THÉORÈME

(126) Expression générale pour la surface latérale, (convexe ou concave) d’un solide de révolution quelconque, ou d’un segment ou tronc de tel solide à une seule base ou à deux bases parallèles, et dont le plan de section est perpendiculaire à l'axe de la courbe génératrice.

Divisez la courbe génératrice en parties égales assez petites pour que chacune d'elles soit sensiblement une ligne droite ; faites passer par chaque point de division une circonférence parallèle à la base où perpendiculaire à l’axe du solide, Ces circonférences parallèles diviseront la surface à estimer en zones d’égale largeur; chacune de ces zones sera un trapèze continu dont on aura la surface en multipliant la demi-somme de ses bases ou circonférences parallèles par la hauteur ou largeur de la zone, et la surface entière du solide proposé sera égale à la somme des sur'aces de ses zones composantes.

© On aura donc la surface voulue en ajoutant à la demi-somme des circonférences des bases ou extrémités opposées du solide, la somme des

circonftrences intermédiaires de toutes les zones composantes, pour multiplier ensuite le tout par la largeur d'une de ces zones : expression analogue à celle du par. (23 ei 69 ‘T.) pour la surface plane d’une figure quelconque.

Ainsi AB-C étant un conoïde quelconque, un demi-fuseau, une hémisphère, un demi-sphéroïde ou un segment quelconque de sphère, de sphéroïde ou de fuseau, à une seule base AB, on en aura la surface latérale=(4 cir. AB + cire. ab + cire, ed) x Aa =ac=zeC.

Si le segment ou tronc donné ABde à deux bases AB, cd, la surface sera=(4 cire. AB + cire. ab + cire. ete. +4 cire. cd) x à ou «ac, Si les moitiés opposées du solide sont symétriques comme dans la. futaille ou barrique AB ou autre tronc ou segment central de fuseau ou de sphéroïde, il est à peine, nécessaire d'observer qu'il suflira d'opérer sur l’une des moitiés symétriques pour doubler ensuite le résultat.

Si le le solide AB-C dont il s’agit est à surface concave, c’est-à-dire, engendrée par la révolution d’une courbe AC ou Ag qui présente sa

convexité à l’axe CD du solide, il est clair qu’on aura tout de même cette surfacez= (+ cire. AB + cire.

ab+cire. ed + cire. ef) < Aa ou ae, ete., dans le cas du conoïde ou segment à une seule base, ou =

G cir. AB+cire. ab +cire. ete. ++ cire. gh) x Aa ou ac, etc. dans le cas An tronc ou segment à deux bases parallèles AB, ga.

11 suit évidemment de ce qui précède que si la ligne génératrice de la surface à estimer est mixte, c'est-à-dire en partie convexe et en partie concave, ou si cette ligne est en partie droite et en partie courbe, le méme procédé conduira tout aussi simplement à la déterwination de cette surface ou superficie,

ER EM. I est à remarquer que la formule générale qu'on vient d'établir donnera d'ordinaire, pour toute surface conv +0, un résultat qui sera en défaut de Ja superficie voulue du solide, et de même, le résultat qu'on en obtiendra dans le cas d’une surface concave, sera en excès de la surface réelle du corps proposé,

En effet, dans la pratique, la largeur AaC de l’une des zones composantes de la surface à déter- U miner, sera plus ou moins éloignée de la droite AcC, suivant que AC sera une partie plus où moins grande de là courbe génératrice, Au lieu A done de considérer AC comme ligne droite avee une longueur AcC, on ajoutera à l'exactitude du résultat en prenant pour largeur de Ja zone la largeur développée AaC de cette zone, que l’on obtiendra assez exactement à l'aide d'une échelle de parties égales suffisamment subdivisée et assez mince pour pouvoir s'ajuster à la direct:on convexe ou concave de l’are à estimer.

Cependant, malgré qu'on aura ajouté à la précision de l'opération en substituant à la largeur rectiligne AcC de la zone, sa largeur réelle AaC ; on n’en sera pas moins encore en défaut ou en excès de la surface voulue, quoique d’une quantité très petite relativement à la superficie totale. Cette quantité sera, à très près, égale à (ae + bd) (ou 2 ac) x 3.1416x+4 AaC où à 3E fois le double de la surface de l'espace AcCaA, ou à 124 fois la surface de l’espace triangulaire ayant ac pour base et pour hauteur la longueur développée de l’are aC ; eur ac x 3.1416 est évidemment la différence entre la circonférence ab et la moyenne, cd, des circonférences AB, CD, et c’est précisément du produit de cette différence par la longueur de l'arc aC ou aA, ou ce qui est la même chose, du produit de la demi-différence ac par l'are entier AaC que la surface convexe demandée est faible ou en défaut, ou que la surface concave à déterminer est forte ou en excès ; mais à cause de AC très petit, la différence, soit en plus on en moins, entre la surface exacte et la surface obtenue, par la formule, ne sera toujours, comme on vient de le dire, qu'une quantité relativement petite et insignifiante, ce que d’ailleurs on verra bientôt à l’endroit des quelques problèmes et solutions que l’on se propose de soumettre

afin de pouvoir en comparer l'exactitude avec celle des résultats que fournissent les règles ordinaires, et pour juger en même temps de la somme de travail nécessaire pour y parvenir.