CLFF DU TABLEAU, * PROBLÈME XVII

Trouver la surface d’un cylindre droit.

(Voir les cylindres du tableau.)

(101) REGLE, Multipliez (893 G.) la circonférence de la base par la hauteur pour avoir la surface latérale. À cette surface ajoutez celles des deux bases si la surfuce entière est requise.

Ex. HE. Quelle est la surface latérale d’un cylindre dont le diamètre de la base est 20, et la hauteur 50 ? Rep. 3141.6

2. Quelle est le nombre de pieds superficiels de pierre taillée dans la surface convexe d’un pillier circulaire dont la hauteur est 7 pieds et la circonférence 8 pieds 4 pouces ? Rep. 584.

3%. Combien y a-t-il de verges d’enduits dans le pourtour et le plafond d’un appartement circulaire, ayant 20 pieds de diamètre et 10 pieds de hauteur ?

Rep. Cir.=3.1416 x 20 = 62.832, surf. convexe = 62.832 x 10= 628.32. surface du plafond= 20 x 20 x .,7854=314.16, surface voulue = 628,32 x 314.16= 104.72 verges carrées,

4. Quel sera le coût de polir la surface convexe d’une colonne en marbre dont le diamètre est de 12 pouces et la longueur 10 pieds, à raison d’une piastre le pied superticiel ? Rep. $31.42.

5. Une tour cylindrique dont la hauteur est de 10 mètres et le diamètre aussi de 10 mètres, a pour surface latérale ?

Rep. 314.16 mètres carrés.

6. On demande combien de pieds de surface il y a dans un pied courant du pourtour intérieur d’un conduit ou canal cylindrique, dont le diamètre est de 3 pieds ? Rep. 3.14159 x 3=9.42477.

4. Une voûte en pierre taillée est demi-cylindrique, son diamètre est de 10 pieds et sa longueur de 50 pieds ; quelle en est la surface concave ? Rep. 785.4 pieds carrés.

S#. Quel est le nombre de pouces carrés de dorure dans la surface d'une barre de fer dont la longueur est de 14 pieds et le diamètre de 1+ pouces. Rep. cire. 3.927 x 168=— 659.73.

9. Combien faudra-t-il de pouces superficiels d’argenture pour couvrir l’intérieur, c’est-à-dire la surface concave et le fond d’un vase cylindrique de 7 pouces de diamètre et 9 pouces de hauteur ?

Rep. le fond=7 x 7 x ,7851=38,4846 pouces carrés, la surf. con-

cave=3,1416 x 7 x 9 = 197,0208 pouces carrés, en tout 236,4 pouces carrés,

PROBLÈME XVIII

Trouver le volume d’un cylindre droit.

(Voir le tableau.)

REED, La formule générale se réduit ici, comme dans le cas du prisme droit, puisque le cylindre n’est autre chose qu'un prisme infinitaire, à l’expressio” suivante.

(102) REGLE, Multipliez (16238 G.) la surface de La base par la hauteur ; le produit sera le volume.

Ex. 1 On demande le volume d’un cylidre dont la hauteur est 20 et la circonférence de Ta base 54 ?

Rep. (5.5) x (31, T.) . 07958 — 24073 = surf. de la base, et 24073 x 20=48.146.

2. Un seau ou autre vaissean cylindrique a 15 pouces de diamètre et 12 pouces de hauteur; combien contiendra-t-il de gallons de vin, le gullon étant de 231 pouces cubes ?

Rep. 15 * 15 x .7854 x 129=2120,58 pouces cubes,--231=9,18 gallons ou 9 gallons, 1 chopine et 1 septier, près.

8, Une barre de fer battu a 14 pieds de longueur et 14 pouces de diamètre ; quelle en est la solidité en pouces cubes ? Rep 1.25 *X 1.25 x .7854 x 168 (ou 14 x 12)=206.1675.

4, Une colonne en pierre a 1 pied de diam. et 10 pieds de hau-

teur ; quel en est le volume ? Rep. 7.854 pieds cubes. 5. Quelle est, par pied courant, la capacité d’un tuyau ou conduit d’un diamètre de de 3 pieds ? Rep. 7.0686 pieds cubes.

68. La fondation d’une cheminée est une masse cylindrique dont le diam. est de 10 pieds et la hauteur aussi de 10 pieds; combien contient-elle de verges cubes de maçonnerie ?

Rep. 785.4 pieds cubes +27=29 verges cubes, ? pieds cubes.

7. L’essieu on arbre en fer d’une roue de moulin a 10 pieds de longueur et 9 pouces de diam.; quelle en est la solidité en pieds cubes ? Rep. 9x9 x .7854-+ 1728=4.418 pieds cubes.

80 OLEF DU TABLEAU,

PROBLÈME XIX

Trouver la surface d’un cylindre oblique.

(Voir le tableau.)

(103) REGLE. Multipliez (997 @.) la longueur AF ou ID du côté par la circonférence d'une section LR perpendiculaire au côté ou à l'axe PO du cylindre; le produit sera la surface latérale.

Ex. 1. La voûte demi-cylindrique d'une ouverture ou baie de pont qui traverse obliquement une rivière, à 30 pieds de diamètie et 20 pieds de longueur ; quelle en est la suface concave ?

Rep. 9424 pieds carrés, près.

2. Le bras d’une rampe desc. ‘er, terminé à chaque extrémité par les faces verticales des noyaux, mesure 104 poures de tour et 15 pieds de longueur ; quel est le nombre de verges superficiels de vernis dont il est enduit ?

Rep. 104 pouces=.875 pied, et 15 x .875—13.125 pieds carrés= 1 verge 4t pieds.

3. Quelle est la surface du zire dans un tuyau dont le diamètre est de 9 pouces et dont la ;,ongueur, 5 pieds, est terminée par les plans parallèles de deux coudes alternes (153 G.) ou tournésen sens inverses ?

Rep. cir.—3.1416 x 9=928.2744, cire. x60 et+144= 11,4 près pieds carrés.

PROBLÈME XX

Trouver le volume d’un cylindre oblique.

(Voir le tableau.)

REDMI. La formule générale se réduit ici, comme pour le prisme oblique à l'expression simplifiée suivante.

REGLE I. Multipliez la surface de la base par la hauteur du solide ; le produit sera le volume requis.

(104) REGLE IX. Multipliez (1026) /a longueur du côté par la surfuce d’une section perpendiculaire au côté ou à l'axe; le produil

sera le volume requis.

Æx. Quelle est le contenu solide du bras d'escalier du dernier prob. ?

Rep. Surf. sect. perp. = (81, '.) 10.5 x 10.5 x .07958 = 8.7737 pouces carrés, e68.7737 x 180 (la longueur en pouces) = 1579.26 pouces cubes, ou .914 pied cube, ou ;, près.

Ex. La surface de la base d’un cylindre est 3.33 mètres carrés et la distance perpendiculaire qui sépare ses deux bases, est 10 mètres ; quel en est le volume ? Rep. 33.3 mètres cubes.

PROBLÈME XXI

Trouver la surface d’un tronc de cylindre droit ou d’un tronc de cylindre oblique dont les grands ou petits axes CD, FE ou GH, LK des bases opposées, sont (1099 G) dans un même plan CDEF ou GHKL.

(105) REGLE EH Si le tronc est droit, multipliez (dem. de 1099 et 1097 G.) la demi-somme de la plus grande et de la moindre hauteurs EP,F P du tronc par le périmètre de la base dont PP est l'axe; le pro- duit sera la surface latérale.

REGLE EE. Si le tronc est oblique, mullipliez la demisomme des longueurs du moindre et du plus grand côtés DE, CF du tronc par le périmècre d'une section AB perpendiculaire à l'axe du cylindre.

Ex 1. Le diamètre d’un cylindre est 10, sa moindre hauteur est 9.4 et sa plus grande hauteur 10.6; quelle en est la surface convexe ?

2. Un demi-coude de tuyau ‘de poële EP, FP ou de conduit quelconque, (le coude rectiligne n’est autre chose qu’un double trone de cylindre droit, c'est-à-dire deux ç troncs de cylindres droits se rencontrant sous un angle quelconque) dont le diamètre est de 7 pouces, a pour moindre et plus grande longueurs, 4 et 11 pouces respectivement ; quelle en est la surface latérale ?

Rep. 3.1416 x 7 x4(4+11)=164.9 ou soit 165 pouces carrés, ou (+144)=1 pied carré et 21 pouces carrés, ou 14 près pieds carrés.

3. Entre les deux troncs composants du coude rectiligne d’un bras cylindrique de garde-fou, se trouve un troisième tronc dont la plus grande longueur est 3 pouces et la moindre longueur nulle. Quelle en est la surface, le diamètre du bras étant de 9 pouces ?

Rep. Il est clair que le tronc proposé n'est autre chose qu'un double onglet de cylindre droit, c’est-à-dire deux onglets réunis par leurs bases perpendiculaires ; dont on aura la surf, voulue=3,1416 x 9 x 4(3)=28.2744 x 1,5=42,4 pouces carrés,

4. Dans un vaisseau cylindrique incliné à l'horizon se trouve une liqueur dont la plus petite distance de la surface au fond est de 67 décimètres et la plus grande 1.33 mètres, le diamètre du vaisseau étant de 1 mètre; on demande la superficie de la paroi exposée à l’action de la liqueur ?

Rep. 1x 3. 1416 x 4(.67 +1,33) =3.1416 mètres carrés, =surf. latérale, le fond=1 x .7854=.7824 mètres curés, la surface entière= 3.1416 + .7854=3.9270 m. c.

5. Une voûte demi-cylindrique est terminée par deux murs, inégalement obliques à l’axe ou direction de la voûte; le diam. est de 20 pieds et les moindre et plus grande longueurs 36 et 30 pieds ; quelle en est la strface ? Rep. 1036.73 pieds carrés.

6. Le tambour d’un escalier cireulaire dont le diamètre est de 10 pieds, est terminé par le toit incliné de l'édifice; sa moindre hauteur à compter du niveau du plancher du dernier étage est de 7 pieds sa plus grande hauteur de 13 pieds ; quelle en est la surface latérale en verges carrées. Rep. 31416-+9=31$ près.

PROBLÈME XXII

Trouver le volume d’un tronc de cylindre droit, ou d'un tronc de cylindre oblique dont les grands ou petits axes CD, FE ou GH, LK des bases opposées, sont (1099 G) dans un même plan CDEF ou GHKZ.

REM. Pour appliquer ici la formule générale, il y aurait à décomposer le solide mar un plan parallèle à l’une de ses bases et passant par le point F (1) le plus rapproché de l’autre base, en un cylindre äroit ou oblique suivant le cas et un onglet de cylindre à base circulaire ou elliptique et dont la règle générale donne le volume exact.

(106) REGLE I. Mullipliez (1099 G) la base CHDG, c'est-à dire la surface de cette base, par la demi-somme des moindre et plus grande hauteurs EF, F'P du tronc ; le produit sera la solidité demandée.

REGLE II, Mullipliez (1099 G ) la surface d'une section AB perpendiculaire à l'axe 00 du cylindre, par la demisomme des lon: gueurs du moindre et du plus grand côtés DE CF du tronc.

(1) Voyez la ffgure du dernier problème et imaginez un plan de section parallèle àCDouR N et passant par le point F ; alors la coupe KNL de l'onglet parallèle, au plan passant par F sera la section ou coupe médiane de l'onglet a demi-distance entre sa base et son sommet E.

Ex. 4. Dans un vaisseau cylindrique dont la fondation s’est afaissée et a dérangé la position verticale, la moindre hauteur inclinée du liquide contenu est de 13 pieds et la plus grande hauteur de 15 pieds, le diamètre de la cuve étant de 20 pieds; on demande le nombre de gallonus de liqueur (soit 74 gallons au sied cube) dans la cuve ? Rep. 4398.24 pieds cubes=32986.80 gallons.

2. Le recouvrement demi-cylindrique d’un mur qui en rencontre deux autres sous des angles obliques inégaux, mesure 3 pieds de diamètre et sa longueur moyenne est de 100 pieds; quel en est le volume ?

Rep. surf. sec. perp.=3 x 3 X 7854 x 100=353.43 pieds cubes.

PROBLÈME XXIII

Trouver la surface et le volume d’un tronc quelconque de cylindre.—{(Voir le tableau.)

(107) REGLE E. Zmaginez le tronc coupé (en AB, fig. du prob. XXE) par un plan perpendiculaire à l'axe du cylindre. Référez à cette base commune, les deux troncs composants ; faites par les deux derniers problèmes la surface ou le volume de chacun d'eux, pour en prendre la somme ; ou, ce qui est la même chose, multipliez la base commue ou sa circonférence, suivant le cas, par la moitié de la somme des deux plus grands et des deux plus petits côtés AC, B E-AF, BD des deux troncs : le résultat sera le volume ou la surface, suivant le cas, du tronc proposé.

REGLE KI. La surface de la base © D multipliée par la demisomme de la moindre et de la plus grande hauteurs FP, EP du tronc, donnera son volume.

PROBLÈME XXIV

Trouver la surface d’un cône droit ou régulier.

(Voir le tableau.)

(108) REGLE. JMultipliez (AO41 G.) la circonférence de la base BE par la moitié du côté, ou de la hauteur inclinée AS, ou BS, ou etc. ; le produit sera la surface convexe ; à celie surface ajoutez celle de la base, si la surface entière est requise.

Ex. 1. Quelle est la surface latérale d’un cône dont le côté est 50 et le diamètre de la base 84? Rep. 667,59.

2. Quelle est la surface convexe d’un cône dont le côté est 36 et le diamètre de la base 18? Rep. 1272.34,

8. Le fond d’une chaudière est un cône renversé dout le diamètre est de 40 pieds et le côté G pieds; quelle en est la surface latérale ? Rep. 94.248 pieds carrés,

4. Un vase dont le diamètre est de 10 pouces à uu couvercle conique dont le côté est de 5? pouces; quelle est la surface de ce dernier ?

Rep. 10 x 3.1416 x 2.875=90.321 pouces carrés,

5. Un réservoir dont le plan est cireulaire et dont la coupe verticale menée par le centre est un triangle isocée, à 60 mètres de largeur et la longueur de son côté incliné est de 33 mètres ; conibien faudra-t-il de briques pour en revêtir la surface, en allouant 75 briques au mètre carré? Rep. Diam. 60 x 3.1416 x 164 x 75—233,264.

5. Une tour a 150 pieds de circonférence et le côté incliné de son toit conique mesure 30 pieds ; combien faudra-t-il de carrés de couverture en bardeau pour en revêtir l'extérieur ? Rep. 224.

7. Quel sera le poids du dessus conique d’un gazomètre dont la circonférence est de 180 pieds et le côté incliné 30 pieds, le fer étant de 5 livres au pieds carré ? | Rep. 13.500 livres.

PROBLÈME XX

Trouver la surface d’un tronc de cône droit ou régulier à bases parallèles.—(Voir le table.)

(109) REGLE. Multipliez: (1042 G@.) la demi-somme des circonférences des deux bases par la hauteur inclinée du tronc ; vous aurez la surface convexe ; à laquelle ajoutez les aires des deux bases, pour avoir la surface entière.

Ex. 1. Le côté d’un tronc de cône est 124, et les circonférences de ses bases 8.4 et 6; quelle en est la surface latérale ? Rep, 90.

2. Quelle est la surface entière d’un tronc de cône dont le côté est de 16 pieds et les rayons des bases 3 et 2 pieds ?

Rep. Surf. lat.=251.323, surf, base inf. —?8.2744, surf. base sup. =12.5664, surf. totale — 292.168.

8. La partie conique d’un entonnoir à pour grand diamètre 10 pouces, pour petit diam. 1 pouce, et pour côté incliné 15 pouces; quelle en est la surface latérale ?

Rep. 259.2 pouces carrés= 1.8 pieds carrés,

4. Le toit incliné d’une tour circulaire dont le diamètre est de 30 pieds et le côté de 20 pieds est terminé au haut par une plateforme dont la circonférence est de 33 pieds; on demande combien il à fallu y compris la plateforme ?

Rep. Surf. lat.=1272.48, surf. base sup.= (33) x .07958 = 86.66, surf, requise= 1359.14 pieds carrés= 135 carrés 9 pieds carrés,

de carrés de zinc pour le recouvrir,

5. Combien faudra-t-il de pouces carrés de dorure pour recouvrir l’intérieur d'un goblet dont la circonférence inférenee est 6 pouces, la cire. sup. 7 pouces et le côte 34 pouces ?

Rep. La paroi latérale=3} x 4(6+7)=22.75 pouces carrés, le

fond = 6 x 6.07958=—2.865, le tout=25,615 pouces carrès. PROBLEME XXVI.

‘Déterminer la surface d’un cône ou d’un tronc quel.

conque de cône oblique ou irrégulier.—(Voir le tableau.)

(110) REGLE. Divisez la surface latérale du cône, par des lignes menées du sommet à la base en triangles où secteurs, et ta surface latérale du trone de cône par des lignes menées entre les deux bases, en trapèzes, ete. ; estimez séparément la superficie de chacune des parties composantes et prenez en la somme pour la surface voulue.

PROBLÈME XXVII

Déterminer le volume d’un cône droit ou oblique. : (Voir les modèles.)

RENE. La formule générale se réduit pour le A cône droit, comme pour la pyramide régulière à l'expression simplifiée suivante, car «o=4AO et par conséquent surface médiane o=+ surf, O et comme 40=0, il s’en suit que 40o+0 x 1IS0O=0 x 4SO,

(11) REGLE. Multiplie: (1050 G.) la surface de la base par le tiers de la hauteur, et le produit A sera le volume requis.

1. Lire la formule générale et la remarque qui a trait au volume de la pyramide, problème XIV.

Ex. 2. Quelle est K solidité d'un cône ÿ dont la hauteur est de 7 pieds et dont la

base est un cercle de 10 pieds de diamètre ?

Rep. 700.26, 2. La circonférence de la base d’un cône droit est 9 pieds, sa hauteur étant de 104

pieds ; quel en est le volume? Rep. 22,56.

= ent — DORE

8. La surface de la base d'un cône oblique est de 1000 mètres et sa l'auteur 30 mètres ; quel en est le contenu solide ?

Rep. 10.000 mètres cubes.

4. Un rocher ou monticule en forme de cône irrégulier a pour base une figure dont la surface est de 5300 verges carrée S, la hauteur du corps étant de 105 verges ; combien aurait-on à enlever de verges cubes de matière pour le faire disparaître ? Rep. 185.500 5. Quel est le volume de l’espace compris sous un toit conique dont la hauteur est de 30 pieds et le diamètre 30 pieds ? Rep. 7068.6 pieds cubes, 6. Combien de pouces cubes de dragées peut contenir un cornet de 3 pouces de diam. et 9 pouces de longueur ? Rep. 21! 4%. La circonférence du fond conique d’une chaudière est de 10 pieds et la hauteur du cône de 1 pied ; combien de gallons contiendra cette partie du vaisseau.

Keep. 10 x 10 x .07958 x 4 652666 pieds cubes, x 1728 et-- 93] = 19.843 gallons.

PROBLÈME XXVIIE

Déterminer le volume d’un tronc de cône droit ou oblique, c.-à-d, d’un tronc de cône quelconque, à bases parallèles. (Voir les modèles, )*

(112) REGLE EH. À la somme des surfacr des deux bases, üjoutez quatre fois la surface d'une section à mi-distance entres elles, c'est-à-dire d'une section dont les facteurs linéaires soient moyens arithmétiques (4265 G.) entre ceux des deux bases ; multipliez alors la somme ainsi obtenue par un sixième de la hauteur x tronc ; le pro duit sera le volume requis.

REGLE El. Zrourer (1963 G.) d'abord une moyenne prepertionnelle entre les deux bases ; faites ensuite l'addition

1. Voir la remarque qui à trait au troac;de pyramide, probiéme XV.

continue de cette moyenne et des deux bases du trone ; maullipliez alors

celle somme par le tiers de la hauteur du tronc et le produit sera le volume requis.

Ex. 1 On demande lu solidité d'un tronc de cône droit, dont la hauteur est 18, le diam. de la base juf, 8, et celui de la base sup. 4? Rep. Base inf.=8 x8 x.7854 = 50.2656, base sup.=4 x 4 x .7854 =12.5064, le facteur moyen arith. entre 8 et 4=4(8+4)=6, 6x6 x 7854 x 4==113.0976, la somme de ces surfaces=175.9296, multi par 3 (le sixième de la hauteur 18) on a 527.7888,

pliant

2. Combien de pieds eubes d'eau pourra contenir un réservoir en forme de tronc de cône renversé dont le plus grand diamètre est de 200 pieds, le plus petit diam. 100 pieds, et la profondeur 25 pieds ?

Rep. 458,153 pied cubes,

3. Un tuyau conique relie deux conduits de 10 et 20 pouces de circonférence, sa longueur ou la distance perpendiculaire entre ses deux bases est de 25 pouces; quelle est la capacité de cette partie du conduit ?

Rep. Surf. petit bout=(81 ".) (10) x .07958=7.958, surf. gros bout=(20) x.07958= 21,832, la circonférence moy. arith.=4(10 + 20) =15, (15)? x.07958 x 4=71.022, la somme—111.41?, cette somme x &

25)=464,51666 pouces cubes,

4. Quelle est la capacité d’une tinette dont la hauteur est de 20 pouces, le diam. inf, 10 pouces, et le diam. sup. 16 pouces ?

Rep. 2701.776 pouces cubes + 1728=1,55 pieds cubes.

5. Un vaisseau qui présente la forme de deux troncs de cônes réunis par leur plus grandes bases, mesure 40 pouces de longueur, 28 pouces à la bonde ou au centre et 20 pouces à la tête ou aux extrémités; combien contiendra-t-il de gallons ?

Rep. 20 x 20 x .7854= 314.16, 28 x 98 x .7854=615.7536, 24 x 24 x 7894 x 4=1809,5616, la somme des surfaces =92739.4752, x 4 (20)= 9131,584 pouces cubes=le contenu d'un des trones composants, x 2= 18263,1680 pouces cubes,--231=79.06133 gallons.

Rep. Par la 2nde règle on a:

surf, moindre base= 7854 x 20 =314.16 surf, grande base = .1854 x 98° =616.7536 suf., moy. prop.=(98 REM. T.).7854 x 20 x 28—439,824

multipliant par le tiers de la hauteur du tronc 6? 9131.5840 on obtient pour vol. du tronc 2

doublant, on a pour vol. total comme auparavant 18263,1680

REM. Il est à peine nécessaire de dire qu'au lieu de multiplier séparément par 7854 où par .07958, suivant le cas, les carrés des diam. ou des cire. des bases opposées et 4 fois le carré du diam, ou de la cire. de la base intermédiaire, pour en prendre ensuite la somme ; on se sauvera du travail en faisant tout d’abord la somme de ces carrés pour m'avoir à multiplier qu’une fois par les facteurs ,7854 ou .07958,

PROBLÈME XXIX

Trouver le volume d’un tronc de cône quelconque à bases non parallèles.—(Voir le tableau.)

(113) REGLE HE. Décomposez le tronc donné en nu trone de cône à bases parallèles et un onglet de cône, par un plan de section parallèle à l’une des bases et passant par le point le plus rapproché de l'autre brse. Caleulez alors le volume du trone de cône à bases paraltèles par la règle du problème NX VIII, puis celui de l'onglet de cône par problème suivant ; la somme de ces volumes sera celui du tronc proposé.

(GA) REGLE ET. Délerminez séparément (106% Gr.) les volumes respectifs des cônes entier et partiel ; la différence de ces volumes sera la solidité requise.

Ex. Les surfaces inf. et sup. d’un tronc de cône à bases non parallèles sont 30 et 20 mètres, les hauteurs respectives des cônes entier et partiel

sont 33 et 17 mètres; quel est le volume du tronc. . (30 x 433) — (20 X 417)=330 — 1134—=216$ mètres cubes.

PROBLÈME XXX

Trouver le volume d’un onglet de cône.

(145) BEM. Soit l’onglet DAd à bases entières ABDEA ou AbdeA, c'est-à-dire, dont chacune des bases est une ellipse, ou l’une un cercle et l’autre une ellipse ; ou l'onglet ABC-D à bases partielles, c’est-à-dire, dont chaque base est un segment d’ellipse ou l’une un Segment de cexele et l’autre un segment d’ellipse, une parabole ou

une hyperbole, suivant que l'onglet dans chacun des deux cas est ce-

lui d’un cône droit ea d’un cône oblique. Imaginez un plan de section parallèle à l’une ou à l’autre des deux bases et mené à mi-chemin entre telle base et le sommet D ou d, B ou D, suivant le cas, de l’onglet, c'est-à-dire, passant par le milieu de Dd ou de BD ; la coupe sera dans le premier cas un demi-cercle si la base à laquelle elle est parallèle est un cercle, une demi-ellipse si la base à laquelle elle est parallèle est une ellipse, et cette demi-ellipse sera aussi semblable à celle à laquelle elle est parallèle ; dans le second cas la coupe de longlet ABC-D sera un segment de cercle si la base qui lui est parallèle est un cercle, ou un segment d’ellipse si le plan de section est parallèle à une base elliptique ou enfin une parabole ou une hyperbole, Le sommet de l'onglet n’est évidemment qu’un point d ou D,

D ou B et sa surface est en conséquence nulle où =0, Donc la formule générale ‘ sommes des surfaces des deux bases ou extrémités opposées, plus 4 fais la surface de la section médiane, multipliée par la sixième partie de la hauteur de l’onglet ” se réduit comme pour le cône ou la pyramide à l’expression suivante :

(116) REGLE LI. À la surface de la base ajoutez quatre fois celle de la section médiane parallèle à telle base et multipliez la somme de ces surfaces par la sirième partie de la hauteur du solide ; le résultat sera le volume près de l'onglet proposé. (Voir les problèmes qui ont trait aux surfaces des segments de cercle et d’ellipse, à celle de la parabole, etc, problèmes XX et XXI, etc.

Ex. 1. Soit un tronc de cône droit dont la hauteur =20, le diamètre inférieur=15, diam. supérieur =9.6, diam.

intermédiaire (15+9,6)+2=12.3 Imaginez un plan de section passant entre les extrémités opposés des diamètres inférieur et supérieur ; ce plan partagera le tronc donné en deux onglets, l’un ayant pour base la base inférieure du tronc de cône, l’autre, la base supérieure du tronc.

La section intermédiaire de l'onglet dont le diamètre de la base est 15, sera un segment de cercle dont le sinus-verse= 15+2 = 7,5 et la section intermédiaire de l'autre onglet sera aussi un segment de cercle ayant pour sinus-verse 12.3—7,5 = 4.8, La surface de ce dernier

segment =(44, T.) 42.94 et celle de l'autre segment égale celle du cercle dont le diam. est 12.3 moins 42.94 = 118.82—42-94=75.88, Maintenant, volume onglet inférieur = 75.88 x 4 + 176.71 (surface du cercle dont le diam. est 15) x 20+6= 1600,75, le volume réel= 1596.98, la différence = 3.77 = moins que le quart de un pour cent en surplus,

(427) L'autre onglet a pour volume 42.94 x 4-+ 72,38 (superficie du cercle dont le diam. est 9,6) = 171.766 +72.38=9244,1486 x 20 :-6 = 813.829. Ce volume ajouté à 1600.75 donne pour somme des volumes des deux onglets 2414579, Le volume du tronc=surf, cercle diam. 9.6 + surface, cercle, diam. 15 + 4 surf, cercle, diam. 12,3, le tout multiplié par 20 6=2114.63376 qui ne diffère du dernier résultat que parce qu’on a négligé de faire entrer en compte toutes les décimales.

Ex. 2. Avec le même tronc de eône que dans le dernier exemple, supposons que le plan de section passe par l'extrémité de la base supérieure et coupe la base inférieure à 5 de l’extrémité opposée de cette base ; alors (44, T°.) pour surface du segment de base dont le sinus-verse est 5 on aura 51.5637, et comme la surface du cerele à diam. 15 est 15 x 15 x .7854= 176.715, on aura, en en déduisant 51.5637, la surface de l’autre segment de la base dont le sinus-verse est 10= 125.1513. Maintenant pour les bases intermédisires respectives des deux onglets, on obtient pour celui dont le sinus-verse est 5 (moitié de 10) 45.3492 et pour l’autre segment dont le sinus-verse est 12.3— 5=7.3 on a surf,, cercle à diam. 12,3—45.3492 = 118.8232 —45,3492 - 73.474, On obtient en conséquence pour volume de lun des deux onglets (celui qui a pour base la base inf, du tronc) 125.1513 + 4 fois 45.3492 = 306.548 et 306.548 x 20-6—1021.8267 ; le volume réel = 1015.701, la différence est de 6+, soit des 6 dixièmes à peu près de 1 pour cent en surplus.

Ex. 3. Un autre tronc dont la hauteur= 40 et dont les diam. inf. et sup. sont 60 et 38.4 et le diam. intermédiaire en conséquence =49.2= 60 + 38.4+ 2, Le tronc divisé en deux onglets à bases non tronquées comme dans l’exemple No. 1, donne pour surfaces respectives des segments qui constituent les bases intermédiaires des deux onglets dont les sinus-verses sont 19.2 et 30, 687.050251 et 1214.120405 dont la somme = 1901.179656 (surface du cercle qui forme la coupe intermédiaire du tronc); surface base sup.=1158.119424, surface base inférieure—?2827.44, volume onglet inf.-=51,226, le volume de l’onglet supérieur—?26,04?, la somme des deux =77.268=volume du tronc. Le premier volume 51.226 excède de 123 le volume réel qui est 51, 103, l'erreur étant de 0.24 ou de + pour cent près, le second volume

26.042 est moindre que le volume réel qui est de 26.165, de .193 ou de près d’un demi de un par cent en moins.

Le volume de l’autre onglet =51 5637 + 4 fois 73474 4+72.3895, le tout x 20 : 6=1392.80706, ce qui ajouté à 1021.8267 volume de l’autre onglet donne pour volume entier au tronc 2414.63376. Or le tronc séparément calculé =comme dans le dernier exemple 2414.63376.

(41) RBEDM, Puisque la formule appliquée au tronc de cône donne un résultat exact, et que le volume de l'onglet qui a pour base inférieure la base du tronc, excède le volume réel, comme on vient de le voir, de 4 pour cent (plus ou moins) à peu près, il s'en suit que le volume de l’autre onglet est moindre que le volume réel précisément de la quantité qui est de surplus dans le premier onglet, ce qui est évident.

Ce qui est certai.., c’est que dans la pratique l’on préférerait perdre ou gagner suivant le cas, ie demi pour cent d'erreur dont il est question que de se donner la peine, pour arriver à un résultat plus exact, de faire un calcul long et difficile que comporte la formule exacte et 6, cela faisant perdre un temps, qui d'ordinaire vaudrait beaucoup plus que l’enjeu d’une demi unité sur cent unités, ou de une unité sur 200. :

Ex. 4. Les segments d’ellipses qui servent de bases à un onglet de cône, sont (61 T.) respectivement de 20 et 15 picds en superficie, et les hauteurs des cône entier et partiel perpendiculaire à ces bases sont (1067 @&.) de 30 et 23 pieds; quel est le volume de l'onglet ?

Rep. (20 x #30)— (15 x 423)=300 —115—185 pieds cubes. PROBLÈME XXXI.

Déterminer le volume d’un onglet e cylindre.

(Voir les divers onglets de cyliudre du Tableau Steréométrique.)

(119) NOTE. L'onglet de cylindre, comme l'onglet de cône se rencontre quelquefois dans la pratiine du mesureur à l’endroit des intersections de voûtes, etc. ; et dans la pratique du jaugeur qui a quelquefois À évaluer la quantité de liqueur dans un vase cylindrique ou conique incliné à l'horizon. Les parties composantes de certains corps peuvent aussi offrir au calcul des solides de cette sorte, comme quand on décompose pour les fins du toisé, un tronc de cylindre ou de cône à bases non parallèles en un tronc à bases parallèles et un onglet, pour en déterminer séparément les volumes et faire ensuite la somme de ces volumes.

92 OLEF DU TABLEAU,

(120) REDME FE. Si la base de l'onglet est entière où non tronquée, c'est-à-dire, si cette base est, où un cercle où une ellipse, suivant que l'onglet ou le cylindre dont l'onglet fait partie est droit ou incliné, alors l'onglet peut être considéré come un tronc de cylindre à bases non parallèles et dont la moindre hauteur=0, et dont le volume, comme on l’a vu (407, TT.) est égal'au produit de la surface de sa base par la moitié de la hauteur du solide; eur ln surface de la coupe médiane parallèle à la base est dans ce cas égale à la moitié de la base, étant évidemment un demi-cerele où une demi-ellipse suivant le cas ; or 4 fois le demi-cercele ou la demi-ellipse en question =? fois la base, et ? fois la base plus la base, (c’est-à-dire 3 fois la base) multiplié par la 6ème partie de la hauteur du solide équivaut à multiplier la base par la mcitié de la hauteur. L’expression générale se simplifie done, dans le cas actuel et donne pour,

REGLE, Multipliez la base de l'onglet par la moitié de sa hauteur, le produit sera le volume demandé.

(121) REM. HE, Si l’onglet est tronqué par un plan parallèle à sa base il faudra avoir recours à la formule générule.

REGLE. À la somme des surfaces des bases opposées du tronc @'onglet ajouter 4 fois la surfaæ d'une section ou coupe à mi-chemin entre les deux extrémités du solide et le produit de cette somme par la 6ème partie de la hauteur du solide sera le volume requis.

NOTE. Les bases seront suivant le cas, un cercle et un segment de cercle, ou une ellipse et un segment d’ellipse et la coupe ou section médiane sera suivant le cas un segment de cercle ou un segment d’ellipse.

(122) RE". IH. Quand l'onglet de cylindre à évaluer est un

onglet proprem’ .©.-à-d., à base partielle, on le toise absolument comm” , de cône (prob. XXX) c.-à-d., en ajoutant à la surface dl e 4 fois la surface de la coupe médiane pour multi-

plier ensu. .e tout par la 6ème partie de la hauteur du solide, $i l'onglet est celui d’un cône droit, la base est un segmen’ de cercle et la coupe parallèle aussi un segment de cercle. De même si c’est un onglet de cylindre oblique, la coupe médiane parallèle à la base sera, comme la base, un segment d’ellipse. Dans chacun des deux cas, la hauteur ou le sinus-verse du segment dont on a à évaluer la surface est moitié de celui de la base. Quant à la corde du segment si ce segment est d’un cercle on aura (539, G.) la demi-corde=la racine carrée du produit du sinus-verse par le reste du diamètre et si le segment est d’une ellipse, on aura la demi corde en faisant ‘ le grand axe ou diam. de l’ellipse est à (:) son petit axe ou diamètre

1. Voir, à ce sujet, ce qui a trait ci-après à l’ellipsoïde et au fuseau elliptique.

comme (::}) la racine carrée du sinus-verse du segment multiplié par le reste du grand axe est à ( ) la demi-corde, D'ailleurs, l'on peut aussi dans la pratique obtenir directement la corde du segment en traçant et mesurant cette corde sur le solide même,

(423) RE, LV, Si l'onglet du dernier paragraphe est tronqué par un plan parallèle à sa base, formant ainsi ce qu'on peut appeler un trone d’onglet de cylindre à bases parallèles, on aura encore facilement soit par mesurage direct du modèle ou du solide à toiser, ou par le calcul, la corde et le sinus-verse de la coupe intermédiaire, le sinus-verse étant la demi somme de ceux des segments de cercle ou d’ellipse des basses opposées,

(124) REM. V. Si l'onglet est central, son sommet, diamètre du cylindre, sera une simple ligne et la surface=0, Dans ce cas, la coupe centrale où médiane sera une zone centrale de cercle ou d'ellipse suivant que longlet est droit où incliné, Si l'onglet est excentrique, son som. et, corde d'un coupe de cylindre, sera encore une ligne et sa surface=0, Dans ce cas sa coupe médiane era une zone excentrique de cercle ou d’ellipse suivant le cas,

25) REDM. VE. Si l'onglet, central on excentrique, est tronqué par un plan parallèle à la base, ce sera alors le tronc d’un onglet central ou excentrique de eylindre droit où oblique dont l’une des bases, si elle est entière sera un cercle où une ellipse, Pautre base une zone centrale ou excentrique de cercle où dellipse et la coupe médiane aussi une zone de cercle ou d'ellipse soit catrale soit excentrique suivant le cas. Si la base de l'onglet n’est pas entière, ce sera où une zone centrale ou excentrique de cerele ou d’ellipse ou un segment de même non de cercle où d'ellipse, ce segment étant suivant le cas, plus où moins que la moitié de la base totale du cylindre dont l'onglet fait partie.

Ex. 1. Soit à cuber un onglet latéral Ge cylindre droit, sa hauteur =24, le sinus-verse du segment de cerele qui en constitue la base =9 et le diam. du cylindre dont l'onglet fait partie=10.

La surface de la base=(41, FT.) 2+10=.2=sinus-verse de la table à la fin de ce volume, et la surface tabulaire correspondant à ce sinus =.111823 laquelle étant multipliée par 10° où par 100 donne L'on obtient de même la surface du

pour surface voulue 11.1823.

segment à mi-hauteur de l'onglet=1- 10=.=.010375=surf, tabulire laquelle x 100=<4.0875 et celle-ci «416.35, ajoutant 111823, on a 27,5323—somme des surfaces de la base et de 4 fois la section médiane, cette somme x 4 (—21+6) donne pour volume de Ponglet proposé 110.1292. Le volume réel est 109.4334, la différence .6958 =

636, e.-à-d. que le taux d'erreur est de moins que les $ de 1 par cent en surplus,

Ex. 2. La hauteur d'un onglet latéral de cylindre est 24 et le diam. du cylindre 10 comme dans le dernier exemple, La base de l'onglet est un demi-cercle, On demande le volume. Surf, base = 10 x 10 x.7854-:2=39,57, le sinus-verse du segment médian =5-+2= 2.5, 2,5+ 10=.95 qui correspond dans les tables à .153546 ce qui x 100 - 153516. Maintenant 15.354146 x 4=61.4184, ajoutant 39.27 on a 100.6384, multipliant par 4, un sixième de la hauteur, on a pour volume Drfeindidal 4027536; le volume exact est 400, la différence est 2.7530 qui équivant à un taux d'erreur de .633 ou de un peu plus que les deux tiers de un pour cent en surplus.

Ex. &. Avec le mème diam. (10) de cylindre et la même hauteur d'onglet (21) que dans les deux derniers ne E la base de l’onglet qui 4: xs le ler exemple est moindre qu’un demi-cercle, dans le 2ème &. ,nple égal à un demi cercle, est dans ce 3ème exemple plus grana qu'un demi-cercle, son sinus-verse étant =8=10-2; orona vu que la surface du segment ayant ? pour sinus-verse ou hauteur= 11.1823 et comme la base entière du eylindre= 10. x .7854 = 78.54 on aura la surface du segment voulu=78,54—11.1823 =(67.3577. La coupe médiane à mi-hauteur à pour flèche ou sinus-verse 8+2=4, 4+10=.4=s, v. tab.=.293360=surf, tab., x 100=99.3359 et x 4= 117.3176, 117.34176 + 67.353577 =181.7053= somme des surfaces, laquelle x 4, 6ème partie de la hauteur, on obtient 733.8212 pour le volume par la formule générale, le volume réel=734218, la différence est 4.6032 qui équivaut à un taux d'erreur de .627 par cent ou de moins que les deux tiers de un par cenx.

Ex. 4. Ün onglet latéral d’un cylindre dont le diam.=5, à pour hauteur 60 et pour base un segment de cercle dont le sinusverse =5. Quel est le volume de l'onglet ?

Puisque 5 : 25 et 24: 25 dans cet exemple comme 2: 10 et comme 1: 19 dans l'exemple N° 1, on a pour surf. tab. comme dans le premier exemple .111823 et .040875 lesquelles multipliées chacune par 25 ‘ou par 625 donnent pour surface de la base 69,89 et pour surface de la section médiane 25.546875. Cette dernière x 4 éT 1375, ajoutant 69.89 cu a 172.077 ce qui x 10 (la hauteur+6)=1720.77. Le volume réel=1709.90, la différence - et noel des deux tiers de 1 par cent.

Ex. 5. Calculons maintenant l'onglet complémentaire de celui de l’exemple 4, c’est-à-dire, l'onglet qui avec celui du dernier exemple forme le cylindre dont chacun d’eux fait partie.

La surface de la base du cylindre =25 x 95 x .7854= 490.875 et cette base x la hauteur 60=929452.5= volume du cylindre. L'onglet à évaluer a pour base inférieure la base du cylindre moins la base de l'onglet déjà évalué, c'est-à-dire, 490,875—69.89 = 420,985, la base supérieure étant entière 490.875 et la coupe médiane —490.875— 20.946875 (surf. du seg. dont le s. v.=2,5)=465.328195. Cette der nière surface prise 4 fois = 1861.3125, ajoutant les surfaces des bases opposées, on à 2773.1795 pour somme des surfaces, tultipliant par 10 (6ème de la hauteur) on a pour vol. de l'onglet 27731.725, si à ce vol. l’on ajoute 1720.77 vol. du ler onglet on a 29,452.495— volume du cylindre tel que ci-dessus déterminé, la différence entre . et .495 étant due à ce que l’on a pris 69,89 pour 69.889375 pour la surface du segment inférieur du ler onglet.

Si 1709.9 est le vol, réel du ler onglet ; alors, comme 29452,5 est e vol. réel du cylindre, il s'en suit que le volume exact de l'onglet complémentaire que l’on vient d'évaluer dans cet exemple à 27731.- 725 est de 29452,5—1709.9=927742.6. Done le vol. de l'onglet complémentaire est dans cet exemple trop faible de 11 à peu près =.04 = 45 pour cent ou ;,; de 1 pour cent.