THÉORÈME

Expression générale pour 1c volume d’un solide

quelconque.

(Voir les modèles du tableau stéréométrique.)

(42%) De tout prisme ou cylindre droit ou oblique—de toute pyremide régulière ou irrégulière, ou de tout cône droit ou oblique—de tout tronc de pyramide ou de cône compris entre bases parullèles—de la sphère —de tout secteur ow pyramide sphérique—de tout sphéroïde de tout segment de sphère ou de sphéroïde à une seule buse ow de tout tronc de ces corps à deux bases parallèles inclinées d'une manière quelconque aux axes du solide—de tout paraboloide ou conoide parabolique droit ou incliné—de tout hyperboloide ou conoide hyperbolique droit ou incliné— de tout segment de paruboloite ou d'hyperboloide à une seule base ou de tout tronc de ces corps à deur buses purallèles inclinées d'une manière quelconques aux axes du solide—de tout coin où autre tronc de prisme triangulaire—de toute partie de tel coin ou de tel prisme tronqué séparée du solide entier par un plan purullèle à l'une quelconque de ses fuces latérales—de tout autre prismoide ou cylindroïde quelconque—de tout onglet de sphère ou de sphéroide compris entre des plans de section passant dans une direction quelconque par le centre du solide —de tout onglet de prisme ou de prismoïde, de cylindre ou de cylindroïide, de pyramide, de cône ou de convide compris entre des plans de section ayant leur commune interseclion duns l'axe du solide et de tout segment de tel onglet à une seule base ou de tout tronc de tel onglet entre bases paral. lèles (et approximativement du demi fuseau ou demi tronc ceniral de fuseau (futaille) compris entre plans parallèles perpendiculaires à l'axe five du solide, de tout onglet quelconque de prisme ou de prismoïde, de cylindre ou de cylindroïide, de pyramide, de cône ow de conoide—de sphère ou de sphéroïde et de fuseau, et de tout tronc d'onglet compris entre bases parallèles) : Le volume est équivalent à la somme de la surface de su base, s'il n'y en a qu'une ou de ses bases parallèles, s'il y en a deux, et de quatre fois la surface d'une section à demi-distance entre Les bases, entre la base et Le sommet, ou entre les sommets opposés, suivant le cas, multiplié par un sivième de la hauteur du solide.

Soient À et B les bases opposées, base et sommet, ou sommets

opposés de l’un quelconque des corps qu'on vient d’énumérer, soit $ une section parallèle à demi-distance entre A et B, et H la hauteur du solide ; on aura suivant le cas, volume (surf, A + surf, B + 4 surf. S) x 4 H, ou (surf, A +4 surf. S) x 4 H, ou (4 surf. S) * 4 H, suivant que surf, sommet B = 0 où que surf, sommet À + surf, sommet B=0.

(428) Maintenant, des cinq polyèdres réguliers, le tétraèdre est une pyramide, l'exaèdre est un cube c'est-à-dire un prisme, et chacun des trois autres est un composé de pyramides égales entre elles ; tout tronc de prisme polygone est un composé de troncs de prismes triangulaires ayant chacun pour base l’une des faces latérales du trone donné et dont les arêtes où sommets se réunissent tous et se confondent à lPendroit d'une des arètes parallèles du solide ou sur une droite quelconque parallèle aux côtés du tronc, situé à son intérieur et qu'on peut regarder comme axe du prisme dont le tronc fait partie; tout tronc de cylindre peut aussi être regardé comme un composé de troncs de prismes triangulaires, puisque le cylindre luiméme n'est qu'un prisme infinitaire ? ; tout fuseau circulaire, elliptique, parabolique, ete., allongé ou aplati, suivant le cas, se décomposera, comme on l'a déjà fait voir par des plans de section perpendiculaires à l'axe fixe du solide (4485 G.) en cônes et troncs de cônes, ou, s'il est possible, en troncs et segments de sphère ou de sphéroïde, de conoïdes paraboliques où hyperboliques, subdivisions auxquelles l’on ajoutera au besoin le cylindre et le segment sphérique, Le conoïde ou le sphéroïde dont la courbe génératrice ne serait pas celle d’une section de cône, se décomposera (1139 €) comme le fuseau, en troncs de cônes où de conoïdes, segments ou calottes sphériques, segments de sphéroïdes, de paraboioïdes où d'hyperboloïdes, ete.; l'onglet de cylindre, de cône où de conoïde etc., sera regardé comme un composé de pyramides rectilignes où sphériques, et tout autre corps se subdivisera, suivant le cas, en éléments (11438 G.) de l'espèce de ceux qu'on vient d’'énumérer.

L'expression est done générale, comme on l’a dit en titre de cet article, et servira à volonté à déterminer le volume d’un solide quelconque.

(429) Habitué jusqu'ici (119% G.) à la considération d’un nombre si varié d'expressions pour le volume des divers solides dont

1. Nous avons vu d’ailleurs (83 à 88 ’4'.) que pour ce qui regarde le tronc de prisme régulier, c’est-à-dire dont les bases sont des polygonos réguliers ou à moitiés symétriques, et (KO à H@%7 "A, ) pour ce qui est du tronc de cylindre, cette subdivision ou décomposition imaginaire par plans de section n’est aucunement nécessaire, puisqu'on toise aisément ces corps sans cela.

100 CLEF DU TABLEAT,

il s'agit, et cela, sans mme y comprendre le sphéroïde, le paraboloïde et les segments de ce corps, qui donnent lieu encore à des formules additionnelles, l'élève s'étonnera peut-être tout d'abord et doutera même de l'existence d'une formule qui puisse s'appliquer À'la fois, à des corps aussi dissemblables entre eux que le sont le prisme ou cylindre, la sphére, le segment de sphère, la pyramide ou le cône, et le coin, etc., et dont les surfacus limitatives sont indifféremment planes ou courbes ou les deux; mis il suflira des réflexions suivantes pour faire foi de l’exvctitude de l'énoncé de la proposition.

(130) En prémier liezx, le prisme où cylindre à pour volume (1103 1° et 6° G.) la surface de sa base multipliée par sa hauteur ; or les bases opposées d'un prisme ou cylindre sont égales et toute section de ces solides parallèle à la base est (34% G) égale à la base ; la somme des ? bases plus 4 fois la section à demi-distance entre elles, équivaut done à six fois la base, et c’est la même chose de multiplier G fois la base par un sixième de la hauteur ou de multiplier tout simplement 1ä base par la hauteur entière.

(131) En second lieu, le volume de la pyramide où du cône (pyramide infinifaire) est {110% 2° et 7° @.) le tiers du produit de sa base par sa hauteur ; inais la section parallèle à demi-distance entre la base et le sümmet vant le quart de la base, puisque les côtés ou autres lignes homologues de cette section sont moitiés de ceux de la base et que les surfaces son£ comme les carrés des côtés homologues, c’est à-dire, :: 1:4 quand les côtés sont ::1:2. Done dans ce cas la base plus 4 fois la section entre la bat et le sommet équivaut à 2 fois la base, et c’est la même chose de multiplier deux fois la base par un sixième de la hauteur ou de simplifier la formule en multipliant la base par le tiers de la hauteur,

(132) D'ailleurs, comme le fait voir (1102 G.)la déf. du prismoïde, le tronc de pyramide est en mème temps un prismoïde et le tronc de cône (tronc de pyramide infinitaire) est encore un prismoïde, et ces troncs, en supposant que leur hauteur soit indéfiniment augmentée, finiront par devenir les solides mêmes dont ils ne formaient d'abord qu'une partie ; or la formule (surf. À + surf. B + 4 surf, S) vaudra toujours, quelle que soit la surface du sommet ou de la base supérieure B, et quand *; ne sera plus qu’un point et que sa surface sera par corséguent devenue égrle à 0, la formule deviendra

(surf. A+4 surf, S) x & hauteur.

(133) En troisième lieu, le volume de la sphère est (107% @.) égal à si surface multipliée par le tiers de son rayon; or cette surface est précisément égale à quatre de ses grands cercles, c’està-dire à quatre fois la eurface d’une section de la sphère à distances

évales de deux sommets où points opposés quelconques de sa surface convexe; de là done l'exactitude de la formule, puisque le sixième de la hauteur de la sphère, c’est-à-dire de son diamètre, est le tiers du rayon où demi-diamètre,

(434) Pour ce qui est de l'hémisphère, son volumeest égal (1677 @,) à la surface convexe par le tiers du rayon; mais sa surface convexe

est égale à deux grands cercles, puisque Ja

surface de la sphère entière est égale à 4 A F B

grands cercles, et l'on a (4 grands cercles XL EF}=(@ grands cercles

x $EF) ; or surf, section aDb (où ED=FD)=# surf. base AB, puisque

Db =0F —DF =FB —(GFB) =1-14=4 et comme quatre fois À 6 , . , * | nn

=3, on a 4 surf, ab + surf. AB=4 surf, AB: donc 4 surf. AB x LEE ? ?

ou 2 surf, AB x$& EF =(surf, AB +4 surf. ab) x£ EF; done, ete.

(35) It en général, s'agit-il d’un segment quelconque ED de la sphère, Le volume en est égal (ROSS G,) à la somme des volumesdu cône tronqué ED et du segment BD ; or le volume de

BD, c’est-à-dire du solide engendré par la révolution du segment BD est (1689 G:) la différence entre le secteur sphérique engendré par la révolution du secteur BCD et le solide engendré par C

la révolution du triangle isocele BCD ; cette différence vaut (1089 @.)

$u (CB Fe Cd n EF=$x (Ce — Cd n EF ; or Co — Cd” =Cb — Cd = & — ad ‘à cause de «C commun aux triangles rectangles abC, adC ; doncle volume du solide engendré par BD (et qui avec le cône tronqué engendré par la révolution du trapèze EBDF forme le segment sphérique dont il.s'agit) = $T (ab —ad ) EF, Maintenant, T7 ab + (1024 G.) surf. cercle ab, 7 ad =suf. cercle «d et par conséquent Æ (ab — ad = surface de l'anneau circulaire db. Il est clair aussi

2 3 2 2 qu'on peut écrire « (ab — ad ) $ EF ou 47 (ab —ad ) + EF, puisque

$+4=1; donc le volume de BD =(4 surf. db; x 4 EF ou 4 fois la surface de l'anneau engendré par la révolution de db, multipliée par un sixième de la hauteur EF du segment, Or le volume du cône tronquécomposantest = (142 "2 (surf. base FD + surf. base EB +4 surf, section parallèle «d) x 4 EF; done le volume entier du segment de sphère = (surf, base FD + surf, base EB + 4 surf, section ab également éloignée de EB et de FD) x 4 EF ; done, etc.