incliné du ylindre, est partout uniforme, l’aire de l’enveloppe étant par conséquent égale au roduit de »s par la largeur op, périmètre d’une section perpendioulaire à l’axe ou au ôté du solide.

Il est utile de dire aussi que si l’onglet de cylindre droit dont la fig. g est l'enveloppe, u lieu d’être partiel comme KLNE ou KLRF page 409, est entier ou complet comme ADd, page 388 &. on aura la superficie de 4 en faisant Le produit de op par la moitié de 's, car dans ce Cas g ne sera autre qu’une enveloppe # de tronc de cylindre dont la mondre hauteur wt serait égale à zéro. En ajustant à la paroi latérale d’un onglet ou tronc de cylindre et de cône du tableau, une feuille de papier, pour ensuite le tracer ü découper à volonté, l'élève se fera une excellente idée de la nature des surfaces développées dont il eat ioi question.

58 OLEF by TABLEAU.

que dans les figures g, k, m, k, puisque alors le segment bec qu'on néglige en considérant comme trapèze la partie BCceb de laire à évaluer, sera compensée par le segment adb qui est de trop dans le trapèze ABba,

(71) Mais quand la figure sera toute convexe on ajoutera à la précision en faisant entrer en compte la somme des ments abd, bee, ete., dont on fixera à l'œil ou autrement la largeur moyenne que l'on mu'tipliera par le périmètre correspondant adbec pour en avoir la surface.

(72) Observons aussi que au lieu de regarder comme nulle la hauteur initiale de la figure, à l'endroit À de la naissance de la courbe, ce qui donnerait pour air& de la partie ABbdaA de la fig. le triangle ABb, on obtiendra plus d’exactitude en regardant comme ligne droite la partie presque ferticale Aa de la courbe, ce qui donnera alers pour surface plus approximative de cette partie composante de la fig. le trapèze AabB au lieu du triangle AB.

Il est clair aussi qu’une subdivision continue Da, Ee, et suffisante pour permettre de considérer comme étant sensiblement des lignes droites les parties ad, bd, be, etc., de la circonférence convexe où concave de la fig. aura aussi l’effet d'ajouter singulièrement à l’exactitude du résultat.

(73) Il est encore un moyen assez correct et expéditif d'arriver à la surface d’une figure irrégulière ABCD, celui de la réduire en une figure régulière ou rectiligne équi- À valante quelconque par des Hignes compen-, satoires ab, be, c’est à-dire, telles que la somme des parties excluses par ces droites soit égale en surface à h somme des parties comprises dans leur enceinte, opération graphique ou mécanique pour l'exactitude de laquelle on s’en rapportera sou vent à une appréciation oculaire.

(74) Enfin, pour ce qui est de l'évaluation des longueurs développées des périmètres des figures dont il s’agit ici, remarquon encore comme on l’a fait, page 596 G, que la manière souvent la plus expéditive et non la moins exacte d'y arriver, consistera dans l'en ploi d’un fil ou ruban ou de tiges ou triangles en bois ou en méti assez minces pour permettr» le les ajuster au périmètre à estimer, afin d’en déduire de suite les dimensions voulues.