PROBLÈME VIII

Déterminer le volume d’un tronc de prisme quelconque.

(Voir le tableau.)

(“) REGLE. Faites d'abord céparément (1098 G.) par les règles précédentes le volume de chacun des troncs de prismes triangulaires composants, pour en prendre ensuite la somme.

Ex. Un déblais de terre préserite la forme d’un tronc de prisme droit ayant pour base le polygone ABCDEA ; la surface de Ia base composante ABC est de 50 verges carrées, celle de la base ADC=73 verges ot celle de la base ADE 65 verges ; les hauteurs ou longueurs des côtés parallèles À, B, C, etc., sont respectivement de 7, 8, 9, 13 et 11 pieds; quel est le nombre de verges cubes dans le solide proposé ? Rep. (1103. 20° G) 450 x 1(7 +8 +9)+637 x 1(7+9 +13 +585 x 4 (7+13+11=3600 + 6351+6045=15,996 pieds cubes ; divisant par 27, on à 59242 verges cubes.

REM. Ici on a réduit en pieds carrés les surfaces des bases données en verges carrées, et l’on à divisé par 27, mais il est clair que puisque 3 fois 9=%,. ce serait la même chose de multiplier de suite par les verges pour diviser ensuite par 3.

PROBLÈME IX

Trouver le volume d’un coin.

(Voir le tableau.)

(80; BEGLE. 4 la somme des surfaces de l'une quelconque de ses trois paires de bases parallèles, ajoutez 4 fois la section centrale ou médiane et multipliez en la somme par la 6ème partie de la hauteur correspondante à telles bases. Le résultat sera le volume demandé.

REM. Le coin, comme on l’a déjà fait remarquer (1000G.) v'est autre chose qu'un prisme triangulaire ou un tronc de prisme, suivant que l’arête e f'est égale ou inégale aux deux autres côtés ; ainsi la formule générale se remplacera suivant le cas, par l'expression simplifiée qui en dérive dans le cas du prisme, comme du tronc de prisme: Cependant dans le cas du coin, dont la base ou tête est d'ordinaire un rectangle et la coupe parallèle à cette tête, aussi un rectangle et partant très simple à calculer, l'étudiant trouvera peut être plus avantageux de s’en tenir à la méthode de la formule générale.

Ex. La base rectangulaire d’un coin est de 20 x 40 pieds, l’arête 35 pieds et la hauteur 10 pieds ; quel en est le volume ?

Rep. (40 + 40 + ei > 20 x 10) ou (1094 G. RE.) ÿ )

2. Quel est le contenu solidé d’un coin dont la base mesure 5 pieds 4 pouces sur 9 pouces, la longueur de l'arête 34 pieds, et la hauteur perpendiculaire 24 pieds ? ep. 4.1319 picds cubes,

&. Un plan incliné rencontre un plan horizontal et forme avec ce dernier un coin dont larête mesure 100 pieds ; la base rectangulaire 80 pieds sur 20 pieds et la distance perpendienlaire entre l’arête et la base 300 pieds ; quel est le volume du solide ?

Rep. 260,000 pieds cubes:

PROBLÈME X

Trouver le volume d’un prismoide (!)

REM. Une simple inspection des modèles du tableau fait voir d’un coup-d'œil la nature de la section ou coupe intermédiaire parallie aux bases et à mi-chemin entre elles, Cette question d'ailleurs est traitée en détail sous l’entête du problème LIX auquel l’on voudra bien référer pour tout ce qui à trait ou prismoïde.

(91) REGLES. À {a somme des surfaces des deuæ bases parallèles, AC, ac, ajou#z quatre fois la surface d'un section ou coupe parallèle

1 Ce solide, comme le prisme, se présente fort souvent à l'évaluation du mesureur, Les cuves rectangulaires à côtés inclinés sont de cette forme; un toit à croupes avec plate-forme, présente la même figure; les grands réservoirs ne sont antre chose que des prismoïdes renversés; on le retrouve, dans les bassins, quais, piliers, culées et constructions de cette sorte; les déblais et terrassements, fouilles et chaussés ete, prennent d'ordinaire cette forme; le remblais continu d'une voie ferrée se subdivise par des coupes on sections verticales en prismoïdes qui reposent chacun sur une de leurs faces latérales et dont les bases parallèles sont par conséquent perpendiculaires à l'horizon ; on retrouve le prismoïde dans chaque pièce de bois écarri dont les extrémités sont des rectangles inégaux, on le voit encore dans l'empilement des boulets et bombes, et il se répète encore souvent sur diverses échelles dans les arts et métiers, ete. On a remarqué (note page 412) qu'il faut se garder de confondre le prismoïde avec le tronc de pyramide, où plutôt, aurait-on dû dire, le tronc de pyramide avec le prismoïde, car il suit évidemment de la définition du prismoïde que tout tronc de pyramide à bases parallèles est en même temps un prismoïde et peut s'évaluer d'après la règle applicable à ce dernier; mais le prismoïde proprement-dit n’est pas un tronc de pyramide et on ne saurait en conséquence en déterminer le volume par la règle applicable au tronc de pyramide, quoique cependant dans certains cas cette dernière règle puisse donner une approximation très voisine de la vérité. Ajoutons aussi que, puisque quand il y a à ‘déterminer tout d'abord la nature du solide à estimer, il faut dans le cas du tronc de pyramide s'assurer de la proportionnalité des côtés aussi bien que de leur parallélisme, et qu'il suffit de leur parallélisme seul pour constituer le prismoïde ; on se sauvera souvent un travail inutile en regardant comme prismoïde tout solide dont les faces latérales seraient inclinées l'une à l'autre et les côtes des bases opposées parallèles entre eux.

TOISÉ DES CORPS OU SOLIDES, Ti

EG à distances égales de ces bases: maultipliez alors la somme ainsi

oblenue par un sivième de Lx hauteur ou distance perpendiculaire entre

les plans parallèles (KKOL G.) ct le résultat sera le volume demandé. Ex. l’une des bases d'un prismoïde

rectangulaire est de 20 x 25 pieds, l’autre am d

est de 10 < 15 pieds, la hauteur est de 12

pieds; quel en est la solidité ?

Rep. (25 x 20) + (15 x 10) +4 (20 x 15)

2. Un quai où pilier a pour bases À & parallèles des rectangles qui mesurent respectivement 100 x 50 pieds et 80 x 40 pieds, N la hauteur est de 30 pieds; quel en est le contenu en verges cubes. Rep. 451814. B M €

&. Une pile de pierre cassée mesure 100 x 20 pieds au bas, 96 x 16 pieds sur le dessus et a 3 pieds de hauteur ou épaisseur; quel en est le contenu en toises cubes ?

Rep. (100 : 20)+(96 + 16) + 4(98 x 18) x £(ou par h)--216—=24112 toises cubes.

4. Un déblaiïs, fouille ou excavation présente la forme d'uu prismoïde renversé; la surface inférieure de la fouille est de 10,000 mètres, la surface supérieure 14,400 mètres, la surface à demi-distance entre les bases parallèles est de 12,100 mètres et la hauteur ou profondeur de l’excavation est de 9 mètres; combien en a-t-on enlevé de mètres cubes ? K gp. 105,200.

5. Combien de pieds cubes d’eau pourra contenir un réservoir dont la base inférieure est un rectangle de 100 x °0 pieds, la base supérieure un rectangle de 180 x 130 pieds et la profondeur 20 pieds.

Rep. 262,666.

6, Quel est l’espace cubique que remplit un' toit dout la base est un rectangle de 40 x 60 pieds, le dessus une plate-forme rectangulaire de 20 x 40 pieds et la hauteur 12 pieds. Rep. 18,400 pieds cubes.

%. Quelle est la solidité d’une pièce de bois écarri dont la longueur est de 24 pieds et dont les extrémités sont des plans parallèles et rectangulaires de #0 x 27 pouces et de 24 x 18 pouces.

Rep. 102 pieds cubes.

8. Une auge dont la profondeur est de 20 pouces, a pour bases

parallèles des rectangles de 36 x 30 pouces et de 30 x 24 pouces. Rep. 10.3172 pieds cubes.

9. Un remblais pour voie ferrée mesure 300 verges en longueur, les extrémités en sont des trapèzes dont les côtés parallèles de l’un sont de 4 et 34 verges et la hauteur 10 verges, les côtés &e l’autre 4 et 19 verges et sa hauteur 5 verges; combien contient-i! de verges cubes ?

Rep. Surf. d'une extrémité=+# (4+34) x 10=190 verges, surf. de l’autre extrémité =4(4+ 19) x5=57#4 verges, surface intermédiaire =4(4 +4)+ 4034 + 19) x 4010 + 5)=15.25 x 7.5=114.375 verges carrées,

FRE AUS M A 114.375 x 4=—457.500, 190 + 57,5 + 457.5 = 705, et 705 x 4(300)=705 x 50 =35,250 verges cubes.

19. Une chaussée sur ÿa terrain en pente ou incliné mesure 100 mètres en longueur ; les surfaces des quadrilatères à côtés parallèles qui forment les extrémités verticales ou bases du prismoïde perpendiculaires à sa longueur, sut &e 120 et 80 mètres carrés, et la surface d’une coupe à mi-distance entre ces dernières est de 100 mètres; combien a-t-il fallu de mètses cubes pour le former? Rep. 10,000.

11. Quel est l’espace cubique cecupé par une pile de boulets dont la base rectangulaire e*t de 30 picäs sur 10, le plan supérieur 25 pieds sur 5 et la hauteur 4 pieüs ? Rep. 8337 près.

12. Le piédestal d’une statue équestre dont la haïteur est de 10 pieds, à pour bases parallèles des rectangles de 15 x 7 pieds ei de 12 —=4 pieds; quelle est la ralidité de la masse de pierre dont il esi formé ? Rep. 750 pieds cubes.

PROBLÈME XI

Trouyer la surface d’une pyramide régulière.

(Voir les pyramides sur le tableau stéréométrique.)

(92) REGLE. Multijtiez (1039 G.) Le périmèire (ABCDEA) de la base par la demi-hauteur inclinée (SF) ; le produit sera la surface latérale au convexe. À la surface latérale ajoutez celle de la base,

quand la surface entière est requise.

Fx. 1. Qnelle est la surface latérale d’une pyramide triangulaire régulière, dont la hauteur inclinée est 20 et chaque côté de la base d Rep. 90.

2. On demande la surface entière d’une pyramide régulière dont la hauteur inclinée est de 15 mètres et la base un pentagone dont le côte est de 25 mètres ?

Rep. 2012.778 mètres carrés.

8. Combien faudra-t-il de carrés de bar deau, zine ou autre métal, ete., pour recouvrir un toit en forme de pyramide régulière dont la base a 200 pieds de périmètre et la hauteur inclinée 33 pieds ? Rep. 3.

PROBLÈME XII

Trouver la surface latérale d’un tronc de pyramide régulière à bases parallèles. (Fig. du Prob. XI.)

(Voir sur le tableau les modèles de ce solide.)

(93) REGLE. Faites (1040 G.) le produit de la demi-somme des périmètres (ABCDE A, abcdea) des deu.c bascs par la hauteur inclinée (fF') du tronc ; vous aurez la surface voulue.

Ex. 1. Quelle est la surface latérale d’un tronc de pyramide heptagone, dont la hauteur inclinée est 55, chaque côté de la base iutérieure 8, et chaque côté de la base supérieure 4? Rep. 2,310.

2. Un toit à huit pans, terminé par une plateforme, a pour mesure de sa hauteur inclinée 17 pieds; la longueur du côté de l’octogone régulier qui en constitue la base est de 20 pieds, et le côté du polygone supérieur est de 10 pieds; on demande le poids du plomb qui le recouvre, le plomb étant de 6 livres au pied carré ?

Rep. 12240 livres.

8. Combien y a-t-il de pieds superficiels de pierre taillée dans la surface latérale d’une tour polygone dont les périmètres inférieur et supérieur mesurent respectivement 100 pieds et 80 pieds et dont la hauteur inclinée est de 40 pieds ? Rep. 3600.

PROBLÈME XIII

Déterminer la surface d’un pyramide, ou d’un tronc quelconque de pyramide, oblique ou irrégulière. (Voir les modèles du tableau.)

(94) REGLE. Faites (1059 G.) séparément la surface de chacune des faces composantes et prenez en la somme pour la surface voulue.

PROBLÈME XIV

Trouver la solidité d’une pyramide quelconque.

(Voir les modèles du tableau.) FORMULE GÉNÉRALE.

A la somme des surfaces des deux bases ou extrémités de la pyramide ajoutez quatre fois la surface d'une coupe ou section à mi-chemin entre elles ; la sixième partie du produit de eette somme par la hauteure du solide, sera le volume demandé.

(95) REDX. Ici, la base supérieure S, (sommet de la pyramide) n’est qu’un point et sa surface est donc nulle, ou =0. La surface de la coupe médiaue vaut exactement, et dans tous les cas, le quart de celle de la base, puisque ses dimensions linéaires sont 1 les moitiés de celles de la base et que les figures AC, ac,—XYZ, xy+ sont (1033 G.) des polygones semblables dont les surfaces sont comme les carrés des côtés homologues ; ce qui donne, comme on

1 Dans les triangles semblables A B 8, à bS, les côtés homologues sont (520 G) proportionnel. Donc, puisque a b est a mi chemin entre A BetS, on a À a — aS= 4 AS et par conséquent on a À B:AS :: ab:a8, c'est-à-dire à b = A B + 2,

vient de le dire, x $+=+. Maintenant la surface supérieure étant, comme on vient de ie voir égale à O, la formule devient, pour la pyramide : la surface de la base plus 4 fois la surface de la section à mi-hauteur multiplié par la sixième partie de la hauteur. Mais la surface à wi-hauteur étant le quart de celle de la base et comme 4 fois x font 1, la formule se simplifie encore et devient celle-ci: deux fois la surface de la base par le 6ème partie de la hauteur, expression qui se simplifie encore et se réduit enfin à la suivante. (Introduction, page 9.) (96) REGLE. Hultipliez (1049 G.) la surface de la base par le tiers de la hauteur, (95% G.) et le produit sera le volume requis. Ex. 1. Quelle est la solidité d’une pyramide, dont la base est un carré de 30 pieds de côté, et la hauteur 25 pieds ? Rep. 7500. 2. Le côté du triangle équilatéral qui forme la base d’une pyramide est de 3 pieds, sa hauteur est de 30 pieds; quel est le volume ? Rep. 58.9711.

8. Quel est le contenu solide d’une pyramide "exagone dont la hauteur est de 6.4 pieds et chaque côté de sa base 6 pouces ? Rep. 1.358564.

4. La hauteur d’une pyramide est 12, et chaque côté de sa base pentagonale est ? ; on en demande le contenu cubique ? Rep. 27.5276.

5. Quel est le volume de l’espace qu’occupe la toiture d’une tour octogone dont le côté est de 5 mètres, la hauteur du toit étant de 10 mètres ?

Rep. 5x 4.8284271 (28 T.)=120.7106775 mètres est la surface de la base octagonaie du toit et 120.71 x 10 + 3=402.366 mètres cubes.

PROBLÈME XV

Trouver le volumsæ d’un tronc de pyramide à bases parallèles.

{Voir les troncs de pyramide du tableau.)

(97) REGLE KE. À la somme des surfaces des deux bases ajoutez (1102 G..) quatre fois la surface d'une section à demi-distance entre elles, c'est-à-dire, d'une section dont les facteurs linéaires soient moyens arithmétiques (126353 Gi.) entre ceux des deux bases ; multipliez alors la somme ainsi obtenue par un sirième de la hauteur du tronc ; le produit sera le volume requis.

(98) REGLE. IX. 7rouvez (1061) d’abord une moyenne proportionnelle entre les deux bases ; fuites ensuite l'addition continue de

cette moyenne proportionnelle et des deux bases du‘tronc ; multipliez alors cette somme par Le tiers de la hauteur du tronc ; le produit sera le volume requis.

REM. Dans le cas du tronc de pyramide la formule stéréométrique n’est susceptible d'aucune simplification ; elle ne saurait se réduire comme dans le cas du prisme ou de la pyramide entière, en une expression plus simple. Au contraire, toute autre règle pour arriver au volume du tronc de pyramide est plus compliquée et exige plus de travail que la formule du tableau, soit que l’on veuille cuber le tronc en faisant la différence des pyramides entière et partielle (AS, as, fig. des pages 73, 74) ou arriver au résultat par la formule de Legendre que l’on trouvera ci-dessous. (REGLE. II. En effet, il faut dans le premier cas calculer par des règles de proportion, les dimensions linéaires de la pyramide partielle qui mauque au tronc sous considération pour former la pyramide entière dont le tronc fait partie, puis faire le calcul de chacune de ces pyramides; et dans le second cas il y a à trouver une moyenne proportionnelle entre les deux bases, c’est-à-dire, entre les surfaces de ces bases, opération qui requiert l'extraction de la racine carrée du produit de ces deux surfaces l’une par l’autre ; tandis que par la formule de l’auteur, on arrive de suite et sans difficulté à la surface de la section intermédiaire dont les facteurs sont chacun moyen arithmétique entre ceux des bases opposées du solide,

Ex. 1. Quel est le nombre de pieds cubes dans une pièce de bois dont la longueur est de 24 pieds et dont les extrémités sont des carrés de 15 et de 5 pouces de côté ?

Rep. V15° + 6° =90,225 + 36 + 90 = 351 = (--144) 2? pieds 54 pouces carrés, ce qui multiplié parle tiers de 24: 1e 19,5 pds. cubes. 2. On demande le volume d’un socle pentagone dont la hauteur

est 5 pieds, chaque côté de la base inférieure 18 pouces et chaque côté de la base supérieure 6 pouces. Rep. 9.319925.

8. Un fort dont la hauteur est de 15 mètres, a pour base un octogone régulier dont le côté est de 10 mètres, le côté du polygone supérieur est de 9 mètres ; quel est le volume de la tour ?

Rep. Surf. oct. inf.—(28 "T. )4.8284271 x 10° —482.84271 mètres car:Üs, surf, oct. sup.— 4.828471 x 9=391.1025951, surf. moy. prop. —=V482,84 x 391.10 —434,56, la somme des 3 surfaces = 482.84 + 391.1 + 434.56 = 1308.50, et 1308.5 x 4(15)—6542.,5 mètres cubes. «

Rep. Par la règle (1101 G.) du prismoïde, on a pour surface à demi-distance des bases parallèles (10 + 9)--2=9.5, et (9.5)° x 4.,828-

4971 = 435.76, x 4 = 1743.04, 1743.04 + 482.84 +, 991,1 = 9616.98, et 2616,98 x 1(15)=6542.45 comme auparavant, car la différence .05 entre les deux résultats vient seulement de ce qu'on n'a pas fuit entrer en compte dans les deux calculs un plus grand nombre de décimales,

REM. Dans ce dernier exemple, l'aire de la moindre base = 4.8284271 x 9° et celle de la plus grande base = 4,8284271 x 10 ; le produit de ces deux surfaces lune par Pautre est 4.828497L x ° x 4.8284971 x 10° — 48084971" x 9 x 10 dont la racine carrée est 4,8284271 x 9 x 10=la surface moyenne proportionnelle requise, Il est donc clair que dans le caleul du volume du trone de pyramide par la 1ère des deux règles ici données, on se sauvera un travail long et inutile en se servant de la méthode que l’on vient d'indiquer pour déterminer la surf. moy. pro. voulue, au lieu de multiplier l’une par l’autre les surfaces 482,84271, 391.1095951, pour en extraire ensuite la racine. Cette remarque s'applique aussi au tronc de cône prob. XXVIIT.

PROBLÈME XVI

Trouver le volume d’un tronc de pyramide quelconque, c’est-à-dire à bases non parallèles.’

(Voir parmi les modèles du tableau, un tronc de pyramide triangulaire à bases non parallèles.)

(89) REGLE 1. Divisez le tronc à cuber par un plan de section eFgh purallèle à l'une des bases a B c d, et passun! par le point le plus rapproché F de l'autre base, en un tronc de pyramide à bases parallèles et un solide qui se décomposera en autant de pyramides que le tronc donné a de côtés moins deux. Faites séparement le volume de chacun de ces éléments par les règles précédentes : leur somme sera le volume demandé.

(100) REGLE IF. Déterminez (1067 G.) séparément les volumes respectifs des pyramides entière et partielle; la différence de ces volumes sera lu solidité requise.

Ex. Les surfaces inférieure et supérieure on opposées d’un tronc de pyramide à bases non parallèles, sont 30 et 20 mètres, les hauteurs respectives des pyramides entière et partielle sont 33 et 17mètres ; quel est le volume du tronc ?

Rep. 30 x 4(33)—20 x 4(17)=220 mètres cubes—113$ mètres cubes = 216? mètres B cubes,

1 La figure n’est pas celle d’un tronc de pyramide, mais imaginez qu’elle le soit.